Вадим Муранов, победитель всероссийского конкурса «Учитель года», преподаватель физики с 24-летним опытом работы.
Добрый день! Рад приветствовать всех на нашем канале по физике от ЕГЭ-Студии.
Сегодня мы запускаем наш сериал! Да-да, именно сериал, не удивляйтесь. И первый сезон этого сериала называется «Производная». В первой пилотной серией нашего сезона вы узнаете производной в кинематике. В главных ролях: физика и математика, а в эпизодах – я, Муранов Вадим Александрович, учитель физики, решаю с вами задачи.
«Точки 1 и 2 движутся по осям х и у к началу координат. В момент t=0 точка 1 находится на расстоянии S1=10 см, а точка 2 на расстоянии S2=5 см от начала координат. Первая точка движется со скоростью V1=2 см/с, а вторая V2=4 см/с. Каково наименьшее расстояние между ними в процессе движения?»
Изобразим нашу ситуацию по кинематике в соответствии с условием задачи на рисунке
| S1 = 10 см S2 = 5 см V1 = 2 см/с V2 = 4 см/с Smin = ? |
|
Оси х и у, вдоль которых движутся два тела, две материальные точки
Необходимо определить в какой момент времени и каким будет минимальное расстояние между этими точками в процессе их движения. Расстояние между точками определяется следующим образом
И вы, наверное, уже догадались, что это расстояние S между точками мы будем находить по теореме Пифагора. Но главное здесь будет – это нахождение минимального расстояния между телами, то есть с помощью производной. Эта задача на нахождение минимального значения некой функции. В математике она решается довольно часто, в физике бывает реже, но тем не менее это очень важное умение. Если вы его освоите, то вы будете на шаг ближе к настоящей, реальной физике, чего мне очень бы и хотелось.
Сначала мы должны составить уравнение движения каждой точки.
Уравнением движения первой точки будет выглядеть следующим образом: движение равномерное, без ускорения, вектор скорости направлен против оси х, это значит, что проекция скорости V1 на ось х будет отрицательной x = S1 - V1 × t
Запишем уравнение движения второй материальной точки. Вектор ее скорости, как вы видите, также направлен против оси у, значит, проекция скорости будет отрицательной. Ускорения нет, и это значит, что третьего слагаемого не будет в этих уравнениях y = S2 - V2 × t
Система уравнений движения материальных точек записана
⎰x = S1 - V1 × t
⎱y = S2 - V2 × t
Все числовые данные представлены в сантиметрах и сантиметрах в секунду, значит, нет смысла переводить эти значения в метры и метры в секунду. Оставим их в тех единица, которые нам были даны, тогда ответ мы тоже получим в сантиметрах.
В числовом виде уравнения движения будут выглядеть следующим образом
⎰x = S1 - V1 × t = 10 - 2 × t
⎱y = S2 - V2 × t = 5 - 4 × t
Как определить расстояние между точками, мы с вами уже обсудили, по теореме Пифагора
S = √ x2 + y2
Вместо х и у мы подставим те уравнения движения, которые мы с вами составили
S = √ (10 - 2 × t)2 + (5 - 4 × t)2
Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые
S = √ (10 - 2 × t)2 + (5 - 4 × t)2 = √ 100 - 40 × t + 4 × t2 + 25 - 4 × t + 16 × t2 = √ 125 - 80 × t + 20 × t2
Получили выражение для расстояния между нашими точками. Это расстояние меняется и является функцией времени по сути получили с вами зависимость S(t). Но дело в том, что подкоренное выражение – это обычная квадратичная функция, и если оно будет минимальным, то и само значение S также будет минимальным, поэтому удобнее будет рассмотреть в нашей задаче не S(t), а S2(t), чтобы квадратный корень нам не очень сильно мешал в нахождении производной.
Тогда S2(t) = 125 - 80 × t + 20 × t2
Необходимо найти минимальное значение этой функции. Да, конечно, вы можете обойтись и без знаний о производной, вы можете вспомнить, что это парабола, ветвями вверх или вниз и т. д. Но мы с вами сделаем по-другому, мы найдем производную этой функции (S2)′ = - 80 + 40 × t. Приравниваем к нулю, т. к. условие экстремума ƒ′(x) = 0. Это математическая запись, в нашем случае (S2)′ = 0.
Из этого равенства - 80 + 40 × t = 0 мы находим, что минимальное значение функции S2 будет при t = 2 с
(S2)′ = 0 ⇒ t = 2 с
Нам остается толь выяснить, чему будет равно S. Для этого надо 2 с подставить в уравнения движения наших тел. В итоге получаем x = 10 - 2 × 2 = 6 см, y = 5 - 4 × 2 = - 3 см.
Такие будут значения х и у, а S мы находим по теореме Пифагора и получаем S = √ 62 + 32, S ≈ 6,7 см.
Это и есть минимальное расстояние между точками в нашей задаче, которые мы нашли при помощи вычисления производной и приравнивания этой производной к нулю. Это общее правило нахождения максимального и минимального значения: вычисляем производную данной функции, приравниваем ее к нулю, находим значение переменной, при которой эта производная обращается в ноль, далее по этому значению определяем значение самой функции, оно и будет минимальным или максимальным. Вот таким образом в кинематике можно применить знание о производной и решить задачу на максимальное и минимальное значение. В данном случае мы определили, что минимальным расстояние между телами будет 6,7 см.
Итак, вы посмотрели первую нашего сериала «Производная в кинематике». Приходите к нам на наши занятия, смотрите наши трансляции, заходите на наш канал, смотрите наш сериал дальше. Во второй серии вас ожидает производная в молекулярно-кинетической теории.
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
