Задание 6. Выполнение алгоритма. Исполнитель Черепаха.

В ЕГЭ-2023 по информатике появилась новая задача. Это № 6 про Черепашку. Наверное, вы посмотрели другие рекомендации по решению задачи, в том числе сложные способы.
Не забываем, что задача 6 простая. Наша цель - получить правильный ответ. Нам не надо писать программу, которая для любой траектории подсчитывает количество точек. Мы просто решаем задачу для данной конкретной ситуации.
Мы покажем вам несколько методов решения этой задачи.
Первый метод, аналитический.

Задача 1.
Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен. При опущенном хвосте Черепаха оставляет на поле след в виде линии. В каждый конкретный момент известно положение исполнителя и направление его движения. У исполнителя существует две команды: Вперёд n (где n  — целое число), вызывающая передвижение Черепахи на n единиц в том направлении, куда указывает её голова, и Направо m (где m  — целое число), вызывающая изменение направления движения на m градусов по часовой стрелке. Запись Повтори k [Команда1 Команда2 … КомандаS] означает, что последовательность из S команд повторится k раз. Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм: Повтори 11 [Вперёд 36 Направо 72] Определите расстояние между положениями Черепахи в начале и в конце выполнения этой программы. В ответе запишите целое число, ближайшее к найденному расстоянию.

Решение:
Мы понимаем, что черепаха проходит вперед 36 шагов. А слова «направо72» - это изменение направления движения относительно ее первоначального на 72 градуса. Повторяется это 11 раз.
Давайте попробуем понять,что происходит:
Черепаха проползает вперед 36 шагов и поворачивает направо на 72 градуса. Внутренний угол получается 108°.

Затем она снова проползает 36 шагов и поворачивает на 72 градуса, то есть внутренний угол опять 108°. Итак она делает 11 раз.

Мы понимаем, что черепаха рисует какой-то n-угольник.
У вас может не быть транспортира, чтобы точно построить n-угольник, но мы помним формулу угла в правильном n-угольнике и можем сказать, сколько в нем углов. Если мы не помним формулу, то для данного конкретного примера сейчас получим ответ.
Проведем прямые от углов n-угольника в центр. В полученном равнобедренном треугольнике углы при основании будут по 108° : 2 = 54°, а угол в вершине треугольника 180° - 108° = 72°.

И таких уголочков по 72° должно быть n штук. Тогда получится замкнутая фигура, правильный n-угольник.
Делаем вывод, что это будет 5-ти угольник. Поскольку n‧72°=360°, значит, n=5.

Получается, после пяти итераций черепашка вернулась в исходную точку А. Еще 5 итераций - и опять черепашка в исходной точке А. Всего у нас 11 итераций, значит, она закончила движение в точке В. Между точками А и В 36 шагов – это и есть ответ задачи.

Ответ: 36

Не забываем, что №6 – это задачана алгоритмику, а не на программирование. Конечно, можно использовать и программу. Попробуем запрограммировать черепашку, то есть автоматизировать процесс.
Для этого в Python есть хороший пакет turtle («Черепашья графика»), в котором черепашка ходит и оставляет след.
Вот какую программу можно написать:

Подключаем библиотеку, в которой черепашка ходит и рисует.
У нас в описании задачи «36 вперед». Это значит, что 36 шагов. А какой шаг, мы выберем сами. Если это единичка по умолчанию, то рисунок будет очень маленький. Поэтому берем пятерочку,чтобы было понятно, что делает черепаха на экране.
Далее читаем задачу. Исполнитель смотрит по оси x, то есть черепаха изначально стоит и смотрит вправо. Но в нашем привычном понимании «вперед» - это все-таки на экране вверх, поэтому первое, что мы делаем, - мы эту черепаху поворачиваем на 90°. Мы поворачиваем её, чтобы она смотрела не вправо,а вверх. И устанавливаем скорость от единицы до 10. «Единица» - самая маленькая скорость. Это все не обязательные параметры.
Напишем алгоритм, который у нас представлен в условии задачи и запускаем программу. Смотрим, что делает черепаха:

Черепаха рисует пятиугольник, который мы вычислили аналитически. Между начальной и конечной точкой ее движения36 шагов.
Получается, что мы поручили черепахе «поползать» и «отрисовать» след.

Задача 2.
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм: Повтори 7 [Вперёд 10 Направо 120]. Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри области, ограниченной линией, заданной данным алгоритмом. Точки на линии учитывать не следует.

Решение:
Эта задачка немного сложнее. Нам нужно посчитать точки с целочисленными координатами, которые попадут строго внутрь нарисованной области, не включаю линию.
Черепаха прошла вперед10 шагов и повернула на 120 градусов.
120° - это значит, что внутренний угол равен 60°. Прошла 10, шла бы дальше, но повернула на 120°, и опять внутренний угол 60°. Так он сделала 7 раз. Какую фигуру черепаха нарисовала? Это равносторонний треугольник со стороной 10.

Как посчитать целые точки? Вручную это сделать сложно, поэтому мы решим задачу при помощи компьютерной программы.
Давайте пока обозначим формально, что это за область. Если нарисовать систему координат, ось x и ось y, тогда можно записать для этого множества точек систему неравенств.

Опишем уравнениями три прямые, которые создают заштрихованную плоскость.

1. Это множество точек, которое лежит правее 0, т.е. \(x>0\)
2. Эти точки лежат под графиком убывающей линейной функции, то есть под прямой, \(y<-\frac{x}{\sqrt{3}}+10\) 3. Точки лежат выше возрастающей линейной функции, то есть выше прямой, \(y>\frac{x}{\sqrt{3}}\)

Такая система неравенств однозначно задает эту область

\(\left\{\begin{matrix}
x>0 \\
y<-\frac{x}{\sqrt{3}}+10 \\ y>\frac{x}{\sqrt{3}}\end{matrix}\right.\)

Дальше можно перебирать все значения x и y в каком-нибудь диапазоне, но в каком? Если сторона треугольника 10, то x точно хватит до 10, а y тоже хватит до 10. И в этом квадрате 10 на 10 мы будем анализировать точки – удовлетворяют ли они системе неравенств.
Вот счетчик точек. Запускаем цикл для xот 0 до 10 и для y от 0 до 10.
Перебираем все точки с целочисленными координатами, поскольку шаг по умолчанию – единица. Если выполняются три условия, то счетчик увеличивается на единицу.
В качестве \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) можно написать \(3^{-0,5}\).
Запускаем подсчет.

Ответ: 38

Можно ли сделать по-другому? Сейчас мы покажем вам ещё один метод.
Попросим черепашку поползать и оставить след. Пока просто для того, чтобы понять, что это за фигура.

Опять будем анализировать вручную. Если мы не сообразили, что это за треугольник, то можно попросить черепашку его построить. Так как шаги маленькие, делаем шаг 15, чтобы наш треугольник был побольше. Поворачиваем черепаху на 90°, даем ей маленькую скорость, чтобы успевать отслеживать. И повторяем алгоритм 7 раз.
После этого можно включать аналитическую составляющую.
Что делать, если мы не умеем составлять уравнения прямой? Тогда есть еще один способ. Мы можем попросить черепашку не только нарисовать траекторию, а еще и поставить точки в целочисленных координатах. Вот смотрите:

Мы поднимаем перо (t.up ()), поднимаем черепашку. Немножко увеличиваем скорость. Перебираем всеxи y в каком-то разумном интервале и точечное вставание на точку с заданными координатами (t.goto). То есть черепашка прыгает в эти узлы координатной сетки и рисует точку диаметром 5 (t.dot). Смотрите, что получается:

Сначала черепаха рисует треугольник, как раньше, а потом ходит и ставит точки. Фигура небольшая, и мы можем посчитать эти точки внутри.
Что делать, если мы не уверены, входит точка в область или нет? Можно увеличить треугольник, нарисовать его крупнее, сделав не 15, а 30. Теперь хорошо видно и можно посчитать количество точек.

На этот раз мы все сделали вручную. И даже посчитали точки.
Есть ли способ продолжить развитие этой программы и попросить черепаху еще и посчитать точки? Есть. Но мы намеренно не будем даже пытаться вам это дать.
Это задача №6. Нет уверенности, что надо черепаху программировать. Но можно воспользоваться раскраской, по-разному раскрасив внутреннюю и внешнюю области и посчитать точки конкретного цвета. Можно воспользоваться рисованием другого слоя сетки и так далее, но это уже усложнение программы. В случае, если нам предстоит решать какие-то сложные задачи со сложными траекториями, то да, можно поручить черепахе посчитать. Но у нас такая задача не стоит. Нам надо для конкретной черепахи посчитать конкретную траекторию.

Задача 3.
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм: Повтори 4 [ Вперёд 7 Направо 90 Вперёд 7 Налево 90 Вперёд 7 Направо 90 ] Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри области, ограниченной линией, заданной данным алгоритмом. Точки на линии учитывать не следует.
Решение:
В условии сказано: «Повторить 4 раза: вперед 7,направо 90. Вперед 7, налево 90. Еще раз вперед 7 и направо 90».
Давайте решим аналитически:
1 виток: вперед 7 направо 90 вперед 7 налево 90 вперед 7 направо 90.

2 виток:вперед 7 направо 90 вперед 7 налево 90 вперед 7 направо 90.

3 виток: вперед 7 направо 90 вперед 7 налево 90 вперед 7 направо 90.

4 виток: вперед 7 направо 90 вперед 7 налево 90 вперед 7 направо 90.

Вот такой крестик нарисовала черепаха. Нарисуем ось x иось y.

Для начала можно искомые точки посчитать вручную. Только надо, чтобы точки не попали на границу.

Точек будет в высоту 6, а в ширину 7+7+6. Это область закрашена зеленым.
И еще две верхушки (оранжевый цвет). Два раза 7 в высоту и 6 в ширину.
В итоге, количество точек: 6⋅(7+7+6)+2⋅7⋅6=204
Ответ: 204

Решим задачу по-другому, задав условия формулами.

Сначала зададим программу, которая нарисует этот крестик.

Теперь анализируем \(0 < y\)\(<7\) или \(7 < x\)\(<14\)

Программа нарисовала фигуру и посчитала точки (204).
Такой способ лучше, потому что мы создаем условия для прямых и не занимаемся подсчетом вручную. Но можем и посчитать вручную.

Черепаха не только рисует фигуру, но и ставит точки.

Ответ: 204

Задача 4.
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм: Повтори 9 [ Вперёд 30 Направо 90 Вперёд 40 Направо 90 ] Определите расстояние между положениями Черепахи в начале и в конце выполнения этой программы.
Решение:
Нарисуем движение черепахи:

Черепаха ходит по сторонам прямоугольника. Где же она остановится? Один виток цикла - это черепаха марширует по 2 сторонам, 9 раз.
Если черепаха начала движение в точке А, то завершит она движение в точке В.

Теперь нужно найти расстояние, теорема Пифагора нам в помощь.

Искомое расстояние равно 50. Смысла программировать нет.
Для тех, кто не увидел сразу прямоугольник и хочет понять, что черепаха нарисовала, давайте запрограммируем.
Запускаем алгоритм на отрисовку.

Сетку не рисуем, мы и так знаем, что стороны 30 на 40. Не усложняем.
Ответ: 50

Задача 5.
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм: Повтори 9 [ Вперёд 30 Направо 90 Вперёд 40 Направо 90 ] Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри области, ограниченной линией, заданной данным алгоритмом. Точки на линии учитывать не следует.
Решение:
Задача такая же, но теперь нам нужно посчитать точки, которые внутри.
Рисунок тот же самый. Нам нужно понять, сколько точек с целочисленными координатами оказалось внутри рисунка.
Строго внутри будет 29 точек вверх и по горизонтали 39. Умножаем и считаем: \(29\cdot 39=1131\)
Если хотим попросить об этом черепаху, то давайте это сделаем.

Получили 1131.
Можно попросить черепашку порисовать точечки:

Ответ: 1131

Задача 6.
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм: Повтори 5 [ Вперёд 7 Направо 45 Вперёд 7 Направо 135 ] Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри области, ограниченной линией, заданной данным алгоритмом. Точки на линии учитывать не следует.
Решение:
Сделаем рисунок движения черепахи:

Добавляем ось x и ось y:

Вручную посчитать сложно. Давайте попросим черепаху помочь.

Фигура маленькая, можно увидеть, что точек \(4\cdot 6=24\)
А можно сделать и по-другому. Опишем системой уравнений.

\(a^2+a^2=7^2\), значит, \(a=\frac{7}{\sqrt{2}}\)

Уравнение первой прямой \(y=x\)

Уравнение другой прямой \(y=x+7\)

Запишем систему неравенств:

\(0x\)

\(y

Запрограммируем:

Получим результат 24.
Ответ: 24

Это метод программный. Он лучше, потому что когда рисуем, это вручную.
А так мы просто задали уравнение и посчитали.
Умейте работать разными способами. Если сразу понятно, что за фигура, то не надо ее рисовать. Если сомневаетесь, то нарисуйте.
Когда у вас есть рисунок, и понятно, как задать систему неравенств, то сразу задавайте. Если не понятно, то запрограммируйте отрисовку точек.
Нам нужны все методы, и главное, чтобы был правильный результат.

Задача 7.
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм: Повтори 8 [ Вперёд 9 Направо 60 Вперёд 9 Направо 120 ] Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри области, ограниченной линией, заданной данным алгоритмом. Точки на линии учитывать не следует.
Решение:

\(a=9\cdot sin60^{\circ}=9\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Напишем систему неравенств:

\(0\frac{x}{\sqrt{3}}\)

\(y<\frac{x}{\sqrt{3}}+9\)

Запрограммируем и нарисуем точки:

А можно задать уравнения:

Ответ: 63

Задача 8.
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм: Повтори 9 [ Вперёд 14 Направо 60 ] Определите расстояние между положениями Черепахи в начале и в конце выполнения этой программы
Решение:
Нарисуем получившуюся фигуру.

Большая диагональ равна двум сторона, т.е. \(14\cdot 2=28\).
Ответ: 28

Запрограммируем:

Начало движения – где стрелочка, окончание движения – где черепашка.

Задача 9.
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм: Повтори 4 [ Вперёд 15 Направо 90 Повтори 3 [ Вперёд 6 Налево 90 Вперёд 6 Направо 90 ] ] Определите расстояние между положениями Черепахи в начале и в конце выполнения этой программы.
Решение:
9 задача содержит цикл в цикле. Нарисовать ее может быть затруднительно, поэтому попросим нарисовать фигуру черепашку.

Черепашка остановилась там же, где и начала рисовать.
Расстояние между положением черепахи в начале пути и в конце равно нулю.
Ответ: 0