Уравнение состояния идеального газа

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: модель идеального газа, связь между давлением и средней кинетической энергией теплового движения молекул идеального газа, связь температуры газа со средней кинетической энергией его частиц, уравнение \(p=nkT\), уравнение Менделеева—Клапейрона.

Из трёх агрегатных состояний вещества наиболее простым для изучения является газообразное. В достаточно разреженных газах расстояния между молекулами намного больше размеров самих молекул (тогда как в жидкостях и твёрдых телах молекулы «упакованы» весьма плотно).Поэтому силы взаимодействия между молекулами таких газов очень малы.

Для описания разреженных газов в физике используется модель идеального газа. В рамках этой модели делаются следующие допущения.

1. Пренебрегаем размерами молекул. Иными словами, молекулы газа считаются материальными точками.
2. Пренебрегаем взаимодействием молекул на расстоянии.
3. Соударения молекул друг с другом и со стенками сосуда считаем абсолютно упругими.

Таким образом, идеальный газ — это газ, частицы которого являются не взаимодействующими на расстоянии материальными точками и испытывают абсолютно упругие соударения друг с другом и со стенками сосуда.

Оказывается, что ключевую роль в описании идеального газа играет средняя кинетическая энергия его частиц.

Частицы газа двигаются с разными скоростями. Пусть в газе содержится \(N\) частиц, скорости которых равны \(v_1, v_2, \ldots, v_N\). Масса каждой частицы равна \(m_0\). Кинетические энергии частиц:

\(E_1=\frac{\displaystyle m_0 v_1^2}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}}, E_2=\frac{\displaystyle m_0 v_2^2 }{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}}, \ldots,E_N=\frac{\displaystyle m_0 v_N^2}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}}.\)

Средняя кинетическая энергия \(E\) частиц газа  это среднее арифметическое их кинетических энергий:

\(E=\frac{\displaystyle E_1+E_2+ \ldots+E_N}{\displaystyle N \vphantom{1^a}}= \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle N \vphantom{1^a}}\left ( \frac{\displaystyle m_0 v_1^2}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}}+\frac{\displaystyle m_0 v_2^2}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}}+ \ldots + \frac{\displaystyle m_0 v_N^2}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}} \right ) =\frac{\displaystyle m_0}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}} \ \frac{\displaystyle v_1^2+v_2^2+ \ldots v_N^2}{\displaystyle N \vphantom{1^a}}.\)

Последний множитель — это средний квадрат скорости, обозначаемый просто \(v_2\):

\(v_2=\frac{\displaystyle v_1^2+v_2^2+ \ldots v_N^2}{\displaystyle N \vphantom{1^a}}.\)

Тогда формула для средней кинетической энергии приобретает привычный вид:

\(E=\frac{\displaystyle m_0 v^2}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}}.\) (1)

Корень из среднего квадрата скорости называется средней квадратической скоростью:

\(v=\sqrt{ \frac{\displaystyle v_1^2+v_2^2+ \ldots v_N^2}{\displaystyle N \vphantom{1^a}}}.\)

Cвязь между давлением газа и средней кинетической энергией его частиц называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа. Эта связь выводится из законов механики и имеет вид:

\(p= \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3 \vphantom{1^a}} nE. \ \ \) (2)

где \(n\) — концентрация газа (число частиц в единице объёма). С учётом (1) имеем также:

\(p= \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3 \vphantom{1^a}} m_0 nv^2. \ \ \) (3)

Что такое \(m_0n\)? Произведение массы частицы на число частиц в единице объёма даёт массу единицы объёма, то есть плотность: \(m_0n= \rho\). Получаем третью разновидность основного уравнения:

\(p= \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3 \vphantom{1^a}} \rho v^2. \ \ \) (4)

Можно показать, что при установлении теплового равновесия между двумя газами выравниваются средние кинетические энергии их частиц. Но мы знаем, что при этом становятся равны и температуры газов. Следовательно, температура газа — это мера средней кинетической энергии его частиц.

Собственно, ничто не мешает попросту отождествить эти величины и сказать, что температура газа — это средняя кинетическая энергия его молекул. В продвинутых курсах теоретической физики так и поступают. Определённая таким образом температура измеряется в энергетических единицах — джоулях.

Но для практических задач удобнее иметь дело с привычными кельвинами. Связь средней кинетической энергии частиц и абсолютной температуры газа даётся формулой:

\(E= \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}} kT, \ \ \) (5)

где \(k=1,38 \cdot 10^{-23}\) Дж/К — постоянная Больцмана.