Соединения проводников

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: параллельное и последовательное соединение проводников, смешанное соединение проводников.

Есть два основных способа соединения проводников друг с другом — это последовательное и параллельное соединения. Различные комбинации последовательного и параллельного соединений приводят к смешанному соединению проводников.

Мы будем изучать свойства этих соединений, но сначала нам понадобится некоторая вводная информация.

Проводник, обладающий сопротивлением \(R\), мы называем резистором и изображаем следующим образом (рис. 1):

Рис. 1. Резистор

Напряжение на резисторе — это разность потенциалов стационарного электрического поля между концами резистора. Между какими именно концами? В общем-то, это неважно, но обычно удобно согласовывать разность потенциалов с направлением тока.

Ток в цепи течёт от «плюса» источника к «минусу». В этом направлении потенциал стационарного поля убывает. Напомним ещё раз, почему это так.

Пусть положительный заряд \(q\) перемещается по цепи из точки \(a\) в точку \(b\), проходя через резистор \(R\) (рис. 2):

Рис. 2. \(U= \varphi_a - \varphi_b\)

Стационарное поле совершает при этом положительную работу \(A = q(\varphi_a - \varphi_b)\).

Так как \(q > 0\) и \(A > 0\), то и \(\varphi_a - \varphi_b > 0\), т. е. \(\varphi_a > \varphi_b\).

Поэтому напряжение на резисторе мы вычисляем как разность потенциалов в направлении тока: \(U = \varphi_a - \varphi_b\).

Сопротивление подводящих проводов обычно пренебрежимо мало; на электрических схемах оно считается равным нулю. Из закона Ома следует тогда, что потенциал не меняется вдоль провода: ведь если \(\varphi_a - \varphi_b=IR\) и \(R = 0\), то \(U = \varphi_a = \varphi_b\). (рис. 3):

Рис. 3. \(U= \varphi_a - \varphi_b\)

Таким образом, при рассмотрении электрических цепей мы пользуемся идеализацией, которая сильно упрощает их изучение. А именно, мы считаем, что потенциал стационарного поля изменяется лишь при переходе через отдельные элементы цепи, а вдоль каждого соединительного провода остаётся неизменным. В реальных цепях потенциал монотонно убывает при движении от положительной клеммы источника к отрицательной.

При последовательном соединении проводников конец каждого проводника соединяется с началом следующего за ним проводника.

Рассмотрим два резистора \(R_1\) и \(R_2\), соединённых последовательно и подключённых к источнику постоянного напряжения \(U\) (рис. 4). Напомним, что положительная клемма источника обозначается более длинной чертой, так что ток в данной схеме течёт по часовой стрелке.

Рис. 4. Последовательное соединение

Сформулируем основные свойства последовательного соединения и проиллюстрируем их на этом простом примере.

1. При последовательном соединении проводников сила тока в них одинакова.
В самом деле, через любое поперечное сечение любого проводника за одну секунду будет проходить один и тот же заряд. Ведь заряды нигде не накапливаются, из цепи наружу не уходят и не поступают в цепь извне.

2. Напряжение на участке, состоящем из последовательно соединённых проводников, равно сумме напряжений на каждом проводнике.

Действительно, напряжение \(U_{ab}\) на участке \(ab\) — это работа поля по переносу единичного заряда из точки \(a\) в точку \(b\); напряжение \(U_{bc}\) на участке \(bc\) — это работа поля по переносу единичного заряда из точки \(b\) в точку \(c\). Складываясь, эти две работы дадут работу поля по переносу единичного заряда из точки \(a\) в точку \(c\), то есть напряжение \(U\) на всём участке:

\(U = U_{ab} + U_{bc}.\)

Можно и более формально, без всяких словесных объяснений:

\(U = U_{ac} = \varphi_a - \varphi_c = (\varphi_a - \varphi_b) + (\varphi_b - \varphi_c) = U_{ab} + U_{bc}.\)

3. Сопротивление участка, состоящего из последовательно соединённых проводников, равно сумме сопротивлений каждого проводника.

Пусть \(R\) — сопротивление участка \(ac\). По закону Ома имеем:

\(R= \frac{\displaystyle U}{\displaystyle I \vphantom{1^a}}= \frac{\displaystyle U_{ab}+U_{bc}}{\displaystyle I \vphantom{1^a}}= \frac{\displaystyle U_{ab}}{\displaystyle I \vphantom{1^a}}+ \frac{\displaystyle U_{bc}}{\displaystyle I \vphantom{1^a}}=R_1+R_2,\)

что и требовалось.

Можно дать интуитивно понятное объяснение правила сложения сопротивлений на одном частном примере. Пусть последовательно соединены два проводника из одинакового вещества и с одинаковой площадью поперечного сечения \(S\), но с разными длинами \(l_1\) и \(l_2\).

Сопротивления проводников равны:

\(R_1=\rho \frac{\displaystyle l_1}{\displaystyle S \vphantom{1^a}}, \ \ R_2=\rho \frac{\displaystyle l_2}{\displaystyle S \vphantom{1^a}}.\)

Эти два проводника образуют единый проводник длиной \(l_1+l_2\)и сопротивлением

\(R=\rho \frac{\displaystyle l_1 + l_2}{\displaystyle S \vphantom{1^a}}=\rho \frac{\displaystyle l_1}{\displaystyle S \vphantom{1^a}}+\rho \frac{\displaystyle l_2}{\displaystyle S \vphantom{1^a}}=R_1 + R_2.\)

Но это, повторяем, лишь частный пример. Сопротивления будут складываться и в самом общем случае — если различны также вещества проводников и их поперечные сечения.
Доказательство этого даётся с помощью закона Ома, как показано выше.
Наши доказательства свойств последовательного соединения, приведённые для двух проводников, переносятся без существенных изменений на случай произвольного числа проводников.

При параллельном соединении проводников их начала подсоединяются к одной точке цепи, а концы — к другой точке.

Снова рассматриваем два резистора, на сей раз соединённые параллельно (рис. 5).

Рис. 5. Параллельное соединение

Резисторы подсоединены к двум точкам: \(a\) и \(b\). Эти точки называются узлами или точками разветвления цепи. Параллельные участки называются также ветвями; участок от \(b\) к \(a\) (по направлению тока) называется неразветвлённой частью цепи.

Теперь сформулируем свойства параллельного соединения и докажем их для изображённого выше случая двух резисторов.

1. Напряжение на каждой ветви одинаково и равно напряжению на неразветвлённой части цепи.
В самом деле, оба напряжения \(U_1\) и \(U_2\) на резисторах \(R_1\) и \(R_2\) равны разности потенциалов между точками подключения:

\(U_1 = U_2 = \varphi_a - \varphi_b = U.\)

Этот факт служит наиболее отчётливым проявлением потенциальности стационарного электрического поля движущихся зарядов.

2. Сила тока в неразветвлённой части цепи равна сумме сил токов в каждой ветви.
Пусть, например, в точку \(a\) за время \(t\) из неразветвлённого участка поступает заряд \(q\). За это же время \(t\) из точки \(a\) к резистору \(R_1\) уходит заряд \(q_1\), а к резистору \(R_2\) — заряд \(q_2\).

Ясно, что \(q = q_1 + q_2\). В противном случае в точке \(a\) накапливался бы заряд, меняя потенциал данной точки, что невозможно (ведь ток постоянный, поле движущихся зарядов стационарно, и потенциал каждой точки цепи не меняется со временем). Тогда имеем:

\(I=\frac{\displaystyle q}{\displaystyle t \vphantom{1^a}}=\frac{\displaystyle q_1+q_2}{\displaystyle t \vphantom{1^a}}=\frac{\displaystyle q_1}{\displaystyle t \vphantom{1^a}}+\frac{\displaystyle q_2}{\displaystyle t \vphantom{1^a}}=I_1+I_2,\)

что и требовалось.

3. Величина, обратная сопротивлению участка параллельного соединения, равна сумме величин, обратных сопротивлениям ветвей.
Пусть \(R\) — сопротивление разветвлённого участка \(ab\). Напряжение на участке \(ab\) равно \(U\); ток, текущий через этот участок, равен \(I\). Поэтому:

\(\frac{\displaystyle U}{\displaystyle R \vphantom{1^a}}=I=I_1+I_2=\frac{\displaystyle U}{\displaystyle R_1 \vphantom{1^a}}+\frac{\displaystyle U}{\displaystyle R_2 \vphantom{1^a}}.\)

Сокращая на \(U\), получим:

\(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle R \vphantom{1^a}}=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle R_1 \vphantom{1^a}}+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle R_2 \vphantom{1^a}},\) (1)

что и требовалось.

Как и в случае последовательного соединения, можно дать объяснение данного правила на частном примере, не обращаясь к закону Ома.
Пусть параллельно соединены проводники из одного вещества с одинаковыми длинами \(l\), но разными поперечными сечениями \(S_1\) и \(S_2\). Тогда это соединение можно рассматривать как проводник той же длины \(l\), но с площадью сечения \(S = S_1 + S_2\). Имеем:

\(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle R \vphantom{1^a}}=\frac{\displaystyle S}{\displaystyle \rho l \vphantom{1^a}}=\frac{\displaystyle S_1+S_2}{\displaystyle \rho l \vphantom{1^a}}=\frac{\displaystyle S_1}{\displaystyle \rho l \vphantom{1^a}}+\frac{\displaystyle S_2}{\displaystyle \rho l \vphantom{1^a}}=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle R_1 \vphantom{1^a}}+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle R_2 \vphantom{1^a}}.\)

Приведённые доказательства свойств параллельного соединения без существенных изменений переносятся на случай любого числа проводников.

Из соотношения (1) можно найти \(R\):

\(R=\frac{\displaystyle R_1R_2}{\displaystyle R_1+R_2 \vphantom{1^a}}.\) (2)

К сожалению, в общем случае \(n\) параллельно соединённых проводников компактного аналога формулы (2) не получается, и приходится довольствоваться соотношением

\(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle R \vphantom{1^a}}=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle R_1 \vphantom{1^a}}+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle R_2 \vphantom{1^a}}+ \ldots + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle R_n \vphantom{1^a}}.\) (3)

Тем не менее, один полезный вывод из формулы (3) сделать можно. Именно, пусть сопротивления всех \(n\) резисторов одинаковы и равны \(R_1\). Тогда:

\(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle R \vphantom{1^a}}=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle R_1 \vphantom{1^a}}+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle R_1 \vphantom{1^a}}+ \ldots + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle R_1 \vphantom{1^a}} = \frac{\displaystyle n}{\displaystyle R_1 \vphantom{1^a}}\)

откуда

\(R=\frac{\displaystyle R_1}{\displaystyle n \vphantom{1^a}}.\)

Мы видим, что сопротивление участка из \(n\) параллельно соединённых одинаковых проводников в \(n\) раз меньше сопротивления одного проводника.

Смешанное сединение проводников, как следует из названия, может являться совокупностью любых комбинаций последовательного и параллельного соединений, причём в состав этих соединений могут входить как отдельные резисторы, так и более сложные составные участки.

Расчёт смешанного соединения опирается на уже известные свойства последовательного и параллельного соединений. Ничего нового тут уже нет: нужно только аккуратно расчленить данную схему на более простые участки, соединённые последовательно или параллельно.

Рассмотрим пример смешанного соединения проводников (рис. 6).

Рис. 6. Смешанное соединение

Пусть \(U = 14\) В, \(R_1 = 2\) Ом, \(R_2 = 3\) Ом, \(R_3 = 3\) Ом, \(R_4 = 5\) Ом, \(R_5 = 2\) Ом. Найдём силу тока в цепи и в каждом из резисторов.

Наша цепь состоит из двух последовательно соединённых участков \(ab\) и \(bc\). Сопротивление участка \(ab\):

\(R_{ab}=\frac{\displaystyle R_1R_2}{\displaystyle R_1+R_2 \vphantom{1^a}}=\frac{\displaystyle 2 \cdot 3}{\displaystyle 2+3 \vphantom{1^a}}=1,2\) Ом.

Участок \(bc\) является параллельным соединением: два последовательно включённых резистора \(R_3\) и \(R_4\) подключены параллельно к резистору \(R_5\). Тогда:

\(R_{bc} =\frac{\displaystyle (R_3 + R_4)R_5}{\displaystyle (R_3 + R_4 \vphantom{1^a}) + R_5}=\frac{\displaystyle (3 + 5) \cdot 2}{\displaystyle (3 + 5) + 2 \vphantom{1^a}} = 1,6\) Ом.

Сопротивление цепи:

\(R = R_{ab} + R_{bc} = 1,2 + 1,6 = 2,8\) Ом.

Теперь находим силу тока в цепи:

\(I =\frac{\displaystyle U}{\displaystyle R \vphantom{1^a}}=\frac{\displaystyle 14}{\displaystyle 2,8 \vphantom{1^a}}= 5\) A.

Для нахождения тока в каждом резисторе вычислим напряжения на обоих участках:

\(U_{ab} = IR_{ab} = 5 \cdot 1,2 = 6\) B;

\(U_{bc} = IR_{bc} = 5 \cdot 1,6 = 8\) B.

(Заметим попутно, что сумма этих напряжений равна \(14\) В, т. е. напряжению в цепи, как и должно быть при последовательном соединении.)

Оба резистора \(R_1\) и \(R_2\) находятся под напряжением \(U_{ab}\), поэтому:

\(I_1=\frac{\displaystyle U_{ab}}{\displaystyle R_1 \vphantom{1^a}}=\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}}=3\) A;

\(I_2=\frac{\displaystyle U_{ab}}{\displaystyle R_2 \vphantom{1^a}}=\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 3 \vphantom{1^a}}=2\) A.

(В сумме имеем \(5\) А, как и должно быть при параллельном соединении.)

Сила тока в резисторах \(R_3\) и \(R_4\) одинакова, так как они соединены последовательно:

\(I_3=I_4=\frac{\displaystyle U_{bc}}{\displaystyle R_3+R_4 \vphantom{1^a}}=\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 3+5 \vphantom{1^a}}=1 \) А.

Стало быть, через резистор \(R_5\) течёт ток \(I_5 = I - I_3 = 5 - 1 = 4\) A.