Вадим Муранов, победитель всероссийского конкурса «Учитель года», преподаватель физики с 24-летним опытом работы.
Всем привет! Меня зовут Муранов Вадим Александрович, я рад всех приветствовать и представить пятую, финальную серию нашего уникального и очень захватывающего сериала «Математика в физике».
Первый сезон назывался производная, и пятая серия, финальная, так же связана с производной, но теперь это будет производная в Олимпиадной задаче по физике. Итак, смотрим!
«Палочка длиной L стоит вертикально на горизонтальной опоре около стенки. На нижнем конце палочки сидит жук. В некоторый момент времени палочка начинает двигаться так, что ее нижний конец движется с постоянной скоростью V по горизонтальной опоре, а верхний скользит вдоль стенки. В этот же момент жук начинает двигаться вдоль палочки с постоянной (относительно палочки) скоростью V1. На какую максимальную высоту над горизонтальной опорой поднимется жук?»
Итак, это палочка, по которой ползет жук, нижний конец которой со скоростью V движется вдоль горизонтальной опоры, а верхний конец палочки скользит вниз по стенке.
Соответственно, палочка скатывается, а жук ползет вверх. Спрашивается, на какую максимальную высоту может подняться жук.
Вот суть нашей задачи. И эту задачу мы так же с вами решим с помощью производной, а точнее с помощью нахождения максимального значения некой функции с помощью производной.
Функции пока никакой нет и пока, вроде бы, не предвидится, но скоро она появится.
Давайте заметим, что жук ползет по палочке с постоянной относительно палочке скоростью. А это значит, что в некоторый момент времени t он проползет по ней расстояние, которое можно определить следующим образом V1 * t.
V1 – это скорость жука, t – время, которое он прополз по палочке.
В этот момент времени палочка будет образовывать некий угол с горизонтальной опорой, и высоту h, на которую поднялся к этому моменту жук, можно будет выразить следующим образом: так как высота – это противолежащий катет, а произведение V1 * t – это гипотенуза, то высота может быть выражена следующим образом h= V1×t×sinα, под которым находится в данный момент времени палочка.
Естественно, что с каждым моментом времени t меняется и сам угол, меняется и высота. Нужно определить, какой максимальной высоты достигнет этот жук. Но у нас две переменные величины: изменяется угол и изменяется время. Надо что-то с этим делать, ведь переменная должна быть только одна. По крайней мере, в школьной физике и школьной математике. В институте вы узнаете, что есть функции нескольких переменных, и это вас уже не будет пугать, а пока переменная должна быть только одна.
Попробуем избавиться от неизвестного угла альфа. Конец палочки к этому же моменту времени прошел некое расстояние. Изначально она стояла вертикально, вдоль стенки. Это означает, что раз ее нижний конец движется с постоянной скоростью V, то за тот же самый момент времени она пройдет путь равный V * t.
И это снова катет, но на сей раз это прилежащий катет, а гипотенузой является длина всей палочки. Кстати сказать, длина палочки известная величина в этой задаче l.
Поэтому можно выразить следующим образом косинус угла α, который образует палочка с горизонтальной опорой. Косинусом называют отношение прилежащего катета к гипотенузе \(\cos \alpha =\frac{V\cdot t}{l}\). Таким образом мы получили еще одно выражения для cosα, но мы с вами прекрасно знаем, что синус можно выразить через косинус с помощью основного тригонометрического тождества, которое заключается в том, что
\(\sin ^2{\alpha }+\cos^{2} \alpha=1\)
Это означает, что \(\sin ^2{\alpha }=1-\cos^{2} \alpha\).
А сам синус равен \(\sin {\alpha }=\sqrt{1-\cos^{2} \alpha}\).
В таком случае вместо \(cos^{2} \alpha\) мы подставим дробное выражение \(\frac{V\cdot t}{l}\) и получим, что
\(\sin \alpha =\sqrt{1-\frac{V^{2}t^{2}}{l^{2}}}\).
Можем привести к общему знаменателю, чтобы получить более понятно и удобное выражение
\(\sin \alpha =\sqrt{1-\frac{V^{2}t^{2}}{l^{2}}}=\frac{\sqrt{l^{2}-V^{2}t^{2}}}{l}\).
Это выражение вместо синуса мы подставим в выражения для высоты, на которую поднялся жук.
Тогда мы получим окончательно следующее выражение для высоты
\(h=\frac{V_{1}t}{l}\sqrt{l^{2}-V^{2}t^{2}}\).
Таким образом мы получили выражение для высоты h, а точнее говоря, мы получили функцию, зависимость высоты h от времени t. Все остальное в этом выражении постоянно. Таким образом мы получили функции h(t), и теперь нашей задачей будет определить максимальное значение этой функции, для чего нам и нужно будет применить метод, который в математике называется методом поиска экстремума или методом нахождения максимального и минимального значения.
Этот метод заключается в том, что мы находим производную и приравниваем ее к нулю h’(t)=0. В данном случае производная будет сложно находиться, потому что функция является произведением двух функций. Необходимо воспользоваться правилом нахождения производной от произведения (f*g)’=f’*g+g’*f. Это правило мы сейчас с успехом применим для нашей функции и получим выражение для производной
\({h}'=\frac{\upsilon _{1}}{l}\sqrt{l^{2}-\upsilon ^{2}t^{2}}+\frac{{(l^{2}-\upsilon ^{2}t^{2})}'}{2\sqrt{l^{2}-\upsilon ^{2}t^{2}}}\cdot \frac{\upsilon_{1}t}{l}\).
Вот такая сложная производная, и это еще не конец, потому что мы должны ее немного упростить
\(=\frac{\upsilon _{1}}{l}\sqrt{l^{2}-\upsilon ^{2}t^{2}}+\frac{-2\upsilon ^{2}t}{2\sqrt{l^{2}-\upsilon ^{2}t^{2}}}\cdot\frac{\upsilon _{1}t}{l}\).
Приведем два эти выражения к общему знаменателю, домножив первое выражение на \(2\sqrt{l^{2}-\upsilon ^{2}t^{2}}\).
Получится следующее
\(=\frac{2\upsilon _{1}(l^{2}-\upsilon ^{2}t^{^{2}})-2\upsilon _{1}\upsilon ^{2}t^{2}}{2l\sqrt{l^{2}-\upsilon ^{2}t^{2}}}=0\)
Такие алгебраические преобразования мы делаем для того, чтобы получить более понятное, простое выражение.
Производная приравнивается к нулю. А так как знаменатель не может быть равен нулю, то равен нулю будет числитель. Все это мы делали только для того, чтобы получить более или менее нормальный числитель, который мы приравниваем к нулю.
Раскрываем скобки \(2\upsilon _{1}l^{2}-2\upsilon _{1}\upsilon ^{2}t^{2}-2\upsilon _{1}\upsilon ^{2}t^{2}=0\)
Окончательно получаем следующее \(2\upsilon _{1}l^{2}-4\upsilon _{1}\upsilon ^{2}t^{2}=0\).
Отсюда теперь очень легко получить время, то есть момент времени, в который будет максимальной высота, на которую поднимется жук.
\(2\upsilon _{1}l^{2}=4\upsilon _{1}\upsilon ^{2}t^{2}\)
\(t^{2}=\frac{l^{2}}{2\upsilon ^{2}}\Rightarrow t=\frac{l}{\sqrt{2}\upsilon }\)
С помощью вычисления производной и приравнивания ее к нулю мы получили с вами момент времени, в который будет достигнута максимальная высота, то есть момент времени, в который жук поднимется на максимальную высоту. Осталось только подставить этот момент времени t в выражение для высоты h и найти, на какой же максимальной высоте окажется жук.
Эту задачу действительно я встретил в одной из Олимпиад и она действительно довольно сложная. Там и выражения сложные получаются, и сама функция довольно сложная, и производная берется тоже довольно сложно, потому что это производная произведения, а один из множителей является еще и сложной функцией. Вот для чего вас на уроках математики учат находить производные сложных функций, чтобы потом в физике вы могли решить вот такие олимпиадные задачи с применением производной.
\(h=\frac{\upsilon _{1}l}{l\sqrt{2}\upsilon }\cdot \sqrt{l^{2}-\frac{\upsilon ^{2}l^{2}}{2\upsilon ^{2}}}\)
Многие вещи сокращаются. В итоге получается \(=\frac{\upsilon _{1}}{\sqrt{2}\upsilon }\cdot \sqrt{\frac{l^{2}}{2}}\).
В итоге получаем следующее \(\frac{\upsilon _{1}l}{2\upsilon }\).
Если бы нам были даны некие числовые данные, мы бы подставили их в это выражение и получили конкретное значение высоты h, на которую поднимется жук. На самом деле это и есть значение максимальной высоты, на которую он сможет подняться, а нашли мы ее следующим образом: составили некое выражение для высоты h, использовав знания о физике и немного знания о геометрии; составили выражение для высоты h, получилась функция; нашли производную этой функции, приравняли ее к нулю; определили момент времени t, в который жук поднимется на максимальную высоту, подставили его в выражение высоты h и получили выражение для этой максимальной высоты.
Вот так несложно и довольно просто можно решить эту задачу, зная способы вычисления производных, зная правила нахождения производных.
Так что учитесь математике и решайте задачи по физике с помощью математики.
Итак, вы посмотрели пятую, финальную серию первого сезона нашего уникального и очень интересного сериала «Математика в физике». Первый сезон называется «Производная». Пятая серия была посвящена производной в олимпиадной задаче по физике.
Надеюсь, что вы с интеерсом будете смотреть все серии нашего сериала. Ждите с нетерпением второй сезон, как ждем его и мы.
Буду рад присутствию на наших торансляциях, вашим лайкам и комментариям. С удовольствием встретимся с вами на наших воскресных мастер-классах в ЕГЭ-Студии.
Занимайтесь физикой и готовьтесь к ЕГЭ вместе с нами. Всего доброго!
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
