Параметр Св. Валентина! Какая в этот день математика?
Анна Малкова (опыт преподавания математики 26 лет, автор книг для подготовки к ЕГЭ по математике).
Привет, дорогие друзья! Есть у меня для вас одна очень красивая задача с параметром, и сейчас как раз настал подходящий момент, чтобы эту задачу разобрать.
«При каких значениях параметра b система имеет ровно 2 решения?
Посмотрим это уравнение. В левой его части произведение двух множителей, а произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен 0, а другой при этом имеет смысл.
Давайте так и запишем, что наша система равносильна следующей. А вместо первой у нас будет совокупность
Теперь упростим каждое из уравнений системы
С одним из уравнений все понятно, и мы можем легко нарисовать график уравнения – это просто график модуля, сдвинутый на 6 вниз.
Давайте разберем первое уравнение более подробно, может быть, и с ним будет все понятно.
1 уравнение . При таком условии мы можем обе части этого уравнения возвести в квадрат. Получаем
Заметим, что при этом выражение , значит, оно не отрицательное. Напишем, что первое уравнение равносильно системе
Теперь условие . Давайте решим это неравенство. Сделаем замену и получим
Рисуем параболу с ветвями вверх, которая пересекает ось z в точках 0 и 6
И получаем, что
Мы нашли область допустимых значений нашего уравнения. Но, как мы помним, модуль всегда неотрицательный, поэтому запишем просто ОДЗ: .
Теперь у нас все есть: есть ОДЗ, есть первое уравнение, равносильное системе
Давайте еще поработаем с первым уравнением и постараемся все-таки нарисовать график нашего первого уравнения, нарисовать прямую, которая задается вторым уравнением в зависимости от параметра, и графическим способом решить систему.
Напишем, какой вид примет наша система
Посмотрим на первое уравнение. Мы в нем видим х2 + у2. А в каком еще уравнение, задающем некоторую кривую на плоскости, есть х2 и у2 со знаками «+»? Конечно, в уравнении окружности. Давайте вспомним, что уравнение задает окружность при R ˃0 – радиус и с центром этой окружности в точке М(а;b).
Окружность , радиус R>0, центр М(а;b).
Но что нам нужно сделать, чтобы появилось что-то похожее на наше уравнение? Видимо, нужно добавить что-то в левую и правую часть уравнения, чтобы выделить полный квадрат.
Мы помним, что , поэтому в первом уравнении в левую и правую часть мы добавим 9. То есть будем его вести к уравнению окружности.
Вы, конечно, уже догадались, какая фигура у нас получится.
Сворачиваем по формуле и при этом помним, что .
В первом уравнении получаем
При этом , значит, получится не вся окружность, а верхняя часть, а может быть, и не одна окружность.
Сюда же записываем второе уравнение и условие
Первое уравнение очень похоже на уравнение окружности, но что делать с модулем?
Давайте мы нарисуем график первого уравнения при неотрицательных х, а потом посмотрим, что будет при х меньше 0.
Если , мы модуль просто убираем и получаем при [/math]y\geqslant 0[/math]. Это уравнение задает окружность с центром в точке (3;0), а радиус этой окружности равен 3, потому что R2 =9. Но нам нужна только верхняя часть этой окружности, получаем полуокружность
Часть графика у нас уже есть.
А что будет при x<0? Тогда . Мы просто вместо модуля х подставляем формулу –х,
При x<0,
При этом
У нас получилась полуокружность симметричная данной, но только находящаяся слева от оси у
Вот мы построили график первой системы и получили две симметричные полуокружности. Давайте добавим к нему график второго уравнения . Этот график сдвинут на 6 вниз, и да, этот график будет пересекать ось х в точках -6 и 6.
Да это же сердечко! Лучший график, который можно нарисовать в день св. Валентина.
Я всех поздравляю с Днем всех влюбленных и каждому из вас желаю встретить свою настоящую любовь, а встретив ее, – ценить и беречь!
А нам осталось только найти, когда же система имеет только два решения. Это логично, потому что настоящая любовь для двоих. С третьим получается более сложные геометрические фигуры! Давайте посмотрим, когда же будет ровно два решения.
– это прямая, которая идет под 45о к оси х, а параметр b может двигать ее вниз или вверх.
При значении b=-6 целый участок прямой накладывается на сторону нашей красивой геометрической фигуры.
Ну что ж, бесконечная любовь – это тоже красиво, но задача была о другом.
Давайте сдвинем вверх эту прямую, увеличив значение параметра b. Двигая прямую вверх, у нас получается много участков, на которых именно два решения. Но вот мы доходим до трех решений, которые нам тоже не подходят. Происходит это при b равном 0
Двигаем еще выше нашу прямую. Попадаем в точку касания с правой полуокружностью, назовем ее точкой А
Здесь, как мы видим, три решения: одна точка пересечения с правой полуокружностью, одна точка – с левой и одна – с нижним участком прямой. Двигаем еще выше. Попадаем опять на два решения, но доходим до того случая, когда прямая касается полуокружности в точке В
Отметим сейчас на графике, в каких областях решения ровно 2.
Одна такая область – от b=-6 до b=0, вторая область – от прямой, проходящей через точку А, до прямой, проходящей через точку В
Осталось найти координаты точек А и В. Как нам это сделать?
Можно – аналитически, а можно просто вспомнить, что прямая у=х+b имеет угловой коэффициент 1, и значит, она идет под углом в 45° к положительному направлению оси х. Точки А и В – это точки касания прямой и одной из полуокружностей. А мы знаем, что касательная перпендикулярна радиусу, проходящему через точку касания. Значит, на этом рисунке можно заметить прямоугольные равнобедренные треугольники, а еще можно заметить подобные треугольники
Давайте обозначим вершины наших треугольников
В треугольнике СВР .
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ОСМ . А длина ОМ равна значению параметра b для прямой, которая проходит через точку М. То есть эта прямая сдвинута вверх на .
Теперь для точки А. Треугольник АNT .
Тогда чему же равен катет ОN маленького треугольника EON. .
Для прямой, проходящей через точку А, мы получаем .
Теперь мы готовы записать ответ, когда же наша система имеет ровно два решения: во-первых, когда прямая, заданная уравнением у=х+b, проходит выше, чем правая нижняя граница нашей фигуры , или тогда, когда прямая, заданная уравнением у=х+b, проходит выше точки А и ниже точки В.
Ответ:
Ну вот, друзья, такая красивая, сердечная задача с параметром. Еще раз всех поздравляю с праздником! Пусть ваши сердечки всегда остаются чистыми и любящими.
Мы используем файлы cookie, чтобы персонализировать контент, адаптировать и оценивать результативность рекламы, а также обеспечить безопасность. Перейдя на сайт, вы соглашаетесь с использованием файлов cookie.