Задача 32 на ЕГЭ по физике

Эксперт ЕГЭ Н. Л. Точильникова
Задача 32 на ЕГЭ по физике (по старой нумерации С6) – это расчетная задача, как правило, из раздела «квантовая физика» или волновая оптика. Но задача может быть и комбинированной: сразу на несколько тем. Или просто необычной.

Например, вот несложная задача на закон сохранения энергии:

1. Тренировочная работа № 3 от 11.04.2013

Радиоактивные источники излучения могут использоваться в космосе для обогрева оборудования космических аппаратов. Например, на советских «Луноходах» были установлены тепловыделяющие капсулы на основе полония-210. Реакция распада этого изотопа имеет вид: \(\vphantom{1}_{\hphantom{i}84}^{210}Po \rightarrow \vphantom{1}_{\hphantom{i}84}^{206}Po + \alpha\), где получающиеся \(\alpha\)-частицы обладают кинетической энергией \(E=5,3\) Мэв. Сколько атомов полония должно распасться в тепловыделяющей капсуле, чтобы с ее помощью можно было превратить в воду лед объемом \(V=10\) см\(\vphantom{1}^3\), находящийся при температуре \(0^{\circ}\)С? Плотность льда \(\rho=900\) кг/м\(\vphantom{1}^3\), теплоемкостью стакана и капсулы, а также потерями теплоты можно пренебречь.

Дано:

\(E=5,3\) Мэв
\(V=10\) см\(\vphantom{1}^3\) \(=10 \cdot 10^{-6}\) м\(\vphantom{1}^3\) \(= 10^{-5}\)м\(\vphantom{1}^3\)
\(t=0^{\circ} C\)
\(\rho=900\) кг/м\(\vphantom{1}^3\)

Найти: \(N\)

Решение:

1) Найдем количество теплоты, необходимое для того, чтобы превратить в воду лед объемом \(V=10\) см\(\vphantom{1}^3\), находящийся при температуре \(0^{\circ} C\):

\(Q=\lambda m,\)

Где \(\lambda = 3,3 \cdot 10^5\) Дж/кг – удельная теплота плавления льда (табличная величина), а \(m= \rho V\) – масса льда.

Тогда:

\(Q = \lambda \rho V= 3,3 \cdot 10^5 \cdot 900 \cdot 10^{-5} = 2970\) Дж

2) Теперь запишем выражение для суммарной энергии \(\alpha\)-частиц:

\(W=NE\)

3)По условию задачи энергии \(\alpha\)-частиц полностью переходит в тепло: \(W=Q\)

То есть:

\(NE=Q\)

\(N=\genfrac{}{}{}{0}{Q}{E}=\genfrac{}{}{}{0}{\lambda \rho V}{E}\)

Энергия в Дж:

\(E=5,3 \cdot 10^6\) эВ \( = 5,3 \cdot 10^6 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}\) Дж \( = 8,48 \cdot 10^{-13}\) Дж,
где \(e=1,6 \cdot 10^{-19}\) Кл – заряд электрона.

Тогда:

\(N=\genfrac{}{}{}{0}{2970}{8,48 \cdot 10^{-13}}=3,5 \cdot 10^{15}\)

Ответ: \(N=3,5 \cdot 10^{15}\) – число атомов полония, которые должны распасться.

А вот задача на радиоактивный распад, очень испугавшая абитуриентов своим медицинским содержанием, так что ее мало кто решил.

2. ЕГЭ-2012, Вар. 103

Пациенту ввели внутривенно дозу раствора, содержащего определённый изотоп натрия. Активность \(1\) см\(\vphantom{1}^3\) этого раствора \(a_0=2000\) распадов в секунду. Период полураспада изотопа равен \(T=15,3\) ч. Через \(t=3\) ч \(50\) мин активность \(1\) см\(\vphantom{1}^3\) крови пациента стала \(a=0,28\) распадов в секунду. Каков объём введённого раствора, если общий объём крови пациента \(V=6\) л? Переходом ядер используемого изотопа натрия из крови в другие ткани организма пренебречь.

Дано:

\(a_0=2000\) расп. в секунду
\(a=0,28\) расп. в секунду
\(V=6\) л \( = 6 \cdot 10^{-3}\) м\(\vphantom{1}^3\)
\(T=15,3\) ч \(= 15 \cdot 60 + 0,3 \cdot 60 = 900 + 18 = 918\) мин
\(t=3\) ч \(50\) мин \(3 \cdot 60 +50 = 230\) мин

Найти: \(N\)

Решение:

Активность всего объема крови пациента по прошествии времени \(t\), после введения препарата объемом \(1\) cм\(\vphantom{1}^3\), согласно закону радиоактивного распада, равна \(a(t)=a_0 \cdot 2^{\genfrac{}{}{}{0}{-t}{T}}\).

Пусть \(V_0\) - начальный объем раствора, который на самом деле ввели пациенту.

Тогда активность образца крови в момент времени \(t: a=a(t)\genfrac{}{}{}{0}{V_0}{V}\).

Отсюда \(V_0=a \cdot \genfrac{}{}{}{0}{V}{a(t)}=\genfrac{}{}{}{0}{a \cdot V}{a_0 \cdot 2^{\genfrac{}{}{}{0}{-t}{T}}}=a \cdot V \cdot \genfrac{}{}{}{0}{2^{\genfrac{}{}{}{0}{t}{T}}}{a_0}\)

\(V_0=0,28 \cdot 6 \cdot 10^{-3} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{2^{\genfrac{}{}{}{0}{230}{918}}}{2000}= 10^{-6}\) м\(\vphantom{1}^3\)

Ответ: \(V_0 \approx 1\) см\(\vphantom{1}^3\).