Задание 14. Кодирование чисел. Системы счисления. Операции в разных СС с одной/двумя переменными. Операции в одной СС. Прямое сложение в СС

Задание 14 в ЕГЭ по информатике относится к заданиям повышенной сложности. Оно проверяет наше знание позиционных систем счисления. Разберем ключевые термины и теорию, которые важны для понимания и успешного выполнения этого задания.

Система счисления — это способ представления чисел с помощью ограниченного набора символов. В разных системах счисления используются разные основания (например, 2, 10, 16), которые определяют, сколько уникальных цифр можно использовать. В привычной для нас десятичной системе (основание 10) используются цифры от 0 до 9. В двоичной системе (основание 2) — только 0 и 1. Основание системы счисления также определяет, какую степень этого основания принимает каждая позиция числа, и чем дальше цифра расположена слева, тем большую "весомость" она имеет.

Операнды — это значения или переменные, над которыми выполняются операции в математическом или программном выражении. Например, в выражении 5 + 3, где выполняется операция сложения, числа 5 и 3 являются операндами. Операнды могут быть числами, переменными или даже более сложными выражениями, которые участвуют в вычислениях, таких как сложение, вычитание, умножение и деление.

Полиномы — это математические выражения, состоящие из суммы нескольких членов, каждый из которых представляет собой число (коэффициент), умноженное на переменную в определенной степени. Например, 3x^2 + 2x + 5 — это полином, где каждый член (например, 3x^2, 2x, и 5) состоит из коэффициента и степени переменной x. Полиномы часто используются для описания различных зависимостей и функций, и их степень определяется наибольшей степенью переменной.

Популярные системы счисления:

Десятичная система:

• Самая распространенная система счисления с основанием 10, использующая цифры от 0 до 9.
• Когда прибавляем к 9 (наибольшей цифре) единицу, пишем 0 и добавляем следующий разряд, получая 10.
• Понимание этой логики упрощает изучение других систем счисления.

Двоичная система:

• Имеет основание 2 и состоит из цифр 0 и 1.
• При сложении 1 + 1 получаем 10, переходя на следующий разряд.
• Примеры сопоставления с десятичной системой:

1 = 1, 2 = 10, 3 = 11, 4 = 100, и так далее.

Восьмеричная система:

• Основание 8, цифры от 0 до 7.
• Примеры перевода из десятичной: 5 = 5, 8 = 10, 9 = 11, 12 = 14.

Шестнадцатеричная система:

• Основание 16, цифры от 0 до F (A = 10, B = 11, ..., F = 15).
• Примеры перевода из десятичной: 8 = 8, 10 = A, 15 = F, 16 = 10.

Перевод чисел из десятичной системы в другие системы счисления:

Чтобы перевести число из десятичной системы в другую (например, в двоичную, восьмеричную или шестнадцатеричную), используем деление на основание новой системы:

1) Делим число на основание новой системы.
2) Записываем остаток.
3) Продолжаем деление частного на основание, пока частное не станет равно 0.
4) Остатки записываем в обратном порядке для получения результата.

Примеры перевода:

Перевод числа 25 в двоичную систему:

1) 25 ÷ 2 = 12 (остаток 1)
2) 12 ÷ 2 = 6 (остаток 0)
3) 6 ÷ 2 = 3 (остаток 0)
4) 3 ÷ 2 = 1 (остаток 1)
5) 1 ÷ 2 = 0 (остаток 1)

Ответ: 11001

Перевод числа 123 в восьмеричную систему:

1) 123 ÷ 8 = 15 (остаток 3)
2) 15 ÷ 8 = 1 (остаток 7)
3) 1 ÷ 8 = 0 (остаток 1)

Ответ: 173

Перевод числа 241 в шестнадцатеричную систему:

1) 241 ÷ 16 = 15 (остаток 1)
2) 15 ÷ 16 = 0 (остаток F)

Ответ: F1

Перевод чисел из других систем счисления в десятичную:

Чтобы перевести число из другой системы счисления в десятичную, используем степени основания исходной системы:

1) Определяем разряд каждой цифры (это степень основания системы).
2) Умножаем каждую цифру на основание в степени, соответствующей её разряду.
3) Складываем все произведения.

Примеры перевода:

Переведем число 1101 из двоичной системы в десятичную.

1.    Запишем число и под каждой цифрой укажем ее разряд (степень двойки):
1   1   0   1
3   2   1   0

2.    Умножим каждую цифру 1101 на 2 в степени, соответствующей ее разряду:
1 * 2³ = 1 * 8 = 8
1 * 2² = 1 * 4 = 4
0 * 2¹ = 0 * 2 = 0
1 * 2⁰ = 1 * 1 = 1

3.    Сложим все полученные произведения:
8 + 4 + 0 + 1 = 13

Получим, что 1101 в двоичной системе = 13 в десятичной

Переведем число 372 из восьмеричной системы в десятичную.

1.  Запишем число и под каждой цифрой укажем ее разряд (степень восьмерки):
3   7   2
2   1   0

2.  Умножим каждую цифру на 8 в степени, соответствующей ее разряду:
3 * 8² = 3 * 64 = 192
7 * 8¹ = 7 * 8 = 56
2 * 8⁰ = 2 * 1 = 2

3.  Сложим все полученные произведения:
192 + 56 + 2 = 250

Получим, что 372 в восьмеричной системе = 250 в десятичной

Переведем число A3F из шестнадцатеричной системы в десятичную.

1. Запишем число и под каждой цифрой укажем ее разряд (степень шестнадцати):
A   3   F
2   1   0

2. Умножим каждую цифру на 16 в степени, соответствующей ее разряду:
A (10) * 16² = 10 * 256 = 2560
3 * 16¹ = 3 * 16 = 48
F (15) * 16⁰ = 15 * 1 = 15

3. Сложим все полученные произведения:
o    2560 + 48 + 15 = 2623

A3F в шестнадцатеричной = 2623 в десятичной

Системы счисления с различными основаниями имеют свои правила, но основные принципы перевода между системами остаются одинаковыми.

Чтобы перевести число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную используются функции bin(), oct() и hex() соответственно.

Функции bin(), oct() и hex() возвращают числа в виде строк, где первые два символа указывают на систему счисления (например, 0b для двоичной, 0o для восьмеричной, 0x для шестнадцатеричной). Эти символы нам не нужны, поэтому мы можем убрать их с помощью среза. Чтобы это сделать, после функции добавляем квадратные скобки с [2:], что означает, что новая строка начнется с символа под индексом 2 (так как в программировании индексация начинается с 0).

Если в задаче просят переводить в какую-то другую систему, придется писать собственный алгоритм перевода:

num – исходное число в десятичной системе
base – основание системы, в которую хотим перевести

Пока наше число num больше 0, мы добавляем в переменную result остаток от деления этого числа на основание, а затем делим его нацело на основание. В конце используем [:: -1], чтобы развернуть строку result, так как числа добавлялись в обратном порядке.

Однако, если нужно перевести число в систему с основанием больше 10, этот алгоритм не подойдет, поэтому давайте его доработаем:

Мы добавили строку digits со всеми возможными символами. Теперь мы добавляем в переменную result не остаток, а элемент из строки digits под индексом остатка. Так, если остаток будет равен 11, мы добавим не ‘11’, а элемент под индексом 11 из строки digits – ‘B’.

Чтобы перевести из любой системы счисления в десятичную, достаточно написать функцию int() и добавить в качестве второго аргумента номер системы, из который мы переводим число

Также для некоторых прототипов задач нам может понадобиться алгоритм представления числа в некоторой системе счисления в виде полинома:

Алгоритм представления числа в системе счисления с основанием b в виде полинома состоит из нескольких шагов. Этот алгоритм применим для любой системы счисления (например, двоичной, десятичной, шестнадцатеричной), и позволяет разложить число по степеням основания.

Шаги алгоритма

1.    Нумерация индексов:

• Запишем число и пронумеруем его цифры, начиная справа налево, начиная с нуля. Индекс 0 соответствует самой правой цифре, индекс 1 — следующей слева, и так далее
• Например, для числа 12345_b​ (в системе счисления с основанием b):

• Цифра 5 имеет индекс 0.
• Цифра 4 имеет индекс 1.
• Цифра 3 имеет индекс 2.
• Цифра 2 имеет индекс 3.
• Цифра 1 имеет индекс 4.

2.    Представление каждой цифры как члена полинома:

• Каждую цифру числа умножаем на основание системы в степени, равной её индексу.
• Например, для числа 12345_b​:

• Цифра 5 с индексом 0 представляется как 5 * b⁰.
• Цифра 4 с индексом 1 представляется как 4 * b¹.
• Цифра 3 с индексом 2 представляется как 3 * b².
• Цифра 2 с индексом 3 представляется как 2 * b³.
• Цифра 1 с индексом 4 представляется как 1 * b⁴.

3.    Суммирование всех членов:

• Складываем все члены, полученные на предыдущем шаге, чтобы получить полиномиальное представление числа.
• Для числа 12345_b​ это будет: 1 * b⁴ + 2 * b³ + 3 * b² + 4 * b¹ + 5 * b⁰

4.    Запись итогового полинома:

• Записываем полученное выражение как полином. В этом полиноме каждая цифра числа представлена как коэффициент, а её позиция — как степень основания b.
• В нашем примере полином для числа 12345_b​ будет: 1 * b⁴ + 2 * b³ + 3 * b² + 4 * b¹ + 5 * b⁰

Перейдём к примеру решения прототипов задач:

 

Разберём задачу №14 ЕГЭ 2025 из демоверсии ФИПИ:

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 19.

98897x21₁₉ + 2x923₁₉

В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 19-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 18.

Для найденного x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 18 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления.

Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение с помощью программирования:

1.    Открываем наш редактор кода (IDLE или PyCharm), анализируем условие: нам дано арифметическое выражение, в записи которого неизвестна одна цифра из алфавита 19-ричной системы счисления.

2.    Начинаем писать программу:

Определяем цифры 19-ричной системы счисления:

• Сначала мы записываем в переменную digits все возможные цифры 19-ричной системы, которая включает 10 цифр (от 0 до 9) и 9 букв английского алфавита (от A до I).
• Проблема может возникнуть, если мы не помним порядок букв в алфавите. Чтобы обойти это, мы используем знание, что максимальная цифра в любой системе счисления всегда на единицу меньше основания системы.
• Также нам поможет функция int, которая переводит строку из указанной системы счисления в десятичную. Например, если мы вводим int("I", 19), функция вернет 18 — так мы можем проверить, что I — это последняя цифра в 19-ричной системе.

3.    Затем, для удобства, мы выводим заголовок print("x quotient"), чтобы таблица получилась нагляднее. Напоминаем, что слово "quotient" на английском означает "частное" или "результат деления".

4.    С помощью цикла for x in digits мы перебираем все символы-цифры из строки digits, поочередно присваивая их переменной x. Это называется "итерацией по строке", так как мы обходим каждый символ строки digits.

5.    Внутри цикла мы объединяем числа 98897x21 и 2x923, используя текущее значение x, и переводим их в десятичную систему с помощью функции int. Для этого используем выражение: s = int("98897" + x + "21", 19) + int("2" + x + "923", 19). В первом аргументе int записана строка, представляющая число в 19-ричной системе, а второй аргумент (19) указывает основание системы, из которой мы переводим в десятичную.

6.    Важный момент: функция int поддерживает системы счисления только до основания 36. Если нам понадобится система с большим основанием, мы будем представлять числа как полиномы и переводить их вручную.

7.    Ручное преобразование с помощью полиномов:

Для систем с основанием больше 36 мы можем записать выражение в виде полинома, где каждая цифра умножается на степень основания.

Пример такого представления: s = (9*19**7 + 8*19**6 + 8*19**5 + 9*19**4 + 7*19**3 + x*19**2 + 2*19 + 1) + (2*19**4 + x*19**3 + 9*19**2 + 2*19 + 3).

При этом переменная x принимает значения от 0 до 18 с помощью for x in range(19), что представляет 19-ричные цифры как их десятичные эквиваленты (подробный алгоритм описан в теории).

8.    После получения суммы s мы проверяем, делится ли она на 18. Если делится, то выводим значение x и частное от деления на 18: if s % 18 == 0:

print(x, s // 18). В задаче нужно найти частное для наибольшего значения x, поэтому в качестве ответа мы выбираем последнее подходящее частное.

Ответ: 469034148

 

Разберём второй прототип задачи №14 ЕГЭ 2025 из демоверсии ФИПИ:

Значение арифметического выражения

3 * 3125⁸ + 2 * 625⁷ – 4 * 625⁶ + 3 * 125⁵ – 2 * 25⁴ − 2024

записали в системе счисления с основанием 25. Сколько значащих нулей содержится в этой записи?

Решение с помощью языка Python:

1.    Открываем наш редактор кода (IDLE или PyCharm), анализируем условие: нам дано арифметическое выражение, которое записали в системе счисления с основанием 25.

2.    Вычисляем значение выражения:

Сначала мы используем длинную арифметику Python, которая позволяет работать с большими числами. Мы записываем значение выражения в переменную number:
number = 3 * 3125**8 + 2 * 625**7 - 4 * 625**6 + 3 * 125**5 - 2 * 25**4 - 2024

Это выражение хранит результат, который мы будем анализировать в 25-ричной системе счисления.

3.    Инициализируем счётчик нулей:

Создаем переменную cnt и устанавливаем её значение равным нулю: cnt = 0. Этот счётчик будет подсчитывать количество нулей в числе number, когда оно представлено в 25-ричной системе.

4.    Извлекаем цифры числа в 25-ричной системе счисления:

Переходим к циклу while, который будет выполняться, пока значение number больше нуля. В этом цикле мы будем получать каждую цифру числа number в 25-ричной системе: while number > 0:

5.    Внутри цикла проверяем, равна ли последняя цифра числа нулю. Для этого используем условие if number % 25 == 0. Если условие выполняется, увеличиваем счётчик cnt на единицу:

if number % 25 == 0:
cnt += 1

6.    После проверки и обновления счётчика мы целочисленно делим number на 25. Это позволяет нам перейти к следующей цифре в 25-ричной системе: number //= 25

7.    Таким образом, по завершении цикла while в переменной cnt будет храниться количество нулей в числе number, записанном в 25-ричной системе счисления. Это значение и будет ответом на задачу, выводим его: print(cnt)

Ответ: 9

 

Дальше посмотрим задание №14 из досрочной волны 2024го года:

Определите в 27-ричной записи числа количество цифр с числовым значением, превышающим 9:

3 * 2187²⁰²⁰ + 3 * 729²⁰²¹ – 2 * 81²⁰²² + 27²⁰²³ – 4 * 3²⁰²⁴−2029

Решим с помощью программирования:

1.    Читаем условие, понимаем, что от нас хотят: нам нужно перевести выражение из условия в 27-ричную систему счисления и понять, сколько в нём будет цифр, больших 9.

2.    Начинаем писать код: сначала переписываем наше выражение в переменную number (number = 3 * 2187**2020 + 3 * 729**2021 - 2 * 81**2022 + 27**2023 - 4 * 3**2024 - 2029)

3.    Устанавливаем счётчик для цифр больше 9:

Создаем переменную count и присваиваем ей значение 0 (count
= 0). Этот счётчик будет использоваться для подсчета количества цифр, которые больше 9, в числе number, когда оно переведено в 27-ричную систему.

4.    Перевод в 27-ричную систему: используем цикл while, который находит каждую цифру числа в 27-ричной системе, деля number на 27 и сохраняя остаток в digit.

5.    Если цифра digit больше 9, увеличиваем счётчик count.

6.    По окончании цикла в count будет количество цифр в 27-ричной записи, которые больше 9. Это и будет ответом на нашу задачу.

Ответ: 3368

 

Следующий прототип задачи из основной волны(I) 2023:

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 19:

98x79641₁₉ + 36x14₁₉ + 73x4₁₉

В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 19-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 18. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 18 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение с помощью электронных таблиц:

1.    Решим задание с помощью перебора всех возможных значений x, то есть от 0 до 18 (т.к. система счисления 19)

2.    Представим наши числа 98x796411₁₉, 36x141₁₉ и 73x4₁₉   в виде полиномов (подробный алгоритм описан в блоке теории):

• 98x79641₁₉  = 9 * 19⁷ + 8 * 19⁶ + x * 19⁵ + 7 * 19⁴ + 9 * 19³ + 6 * 19² + 4 * 19¹ + 1 * 19⁰  
• 36x14₁₉ = 3 * 19⁴ + 6 * 19³ + x * 19² + 1 * 19¹ + 4 * 19⁰
• 73x4₁₉ = 7 * 19³ + 3 * 19² + x * 19¹ + 4 * 19⁰

3.    Открываем наши электронные таблицы, в первом столбце запишем все возможные десятичные представления цифр (для 19-ричной системы счисления – числа от 0 до 18); во втором столбце запишем выражение из условия (x заменяем на ссылку на соответственную ячейку в первом столбце, например, для первой ячейки =9*19^7 + 8*19^6 + A1*19^5 + 7*19^4 + 9*19^3 + 6*19^2 + 4*19^1 + 1 + 3*19^4 + 6*19^3 + A1*19^2 + 1*19^1 + 1 + 7*19^3 + 3*19^2 + A1*19 + 4), а в третьем столбце – остаток от искомого частного (например, =ОСТАТ(B2;18)):

4.    Нужно заметить, что символ ^ во многих языках программирования обозначает операцию побитового исключающего или, в том числе и в Python, поэтому эту операцию нельзя использовать как замену операции ** в Python. Также заметим, что операция возведения в степень является более приоритетной, чем операция умножения, поэтому операцию возведения в степень при решении данной задачи не нужно заключать в скобки.

Для вычисления значений выражения и частного были использованы следующие формулы:

5.    Вспоминаем, что нам нужно найти по условию: наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 18, то есть нам нужно найти наибольший x, при котором значение в правом столбце равно 0: это 18 (в условии сказано: для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 18 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления): 

Ответ: 470402599

 

Посмотрим вариант из основной волны 19.06.2024 (Центр):

Значение арифметического выражения 6²⁶⁰ + 6¹⁶⁰ + 6⁶⁰ − x, где x – целое положительное число, не превышающее 2030, записали в 6-ричной системе счисления. Определите наименьшее значение x, при котором количество нулей в 6-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, равно 202.

В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

Решение на Python:

1.    Инициализируем цикл для перебора значений x: мы начинаем с x = 0 и перебираем все значения до 2030 включительно с помощью for x in range(0, 2031). Это позволяет нам последовательно проверять все допустимые значения x.

2.    Вычисляем значение выражения: для каждого значения x мы вычисляем значение выражения 6²⁶⁰ + 6¹⁶⁰ + 6⁶⁰ − x и сохраняем его в переменной s. Это выражение представляет наше целевое число, которое мы будем анализировать в 6-ричной системе.

3.    Подсчитываем количество нулей в 6-ричной записи: мы создаем переменную count и устанавливаем её в 0, чтобы отслеживать количество нулей. Затем, с помощью цикла while s > 0, мы переводим число s в 6-ричную систему, вычисляя остаток от деления на 6 (это последняя цифра в 6-ричной записи). Если эта цифра равна 0, мы увеличиваем count на 1. После этого делим s на 6, чтобы перейти к следующей цифре.

4.    Проверяем условие задачи: после завершения перевода числа в 6-ричную систему и подсчета нулей, мы проверяем, равно ли количество нулей 202. Если это условие выполняется, мы нашли наименьшее значение x, которое нам нужно.

5.    Выводим результат и прерываем цикл: если условие выполняется, мы выводим текущее значение x с помощью print(x) и прерываем выполнение цикла с помощью break, так как нам нужно только первое найденное значение x, которое соответствует условию задачи.

Ответ: 216

 

Досрочная волна(II) 2023-го года:

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15.

97968x15₁₅ + 7x233₁₅

В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 15-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 14. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 14 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.

Решение программированием:

1.    Задаем диапазон для переменной x:Мы перебираем все возможные значения x, которые могут принимать значения от 0 до 14 в 15-ричной системе счисления.

2.    Записываем арифметическое выражение:Выражение имеет вид ​97968x15₁₅ + 7x233₁₅. Мы интерпретируем числа, подставляя текущие значения x, и преобразуем их в десятичную систему для дальнейших вычислений.

3.    Вычисляем значение выражения:Сначала формируем числа с учетом текущего значения x, затем суммируем их.

4.    Проверяем кратность 14:Проверяем, делится ли получившееся значение выражения на 14 без остатка.

5.    Находим частное:Если значение выражения кратно 14, мы вычисляем частное от деления и выводим результат вместе с текущим значением x.

6.    Завершаем цикл:После нахождения первого подходящего значения x, удовлетворяющего условию, мы завершаем перебор.

 
Ответ: 116071912

 

Следующее задание из варианта с досрочной волны 2022:

Результат выражения

3 * 16²⁰¹⁸ − 2 * 8¹⁰²⁸ − 3 * 4¹¹⁰⁰ − 2¹⁰⁵⁰ − 2022

записали в 4-ричной системе счисления. Сколько троек в полученной записи?

Решение на языке Python:

1.    Записываем выражение:

Мы задаем выражение 3 * 16²⁰¹⁸ − 2 * 8¹⁰²⁸ − 3 * 4¹¹⁰⁰ − 2¹⁰⁵⁰ – 2022 и сохраняем его результат в переменной f.

2.    Инициализируем счетчик троек:

Создаем переменную count_threes для подсчета количества цифр 3 в 4-ричной записи числа.

3.    Преобразуем число в 4-ричную систему:

Используя цикл, мы делим число на 4, анализируя каждую цифру в 4-ричной записи числа. Если цифра равна 3, увеличиваем счетчик.

4.    Выводим результат:

После завершения цикла выводим количество троек в 4-ричной записи числа.

Ответ: 4027

 

Ну и напоследок решим задачу из основной волны 2022(III):

Значение арифметического выражения

2 * 16¹³¹⁵ – 4 * 36¹⁵⁰² + 5 * 36¹⁵¹⁰ – 3 * 6¹³³¹ − 253

записали в системе счисления с основанием 6. Определите количество значащих нулей в записи этого числа.

Решение программированием:

1.    Записываем выражение:

Мы задаем выражение 2 * 16¹³¹⁵ – 4 * 36¹⁵⁰² + 5 * 36¹⁵¹⁰ – 3 * 6¹³³¹ − 253 и сохраняем его результат в переменной f.

2.    Инициализируем счетчик нулей:

Создаем переменную count_zeros для подсчета количества значащих нулей в 6-ричной записи числа.

3.    Преобразуем число в 6-ричную систему:

Используя цикл, мы делим число на 6, анализируя каждую цифру в 6-ричной записи числа. Если цифра равна 0, увеличиваем счетчик.

4.    Выводим результат:

После завершения цикла выводим количество значащих нулей в 6-ричной записи числа. ​

Ответ: 1314

 

Задание №14 ЕГЭ по информатике проверяет знания и навыки работы с позиционными системами счисления, их основными принципами и операциями. Для успешного выполнения подобных задач важно хорошо разбираться в представлении чисел в различных системах, понимать арифметику в них, а также уметь применять программирование для работы с большими числами и выражениями.

Основные знания, необходимые для выполнения задания:

1.    Системы счисления — необходимо знать, как работают позиционные системы счисления с различными основаниями (например, двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная и т. д.) и как выполняются основные арифметические операции.

2.    Преобразование чисел — умение переводить числа из одной системы счисления в другую и обратно.

3.    Работа с большими числами — знание Python или другого языка программирования, поддерживающего длинную арифметику, полезно для выполнения вычислений с числами, превышающими типичные диапазоны.

4.    Работа с остатками и делением — знание алгоритмов, которые позволяют последовательно извлекать цифры числа в нужной системе счисления, используя операции деления и нахождения остатка.

Полезные советы и лайфхаки для решения подобных задач:

1.    Используйте Python для вычислений — Python автоматически поддерживает длинную арифметику, что особенно полезно при работе с большими выражениями, встречающимися в заданиях.

2.    Циклы для извлечения цифр — цикл while, деление на основание системы и нахождение остатка позволяют легко преобразовать число в любую позиционную систему, при этом можно сразу считать нужные цифры (например, нули или другие значения).

3.    Оптимизация кода для поиска подходящего значения — при переборе значений, как в задачах с переменной, лучше проверять условия внутри цикла и завершать его при первом успешном результате.

4.    Интерпретация выражений с полиномами — для систем счисления с большими основаниями или при ограничениях на встроенные функции используйте представление чисел в виде полиномов, что позволяет более гибко работать с выражениями и переводить их в десятичную систему.

Следуя этим рекомендациям, вы сможете уверенно решать задания по системам счисления, избегая распространенных ошибок и используя программирование для оптимизации вычислений.

Удачи на экзамене!