Анна Малкова (автор книги для подготовки к ЕГЭ, ведущая годового Онлайн-курса подготовки к ЕГЭ на 100 баллов, руководитель компании «ЕГЭ-студия» (Курсы ЕГЭ)).
В нашем выпуске математических новостей новое парадоксальное доказательство!
Все мы знаем, что такое прямоугольный треугольник. Но не все знают, что на самом деле катет равен гипотенузе. Сейчас я вам это докажу. Мое доказательство будет полностью соответствовать чертежу. В доказательстве не будет ошибок.
Проводим l – биссектрису угла А и m - серединный перпендикуляр к ВС. Пусть m пересекает l в точке О. Отметим равные углы САО и ВАО, потому что l – это биссектриса.
Соединяем точку О с точками В и С, вершинами треугольника. Конечно, мы понимаем, что треугольник ВОС – равнобедренный, потому что m – серединный перпендикуляр к ВС. И мы понимаем, что в этом треугольнике медиана является высотой.
Опускаем из точки О перпендикуляры ОМ и ОN на катет АС и гипотенузу АВ соответственно. ОМ перпендикулярен АС, ОN перпендикулярен АВ. Начинаем доказательство.
Давайте рассмотрим треугольники АОМ и АОN.
Треугольник АОМ равен треугольнику АОN, потому что оба треугольника прямоугольные, у них одинаковые острые углы и у них общая гипотенуза. Значит это прямоугольные треугольники, которые равны по гипотенузе АО и острому углу.
Если эти треугольники равны, значит АМ=АN и МО=NО.
Рассмотрим треугольник МOC и NОВ. МО=NО. Кроме того, оба эти треугольника прямоугольные. И ОС=ОВ. Значит эти прямоугольные треугольники равны по катету и гипотенузе. Треугольник МОС равен треугольнику NОВ по катету и гипотенузе.
Раз эти треугольники равны, значит МС=NВ.
Давайте посмотрим, что мы получили.
Во-первых, АМ=АN. Во-вторых, МС=NВ.
Давайте сложим два эти уравнения, левую часть – с левой, а правую – с правой.
АМ +МС=АN+NВ.
АМ+МС – это АС, а АN+NВ – это АВ
Получается АС=АВ. Катет равен гипотенузе, что и требовалось доказать.
Прямоугольный треугольник – удивительный объект. Сколько мы его изучали в школе, а самого главного о нем и не знали. Катет равен гипотенузе, кто бы мог подумать.
Если вы не согласны с доказательством, пишите в комментариях!
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
