Анна Малкова (автор книги для подготовки к ЕГЭ, ведущая годового Онлайн-курса подготовки к ЕГЭ на 100 баллов, руководитель компании «ЕГЭ-студия» (Курсы ЕГЭ)).
Знаете ли вы, что с одной из тригонометрических формул связана настоящая приключенческая история? Эта история так повлияла на развитие науки, что неизвестно, какой была бы наша цивилизация, если бы все это не случилось. А герои нашей истории – король, доктор, принцесса и астроном.
Давайте отправимся в Шотландию конца XVI века.
Началось все с того, что король Шотландский задумал жениться. Но так получилось, что ни одной подходящей девушки он не нашел у себя на родине в Шотландии и решил, что невесту надо искать за морем, в Дании. «Но не самому же искать невесту, – подумал король. – Смотреть на их портреты, приглашать на свидания… Как это все утомительно!» И король отправил в Данию за невестой придворного доктора, которого звали Джон Крэйг. Но приключения только начинались. Корабль, на котором плыл Джон Крэйг попал в шторм, не доплыв до Копенгагена. Хорошо, что по близости оказался остров Вен. На острове стояла лучшая обсерватория того времени. Она была построена знаменитым астрономом Тихо Браге и называлась Ураниборг, замок Урании, богини астрономии. Тихо Браге – один из величайших астрономов в истории Европы. В ноябре 1572 года Тихо Браге заметил в созвездии Кассиопея необычайно яркую звезду. Это была вспышка сверхновой. Тихо Браге занимался изучением комет и понял, что кометы имеют внеземное происхождение. Он измерил длину года с точностью до секунды. Материалы его наблюдений помогли его приемнику Кеплеру открыть законы движения планет.
Все знали, что Тихо Браге обладает необыкновенно острым зрением и владеет новейшими по тем временам методами вычислений.
Путешественников приютили в обсерватории, и доктор Крэйг смог вести ученые беседы с Тихо Браге. Астроном рассказал доктору Крэйгу об одном из таких методов.
Представьте себе, как сложно было производить математические вычисления в XVI веке, не имея ни калькуляторов, ни компьютеров, имея только счеты и вычисляя в столбик. Например, нужно перемножить 2 числа m и n. Если речь идет об астрономии, это могли быть восьмизначные числа. Представьте, 2 восьмизначных числа перемножить в столбик и не ошибиться. Оказалось, что Тихо Браге пользовался другим методом. Он использовал формулу преобразования произведения косинусов в сумму.
\(m\cdot n=cosa\cdot cosb=\frac { cos{ \left( a+b \right) +cos{ \left( a-b \right) } } }{ 2 } \)
Подбирались по таблице значений косинуса такие числа а и b, чтобы m и n оказывались косинусами этих чисел.
Но что делать, если, например, m=375? Ведь нет такого угла, у которого косинус будет равен 375.
Но 375 можно записать как 0,375 умноженное на 1000.
Например, n=16431=0,16431 умножить на 10 в 5 степени.
\(m=375=0,375\cdot 1000\)
\(n=16431=0,16431\cdot{10 }^{5 } \)
Тогда в нашей формуле могут быть числа m и n, если по модулю они не превосходят 1, а могут быть числа m1 и n1 такие, что отличаются от исходных степенями десятки.
Нам осталось по таблицам косинусов подобрать такие числа а и b, что косинус а =m1, косинус b=n1. После этого мы складываем а+b и находим по таблице косинус (а+b). Вычитаем а – b и находим косинус (а-b). Затем мы складываем 2 косинуса и делим пополам.
\({ m }_{ 1 }{ n }_{ 1 }=cos{ a }\cdot cos{ b }=\frac { \cos { \left( a+b \right) +\cos { \left( a-b \right) } } }{ 2 } \)
Так нам удалось избежать умножения больших чисел и заменить его более простым сложением.
Впечатленный этим удивительным методом, доктор Крэйг, вернувшись в Шотландию, рассказал о нем своему другу, математику Джону Неперу. «Отлично! – сказал Непер. – Но зачем нам косинусы, ведь у нас есть логарифмы!»
Если вы знакомы с логарифмами, то, конечно, вы знаете формулу \(
\log _{ a }{ \left( b\cdot c \right) } =\log _{ a }{ b } +\log _{ a }{ c } \)
Это при условии
\(a,b,c>0\)
\(a\neq 1\)
В этой формуле мы тоже видим, как из логарифма произведения получается сумма логарифмов.
Оставалось только разработать таблицу логарифмов. Этим и занялся математик Непер. В результате вычисление значительно упростились.
Например, нам нужно найти произведение чисел b и с. Эти числа тоже могут быть семи или восьмизначными. Мы находим по таблице логарифмов логарифм числа b по какому-нибудь удобному основанию а. Находим логарифм с по тому же основанию. Складываем эти 2 числа и получаем результат. Этот результат является логарифмом произведения b на с по тому же основанию. Находим в таблице этот логарифм b на с и находим, от какого числа по основанию а его взяли, то есть произведение b на c.
«Но к чему такие сложности?» – скажите вы. – «Применение всех этих формул для преобразования произведения косинусов, сумму косинусов. Или, как здесь, из логарифма произведения сделать сумму логарифмов… Не проще ли было взять калькулятор и посчитать?»
Нет, не проще, потому что калькуляторов не было. Более того, применение логарифмов и упрощение вычислений ускорило развитие цивилизации. Начали развиваться астрономия, а вместе с ней – мореплавание, торговля и промышленность. Технический прогресс ускорился. И, в том числе, приблизилось то время, когда мы можем пользоваться компьютерами, калькуляторами и мобильными телефонами.
А что могло бы произойти, если бы вся эта история не случилась?
Пишите в комментариях!
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
