Задача 31 на ЕГЭ по физике

Эксперт ЕГЭ Н. Л. Точильникова
Задача 31 на ЕГЭ по физике – это расчетная задача из раздела «механические колебания», «электричество» (электростатика, конденсаторы или электрические цепи), «магнетизм», «электромагнитные колебания» или «оптика». Задача может быть и комбинированной: сразу на несколько тем.

Например, вот задача на электростатику и механические колебания:

1. ЕГЭ-2010, вар. 2926

По гладкой горизонтальной направляющей длины \(2l\) скользит бусинка с положительным зарядом \(Q>0\) и массой \(m\). На концах направляющей находятся положительные заряды \(q>0\) (см. рисунок). Бусинка совершает малые колебания относительно положения равновесия, период которых равен \(T\).

Чему будет равен период колебаний бусинки, если ее заряд увеличить в 2 раза?

Решение:

При небольшом смещении \(x (x \ll l)\) бусинки от положения равновесия

на нее действует возвращающая сила:

\(F_x=k\genfrac{}{}{}{0}{qQ}{(l+x)^2}-k\genfrac{}{}{}{0}{qQ}{(l-x)^2}=kqQ\genfrac{}{}{}{0}{(l-x)^2-(l+x)^2}{(l+x)^2(l-x)^2}=\)

\(=-kqQ\genfrac{}{}{}{0}{4lx}{(l+x)^2(l-x)^2}\approx -k\genfrac{}{}{}{0}{4qQ}{l^3}x,\)

пропорциональная смещению \(x\). Ускорение бусинки, в соответствии со вторым законом Ньютона, \(ma=-k\genfrac{}{}{}{0}{4qQ}{l^3}x,\), пропорционально смещению.

Отсюда \(a=-k\genfrac{}{}{}{0}{4qQ}{ml^3}x\). С другой стороны при гармонических колебаниях \(a=-\omega^2x\).

Откуда:

\(\omega^2=k\genfrac{}{}{}{0}{4qQ}{ml^3}\),  а  \(\omega=\sqrt {k\genfrac{}{}{}{0}{4qQ}{ml^3}}.\)

Так как \(T = k\genfrac{}{}{}{0}{2\pi}{\omega} \), получаем:

\(T = k\genfrac{}{}{}{0}{2\pi}{\sqrt {k\genfrac{}{}{}{0}{4qQ}{ml^3}}}\)

То есть при такой зависимости ускорения от смещения бусинка совершает гармонические колебания, период которых \(T=\pi \sqrt {\genfrac{}{}{}{0}{m}{kqQ}l^3}\).

При увеличении заряда бусинки \(Q_1=2Q\) период колебаний уменьшится:

\(\genfrac{}{}{}{0}{T_1}{T}=\sqrt{\genfrac{}{}{}{0}{Q}{Q_1}}=\genfrac{}{}{}{0}{1}{\sqrt{2}}.\)

Ответ: \(T_1=\genfrac{}{}{}{0}{T}{\sqrt{2}}\)

2. ЕГЭ – 2010, вариант 2926

Горизонтальный проводящий стержень прямоугольного сечения поступательно движется с ускорением вверх по гладкой наклонной плоскости в вертикальном однородном магнитном поле (см. рисунок).

По стержню протекает ток \(I\). Угол наклона плоскости \(\alpha = 30^{\circ}\). Отношение массы стержня к его длине \(\genfrac{}{}{}{0}{m}{L} = 0,1 \) кг/м.

Модуль индукции магнитного поля \(B=0,2\) Тл. Ускорение стержня \(a=1,9\) м/с2 . Чему равна сила тока в стержне?

Решение:

1) На рисунке показаны силы, действующие на стержень с током:

– сила тяжести \(mg\), направленная вертикально вниз;
– сила реакции опоры \(N\), направленная перпендикулярно к наклонной плоскости;
– сила Ампера \(F_A\), направленная горизонтально вправо, что вытекает из условия задачи.

2) Модуль силы Ампера \(F_A=IBL\), (1)
где \(L\) – длина стержня.

3) Систему отсчета, связанную с наклонной плоскостью, считаем инерциальной.

Для решения задачи достаточно записать второй закон Ньютона в проекциях на ось \(x\) (см. рисунок): \(ma_x=-mg \sin \alpha + IBL \cos \alpha\), (2)
где \(m\) – масса стержня.

Отсюда находим \(I=\genfrac{}{}{}{0}{m}{L}\cdot \genfrac{}{}{}{0}{(a_x+g \sin \alpha)}{B \cos \alpha}.\) (3)

\(I=\genfrac{}{}{}{0}{0,1 \cdot (1,9 + 10 \cdot \genfrac{}{}{}{0}{1}{2})}{0,2 \cdot \genfrac{}{}{}{0}{\sqrt{3}}{2}}\approx 4 A.\)

Ответ: \(I \approx 4\) А.