Неужели такое бывает? Новый тип экономической задачи

Анна Малкова – автор книг для подготовки к ЕГЭ по математике (опыт преподавания математики – 25 лет).

Привет, дорогие друзья!

Сколько раз я говорила вам, что есть во второй части ЕГЭ по математике задачи, которые получаются у всех и всегда. Я думаю, что вы и без меня это знаете, что есть задачи 13, 15, 17 – сплошная алгебра, никакой геометрии, никакой стереометрии и никаких чертежей. Идеальные задачи для тех, кто рассчитывает свои силы и хочет построить себе очень выгодную стратегию. В самом деле, геометрию не надо, стереометрию не надо, задач на числа и свойства не надо, решаем первую часть и задачи 13, 15, 17, получаем 80 баллов и поступаем. Да, в теории, конечно, все гладко, а что же может быть на самом деле? А на самом деле бывают сюрпризы. И где? Там, где их никто не ждал, в безобидной 17-ой задаче, в той самой, которая на кредиты, вклады и иногда на оптимизацию. И такой сюрприз попался нам на тренировочной работе, которая была 16 декабря (СтатГрадовская работа). Полный видеоразбор этой работы у нас на YouTube-канале (ссылка в описании). А сейчас хочу остановиться на 17-ой задаче оттуда. С этой задачей составители сильно перемудрили. Правда потом они спохватились и сказали: «Нет, это слишком сложно» и дали второй, упрощенный вариант, а тем, кто видел первый вариант, сложный, смягчили критерий оценки. Но упрощенный вариант не такой уж милый, как может показаться. Кроме того, этот упрощенный вариант 17-ой задачи из СтатГрадовской работы эквивалентен задаче из 235-го варианта сайта Ларина, тоже № 17. Эта задача, конечно, не решается в уме, она не решается за 5 минут, в ней есть «подводные камни» и ловушки и в ней нужно очень много считать, и вообще, чтобы ее решить, нужно знать немало.

Вот эта задача:

«Аристарх хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Аристарха совсем не было денег, а пакет стоил 100 000 рублей. В середине каждого месяца Аристарх откладывает на покупку пакета акций одну и ту же сумму, а в конце каждого месяца пакет дорожает на 20%. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Аристарху каждый месяц, чтобы через некоторое время купить вожделенный пакет акций?»

Запишем данные:

S = 100 000 руб

p=20%; \(k=1+\frac{p}{100}=1,2 \)

Кажется, что данных не хватает. Потому что у нас на самом деле не один вопрос, а два: какую наименьшую сумму надо откладывать и через какое время Аристарх может купить эти акции. То есть у нас задача с двумя неизвестными. А 16 декабря на СтатГрадовском пробном дали задачу вообще с четырьмя неизвестными, потому что к этим двум прибавились еще две, а именно: стоимость акции могла увеличиться не на 20%, как в нашей задаче про Аристарха, а на какое-то количество процентов, но не больше 20 (может быть, на 1, может быть, на 7, а может быть, на 19 процентов); и не было сказано, что в начале года у Аристарха (или как его там звали) вообще не было денег, было сказано, что ему не хватало денег. И тогда, конечно, задача превращалась в настоящий гроб, но мы с ним справились (смотрите разбор в описании).

Здесь более гуманный вариант, потому что в начале года у Аристарха нет денег вообще, и каждый месяц стоимость акций растет ровно на 20%. То есть у нас намного больше информации, намного более четкие начальные данные. Давайте разберемся, как же все это происходит.

Пусть есть начало года и акции стоят S. В первой строке будет стоимость акций, а во второй строке таблицы будут деньги Аристарха, которые он очень хочет отложить и потратить на покупку акций. В начале года у Аристарха нет ничего (0). Но затем наступает середина месяца, у Аристарха появилась сумма х. Теперь у него что-то есть. Но настал конец месяца, акции подорожали и теперь стоят Sx1,2. Напоминаю, как мы записываем, когда некоторая величина увеличилась на р-процентов.

Может быть, Аристарх купил, накопив х, а может быть он пропустил этот момент и в следующем месяце у Аристарха 2х, но акции подорожали в конце следующего месяца, и уже стоят \(S\cdot1,2^{2}\).

Настал третий месяц, в середине которого у Аристарха 3х, и, может быть, он даже купит акции. Допустим, что он купит их здесь, а может быть, что он купит их в n-ый месяц, когда у него на счете nx тысяч рублей – это сумма на счете Аристарха в n-ый месяц. И она должна быть больше или равна \(nx\geqslant S\cdot1,2^{n-1}\).

\(x\geqslant S\cdot\frac{1,2^{n-1}}{n}\)

Нам осталось рассмотреть вот такое выражение: рассмотрим последовательность \(b_{n}=\frac{1,2^{n-1}}{n}\).

И давайте найдем, какой будет наименьший член этой последовательности. Может быть, первый, а может быть, третий, а может быть, пятый. И мы найдем, в какой месяц Аристарху выгоднее всего покупать эти акции, которые ему так необходимы.

Первое, что приходит в голову, – а не взять ли нам производную?

Но подождите, у нас последовательность, функция натурального аргумента. А для того, чтобы брать производную, нам необходима непрерывность функции. Поэтому мы рассмотрим функцию f(t), совпадающую со значением последовательности bn при целых значениях t. А вот производную от функции f(t) мы вполне можем взять.

У нас есть формула для производной частного \({(\frac{u}{\upsilon })}'=\frac{{u}'\upsilon-{\upsilon}'u}{\upsilon ^{2}}\).

В соответствии с этой формулой мы берем производную от показательной функции \({(a_{x})}'=a^{x}\ln a \).

Вот, что мы получаем:

\(f(t)=\frac{1,2^{t-1}}{t}\)

\({f}'(t)=\frac{1,2^{t-1}\ln 1,2\cdot t-1,2^{t-1}}{t^{2}}\)

Приравниваем производную к нулю \({f}'(t)=0\).

Конечно же, 1,2 ни в какой степени не равно нулю, потому что значение показательной функции всегда положительное. И получаем следующее уравнение \(\ln 1,2t-1=0\).

Мы сейчас найдем точку минимума. Производная равна нулю, если \(t_{0}=\frac{1}{\ln 1,2}\). Но мы не можем посчитать это без калькулятора.

И да, мы понимаем, что это точка минимума

потому что если t меньше этого значения, то производная меньше нуля, а если t больше этого значения, то производная больше нуля, соответсвенно в этой точке убывание функции сменяется возрастанием функции.

Да, точка минимума

но калькулятором на ЕГЭ пользоваться нельзя. Тупик! Все, что мы выяснили в результате этих действий (точка минимума есть, самый выгодный момент есть), но как нам его найти?! Нам придется вернуться к началу:

S = 100 000 руб

p=20%; \(k=1+\frac{p}{100}=1,2 \)

Но напрасно ли мы брали производную? Нет, мы узнали, что есть эта точка минимума, есть самый выгодный момент.

Раз производная нам ничем не помогла, сделаем следующее действие – сравним n-ый и n+1-ый члены нашей последовательности. Мы знаем, что есть точка минимума, нам осталось просто выяснить, где она, в какой же месяц выгоднее покупать. n – номер месяца, в который Аристарх купил все-таки эти акции. И он должен покупать в такой месяц, в который b_n должно быть меньше, чем b_n+1, то есть в следующий будет дороже, и меньше, чем b_n-1, то есть в предыдущий тоже было дороже.

Сравним b_n и b_n+1:

\(\frac{1,2^{n-1}}{n}\vee \frac{1,2^{n}}{n+1}\).

Теперь мы просто работаем с этим выражением. Этот знак \(\vee\) означает знак сравнения.

Сократим обе части на \(1,2^{n-1}\), на положительное выражение. Останется 1,2.

Умножим обе части на n. n у нас положительное. Тогда получается \(1\vee \frac{1,2\cdot n}{n+1}\). А удобнее \(\frac{n+1}{n}\vee 1,2\).

Теперь выделяем целую часть: \(1+\frac{1}{n}\vee 1+0,2\)

\(\frac{1}{n}\vee \frac{1}{5}\)

1) \(n\leqslant 4\)

\(\frac{1}{n}> \frac{1}{5}\) ; \(b_{n}> b_{n+1}\). То есть первые 4 месяца покупать не выгодно.

Настал 5-ый месяц

2)

Это та самая точка минимума, о которой мы говорили. А потом

3) \(n\geqslant 6\)

\(\frac{1}{n}<\frac{1}{5}\) \(b_{n}< b_{n+1}\) Мы получаем, что сначала стоимость акций уменьшается, самый маленький член последовательности – b₅, а потом снова увеличивается, и b₆ больше b₅, а b₇ больше b₆, то есть уже поздно, уже прошли точку минимума. Покупать надо в момент, когда n=5, в пятый месяц. Просто берем и подставляем n=5, тогда получаем не неравенство, а уравнение

\(x=100000\cdot \frac{1,2^{4}}{5}=41472\)

Вот, какую сумму нужно откладывать Аристарху, если ему так необходимо купить акции.
Ну, и на сколько простой вам показалась эта задача? И кто говорил, что 17-ая задача простая, решаемая по стандарту, что лучше заниматься 17-ой, чем планиметрией, стереометрией и задачей на числа и свойства, и даже параметрами? Во всяком случае, в задаче с параметрами, как правило, можно все нарисовать, а в задачах на числа и их свойства первый пункт, как правило, в 90% случаях решается за 2 минуты. Это значит, что, если вы хотите высокие баллы на профильном ЕГЭ по математике, готовиться нужно по всем задачам второй части, включая параметры, 19-ую задачу и планиметрию. Не нужно ограничивать свой выбор только алгебраическими задачами. А где же взять недостающие задачи, которых нет в школе, например, 18-ую, 19-ую? У нас на онлайн-курсе! Сылка на онлайн-курс в описании. И вы присоединитесь к нам как раз вовремя, потому что всеми этими сложными задачами мы будем там заниматься.

С вами Анна Малкова!

Все видео по математике