Электрическая цепь. Как накапливается и распределяется энергия

Вадим Муранов, победитель всероссийского конкурса «Учитель года», преподаватель физики с 24-летним опытом работы.

Добрый день! Мы снова с вами в месте!

Точно, что электромагнитная энергия - это то, что обеспечивает нашу с вами комфортную жизнь. Исчезни она, и неизвестно, во что бы превратилась наша цивилизация, которая целиком и полностью зависит от электромагнитной энергии.

У нас сегодня будут задачи, в которых электромагнитная энергия преобразуется во внутреннюю, то есть в тепловую энергию. И в данном случае эту электромагнитную энергию способны накапливать два устройства: конденсатор и катушка. Конденсатор – это устройство, которое накапливает электрическую энергию, а катушка – это устройство, которое способно накапливать энергию магнитного поля.

«В электрической цепи, показанной на рисунке, ЭДС источника тока равна 20 В; индуктивность катушки 8 мГн; сопротивление лампы 4 Ом и сопротивление резистора 6 Ом. В начальный момент времени ключ К замкнут. Какой должна быть ёмкость конденсатора, чтобы после размыкания ключа в лампе выделилась энергия 120 мДж? Внутренним сопротивлением источника, а также сопротивлением проводов и катушки пренебречь.

Необходимо посмотреть, что будет происходить в нашей схеме при замкнутом ключе. При замкнутом ключе конденсатор будет, конечно, через какое-то время заряжен, но, так как этот ключ будет замкнут довольно долго, заряженный конденсатор через себя ток не пропускает, поэтому ток протекает только по катушке и лампочке.

Ток протекает, конечно, от + к – и не протекает через конденсатор, то есть вот таким образом

Это значит, что силу тока мы можем найти на основании закона Ома для полной цепи \(I=\frac{E}{R+r}\).

Внутренним сопротивлением источника нам предлагают пренебречь. В этом случае r = 0, получается \(\frac{20}{4}\) и получается 5 Ампер – это сила тока, которая протекает по нашей цепи. Эта же сила тока протекает и через катушку, а мы с вами знаем, что катушка, по которой протекает ток, накапливает внутри себя энергию магнитного поля, которую мы вычисляем по формуле \(W_{m}=\frac{LI^{2}}{2}\).

Кроме того, мы с вами знаем, что, раз ток протекает по лампе, то можно найти напряжение на этой лампе по закону Ома \(U_{l}=I\cdot R_{l}\).

Но так как нет внутреннего сопротивления, мы получим тоже самое, что и ЭДС, то есть те же 20 В. При этом мы замечаем, что напряжение на лампе, на которой напряжение не 0, а на катушке напряжение 0, потому что она не обладает своим собственным сопротивлением, будет таким же, как напряжение на конденсаторе, потому что ток по этой ветке не течет, но, по сути, конденсатор является подключенным к лампочке с катушкой. Значит, напряжение на конденсаторе такое же, как и напряжение на лампе, ведь они подключены параллельно.

Так же параллельно он подключен еще и к источнику, поэтому \(U_{c}=U_{l}=E=20V\).

Конденсатор, который находится под напряжение, накопил внутри себя энергию электрического поля, которое вычисляется по формуле \(W_{e}=\frac{CU^{2}}{2}\).

Мы видим, что у нас два элемента в цепи, которые способны накапливать электромагнитную энергию, но при этом всю накопившуюся энергию они отдадут в тот момент, когда ключ будет разомкнут.

Теперь приступаем ко второй части этой задачи, когда ключ К разомкнут.

Если разомкнуть ключ, то все, что накопили катушка и конденсатор, будет выделено в лампе и резисторе. То есть \(W_{m}+W_{e}=Q_{r}+Q_{l}\).

При этом неизвестно, какое именно количество теплоты выделяется на каждом из них, но зато известно, какое количество теплоты выделяется именно в лампе. Но мы с вами знаем, что при размыкании цепи источник у нас отключается и соединение лампы, резистора, катушки и конденсатора становится замкнутым контуром

Ток в этой цепи будет протекать по замкнутому кругу, и это означает, что соединение между лампой и резистором будет последовательным. А при последовательном соединении \(\frac{Q_{l}}{Q_{r}}=\frac{R_{l}}{R_{r}}\). Запомните, пожалуйста, эту пропорцию. Если бы было соединение параллельное, то пропорция была бы обратная. В данном случае она прямая, и мы выражаем из нее Q_r

\(Q_{r}=\frac{Q_{l}\cdot R_{r}}{R_{l}}=\frac{Q_{l}\cdot 6}{4}=1,5Q_{l}\)

И делаем вывод, что \(\frac{LI^{2}}{2}+\frac{CU^{2}}{2}=2,5Q_{l}\). Это получилось, потому что \(Q_{r}=1,5Q_{l}\).

Убираем знаменатели, домножив наше равенство на 2 \(LI^{2}+CU^{2}=5Q_{l}\).

А уже из этого выражения выражаем емкость конденсатора \(C=\frac{5Q_{l}-LI^{2}}{U^{2}}\).

В эту формулу подставляем все, что нам изместно \(C=\frac{5\cdot 120\cdot10^{-3} -8\cdot 10^{-3}\cdot 25}{20^{2}}\).

Получается очень простой ответ \(1\cdot 10^{-3}\) Ф = 1 мФ.

Все видео по физике