Что такое радиан? И почему в круге 360 градусов?

Анна Малкова (автор книги для подготовки к ЕГЭ, ведущая годового Онлайн-курса подготовки к ЕГЭ на 100 баллов, руководитель компании «ЕГЭ-студия» (Курсы ЕГЭ))

Это видео - об измерении углов. Почему в круге 360 градусов? Что такое 1 радиан? И как связаны градусы и радианы?

Начнем с градусов. Что за странное число 360? Мы привыкли, что в рубле 100 копеек, в метре 100 сантиметров, в килограмме 1000 граммов. У нас десятеричная система исчисления, потому что на руках у нас по 10 пальцев. Но откуда в нашем языке такие странные слова как дюжина, то есть 12? Почему у нас в часе 60 минут, а не 100? И в минуте 60 секунд. Также и в круге 360 градусов, а не 1000. Дюжина – это 12. 60 делится на 12. Может быть у наших предков было по 12 пальцев на обеих руках? Конечно, нет!

Оказывается, пользуясь пальцами одной руки, можно отсчитать не 5, а 12. Так делали самые разные народы: они считали фаланги пальцев. Их всего 12. На видео я показываю, как это сделать.

Но чем же число 12 лучше 10? Возможно, оно понравилось древним людям тем, что у числа 12 больше делителей, чем у 10. Число 10 делится на 1, на 2, на 5 и на 10, а число 12 делится на 1, на 2, 3, 4, 6 и 12.
У числа 360 делителей целых 24 делителя. Если в круге 360 градусов, такой круг легко поделить на части разными способами.
Но это не все. Числа 12, 20, 360 имели особое значение для астрономов древности: египтян и шумеров.
Разберемся, почему это так.

Наблюдая за движением Солнца по небу, древние ученые заметили, что в день равноденствия Солнце встает почти точно на востоке и заходит почти точно на западе. При этом оно проходит за день по небу путь в 360 раз больший, чем видимый с Земли диаметр Солнца. Небесную полуокружность разделили на 180 градусов. Угловой диаметр солнца равен примерно 32 угловых минутам, чуть больше, чем полградуса. Он немного меняется в течении года из-за того, что орбита Земли не круговая, а эллиптическая. Утверждение о том, что в день равноденствия солнце проходит по небу путь, равный 360 своим «шагам», то есть 360 видимым диаметрам солнца, верно с некоторой точностью. Вот оно, число 360!

Конечно, древние астрономы наблюдали не только за движением Солнца. Они заметили, что яркая планета Юпитер совершает полный оборот вокруг Солнца за 12 лет. Точнее, не 12, а 11,86 лет, но уж очень им хотелось округлить до своего любимого числа.

Да что там Юпитер! Посмотрим на Луну. Юпитер на небе еще и не каждый найдет (а вы сможете?) – зато Луну, особенно полную, трудно не заметить! Месяц – промежуток от полнолуния до полнолуния – равен примерно 29,5 суток. Почти 30, верно? А если у нас в году 12 месяцев, мы получим 360 дней.
На самом деле в году 365 дней (точнее, конечно, 365,242 земных суток), и это близко к числу 360.

Древние астрономы подумали: «Наверное, Боги хотели, чтобы у нас в году было 360 дней, 12 месяцев по 30 дней. Но где-то, вероятно, они ошиблись в расчетах, или кто-то им помешал. А нам никто не помешает, и мы будем делить круг на 360 градусов».

Обозначается это вот так: 360 и вверху значок градуса. (\(360 ^\circ\))

А что же угол в 1 радиан? С радианами все намного проще.

1 радиан – это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности. 1 радиан приблизительно равен 57 градусам.

Как перевести градусы в радианы? Мы сказали, что 1 круг – это 360 градусов. Но чему равна длина всей окружности с радиусом r? Вспоминаем формулу: \(L=2\pi r\).

У нас появляется число Пи. Это число известно людям с глубокой древности. С доисторических времен люди рисовали круги. Они видели на небе круглое солнце и круглую полную луну и хотели сделать что-нибудь похожее. Они плели круглые корзины, делали круглые тарелки. И заметили, что отношение длины окружности к ее диаметру всегда одно и то же. Это число немного больше, чем 3, точнее, 3,1415926... Проходили столетия, и число Пи вычисляли со все большей и большей точностью. Отношение длины окружности к ее диаметру – это число Пи.

Полный круг – 360 градусов. Длина окружности – \(2\pi r\).

Наш угол в 1 радиан опирается на дугу окружности, равную r. Мы получаем, что угол в один радиан соответствует дуге окружности, равной r, радиусу окружности. 360 градусов, полный круг, соответствует всей длине окружности, то есть \(2\pi r\). Во сколько же раз полный круг больше, чем 1 радиан? Очевидно, в \(2\pi\)раз. 360 градусов соответствует \(2\pi\) радианам. 180 градусов – \(\pi\) радиан, 90 градусов – это \(\frac{\pi}{2}\)радиан.

Теперь вы знаете, что же такое написано на тригонометрическом круге, что такое радианы и почему в круге 360 градусов.

Если у вас есть другие версии, почему именно 360, пишите в комментариях. Присылайте новые интересные вопросы и задачи!

Подписывайтесь на мой канал! Анна Малкова