Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике базового и профильного уровня > Актуальные видео по математике > Неужели такое бывает? Новый тип экономической задачи

Неужели такое бывает? Новый тип экономической задачи

Анна Малкова – автор книг для подготовки к ЕГЭ по математике (опыт преподавания математики – 25 лет).

Привет, дорогие друзья!

Сколько раз я говорила вам, что есть во второй части ЕГЭ по математике задачи, которые получаются у всех и всегда. Я думаю, что вы и без меня это знаете, что есть задачи 13, 15, 17 – сплошная алгебра, никакой геометрии, никакой стереометрии и никаких чертежей. Идеальные задачи для тех, кто рассчитывает свои силы и хочет построить себе очень выгодную стратегию. В самом деле, геометрию не надо, стереометрию не надо, задач на числа и свойства не надо, решаем первую часть и задачи 13, 15, 17, получаем 80 баллов и поступаем. Да, в теории, конечно, все гладко, а что же может быть на самом деле? А на самом деле бывают сюрпризы. И где? Там, где их никто не ждал, в безобидной 17-ой задаче, в той самой, которая на кредиты, вклады и иногда на оптимизацию. И такой сюрприз попался нам на тренировочной работе, которая была 16 декабря (СтатГрадовская работа). Полный видеоразбор этой работы у нас на YouTube-канале (ссылка в описании). А сейчас хочу остановиться на 17-ой задаче оттуда. С этой задачей составители сильно перемудрили. Правда потом они спохватились и сказали: «Нет, это слишком сложно» и дали второй, упрощенный вариант, а тем, кто видел первый вариант, сложный, смягчили критерий оценки. Но упрощенный вариант не такой уж милый, как может показаться. Кроме того, этот упрощенный вариант 17-ой задачи из СтатГрадовской работы эквивалентен задаче из 235-го варианта сайта Ларина, тоже № 17. Эта задача, конечно, не решается в уме, она не решается за 5 минут, в ней есть «подводные камни» и ловушки и в ней нужно очень много считать, и вообще, чтобы ее решить, нужно знать немало.

Вот эта задача:

«Аристарх хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Аристарха совсем не было денег, а пакет стоил 100 000 рублей. В середине каждого месяца Аристарх откладывает на покупку пакета акций одну и ту же сумму, а в конце каждого месяца пакет дорожает на 20%. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Аристарху каждый месяц, чтобы через некоторое время купить вожделенный пакет акций?»

Запишем данные:

S = 100 000 руб

p=20%; $k=1+\frac{p}{100}=1,2$

Кажется, что данных не хватает. Потому что у нас на самом деле не один вопрос, а два: какую наименьшую сумму надо откладывать и через какое время Аристарх может купить эти акции. То есть у нас задача с двумя неизвестными. А 16 декабря на СтатГрадовском пробном дали задачу вообще с четырьмя неизвестными, потому что к этим двум прибавились еще две, а именно: стоимость акции могла увеличиться не на 20%, как в нашей задаче про Аристарха, а на какое-то количество процентов, но не больше 20 (может быть, на 1, может быть, на 7, а может быть, на 19 процентов); и не было сказано, что в начале года у Аристарха (или как его там звали) вообще не было денег, было сказано, что ему не хватало денег. И тогда, конечно, задача превращалась в настоящий гроб, но мы с ним справились (смотрите разбор в описании).

Здесь более гуманный вариант, потому что в начале года у Аристарха нет денег вообще, и каждый месяц стоимость акций растет ровно на 20%. То есть у нас намного больше информации, намного более четкие начальные данные. Давайте разберемся, как же все это происходит.

Пусть есть начало года и акции стоят S. В первой строке будет стоимость акций, а во второй строке таблицы будут деньги Аристарха, которые он очень хочет отложить и потратить на покупку акций. В начале года у Аристарха нет ничего (0). Но затем наступает середина месяца, у Аристарха появилась сумма х. Теперь у него что-то есть. Но настал конец месяца, акции подорожали и теперь стоят Sx1,2. Напоминаю, как мы записываем, когда некоторая величина увеличилась на р-процентов.

Может быть, Аристарх купил, накопив х, а может быть он пропустил этот момент и в следующем месяце у Аристарха 2х, но акции подорожали в конце следующего месяца, и уже стоят $S\cdot1,2^{2}$ .

Настал третий месяц, в середине которого у Аристарха 3х, и, может быть, он даже купит акции. Допустим, что он купит их здесь, а может быть, что он купит их в n-ый месяц, когда у него на счете nx тысяч рублей – это сумма на счете Аристарха в n-ый месяц. И она должна быть больше или равна $nx\geqslant S\cdot1,2^{n-1}$ .

$x\geqslant S\cdot\frac{1,2^{n-1}}{n}$

Нам осталось рассмотреть вот такое выражение: рассмотрим последовательность $b_{n}=\frac{1,2^{n-1}}{n}$ .

И давайте найдем, какой будет наименьший член этой последовательности. Может быть, первый, а может быть, третий, а может быть, пятый. И мы найдем, в какой месяц Аристарху выгоднее всего покупать эти акции, которые ему так необходимы.

Первое, что приходит в голову, – а не взять ли нам производную?

Но подождите, у нас последовательность, функция натурального аргумента. А для того, чтобы брать производную, нам необходима непрерывность функции. Поэтому мы рассмотрим функцию f(t), совпадающую со значением последовательности bn при целых значениях t. А вот производную от функции f(t) мы вполне можем взять.

У нас есть формула для производной частного ${(\frac{u}{\upsilon })}$ .

В соответствии с этой формулой мы берем производную от показательной функции ${(a_{x})}$ .

Вот, что мы получаем:

$f(t)=\frac{1,2^{t-1}}{t}$

${f}$

Приравниваем производную к нулю ${f}$ .

Конечно же, 1,2 ни в какой степени не равно нулю, потому что значение показательной функции всегда положительное. И получаем следующее уравнение $\ln 1,2t-1=0$ .

Мы сейчас найдем точку минимума. Производная равна нулю, если $t_{0}=\frac{1}{\ln 1,2}$ . Но мы не можем посчитать это без калькулятора.

И да, мы понимаем, что это точка минимума

потому что если t меньше этого значения, то производная меньше нуля, а если t больше этого значения, то производная больше нуля, соответсвенно в этой точке убывание функции сменяется возрастанием функции.

Да, точка минимума

но калькулятором на ЕГЭ пользоваться нельзя. Тупик! Все, что мы выяснили в результате этих действий (точка минимума есть, самый выгодный момент есть), но как нам его найти?! Нам придется вернуться к началу:

S = 100 000 руб

p=20%; $k=1+\frac{p}{100}=1,2$

Но напрасно ли мы брали производную? Нет, мы узнали, что есть эта точка минимума, есть самый выгодный момент.

Раз производная нам ничем не помогла, сделаем следующее действие – сравним n-ый и n+1-ый члены нашей последовательности. Мы знаем, что есть точка минимума, нам осталось просто выяснить, где она, в какой же месяц выгоднее покупать. n – номер месяца, в который Аристарх купил все-таки эти акции. И он должен покупать в такой месяц, в который b_n должно быть меньше, чем b_n+1, то есть в следующий будет дороже, и меньше, чем b_n-1, то есть в предыдущий тоже было дороже.

Сравним b_n и b_n+1:

$\frac{1,2^{n-1}}{n}\vee \frac{1,2^{n}}{n+1}$ .

Теперь мы просто работаем с этим выражением. Этот знак $\vee$ означает знак сравнения.

Сократим обе части на $1,2^{n-1}$ , на положительное выражение. Останется 1,2.

Умножим обе части на n. n у нас положительное. Тогда получается $1\vee \frac{1,2\cdot n}{n+1}$ . А удобнее $\frac{n+1}{n}\vee 1,2$ .

Теперь выделяем целую часть: $1+\frac{1}{n}\vee 1+0,2$

$\frac{1}{n}\vee \frac{1}{5}$

1) $n\leqslant 4$

$\frac{1}{n}> \frac{1}{5}$ ; $b_{n}> b_{n+1}$ . То есть первые 4 месяца покупать не выгодно.

Настал 5-ый месяц

n=5	n=5
$\frac{1}{n}=\frac{1}{5}$	x=41472

Это та самая точка минимума, о которой мы говорили. А потом

3) $n\geqslant 6$

$\frac{1}{n}<\frac{1}{5}$

$b_{n}< b_{n+1}$

Мы получаем, что сначала стоимость акций уменьшается, самый маленький член последовательности – b₅, а потом снова увеличивается, и b₆ больше b₅, а b₇ больше b₆, то есть уже поздно, уже прошли точку минимума. Покупать надо в момент, когда n=5, в пятый месяц. Просто берем и подставляем n=5, тогда получаем не неравенство, а уравнение

$x=100000\cdot \frac{1,2^{4}}{5}=41472$

Вот, какую сумму нужно откладывать Аристарху, если ему так необходимо купить акции.
Ну, и на сколько простой вам показалась эта задача? И кто говорил, что 17-ая задача простая, решаемая по стандарту, что лучше заниматься 17-ой, чем планиметрией, стереометрией и задачей на числа и свойства, и даже параметрами? Во всяком случае, в задаче с параметрами, как правило, можно все нарисовать, а в задачах на числа и их свойства первый пункт, как правило, в 90% случаях решается за 2 минуты. Это значит, что, если вы хотите высокие баллы на профильном ЕГЭ по математике, готовиться нужно по всем задачам второй части, включая параметры, 19-ую задачу и планиметрию. Не нужно ограничивать свой выбор только алгебраическими задачами. А где же взять недостающие задачи, которых нет в школе, например, 18-ую, 19-ую? У нас на онлайн-курсе! Сылка на онлайн-курс в описании. И вы присоединитесь к нам как раз вовремя, потому что всеми этими сложными задачами мы будем там заниматься.

С вами Анна Малкова!

Все видео по математике

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Неужели такое бывает? Новый тип экономической задачи» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 09.03.2023

Неужели такое бывает? Новый тип экономической задачи

Это полезно