Параметр Св. Валентина! Какая в этот день математика?

Анна Малкова (опыт преподавания математики 30 лет, автор 6 книг для подготовки к ЕГЭ по математике).

Дорогие друзья! Мы разберем красивую задачу с параметром имени Святого Валентина.

При каких значениях параметра b система имеет ровно 2 решения?

\(\left\{\begin{matrix}
(y-\sqrt{6\left | x \right |-x^{2}})(y+6-\left | x \right |)=0 \\
y=x+b
\end{matrix}\right.\)

Посмотрим на это уравнение. В левой его части произведение двух множителей. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

Давайте запишем, чему равносильна наша система уравнений.

\(\left\{\begin{matrix}
\left[
\begin{gathered}
y-\sqrt{6\left | x \right |-x^{2}}=0 \\
y+6-\left | x \right |=0
\end{gathered}
\right.
\\
6\left | x \right |-x^{2}\geqslant 0 \\
y=x+b
\end{matrix}\right.\)

Упростим каждое из уравнений системы

\(\left\{\begin{matrix}
\left[
\begin{gathered}
y=\sqrt{6\left | x \right |-x^{2}} \\
y=\left | x \right |-6
\end{gathered}
\right.
\\
6\left | x \right |-x^{2}\geqslant 0 \\
y=x+b
\end{matrix}\right.\)

Со вторым уравнением совокупности все понятно. Мы можем нарисовать график этого уравнения.
График функции \(y=\left | x \right |-6\) – это просто график модуля, сдвинутый на 6 вниз.

Рассмотрим отдельно первое уравнение совокупности.

Поскольку в правой его части - арифметический квадратный корень, необходимо выполнение условия \(y\geqslant 0\). При таком условии обе части уравнения можно возвести в квадрат. Получаем:

\(\left\{\begin{matrix}
y\geqslant 0 \\
y^{2}=6\left | x \right |-x^{2}
\end{matrix}\right.\)

Теперь условие \(6\left | x \right |-x^{2}\geqslant 0\). Решим это неравенство. Сделаем замену переменной:

\( \left | x \right |=z; z\geqslant 0\)
\(6z-z^{2}\geqslant 0; z(z-6)\leqslant 0\)

Рисуем параболу с ветвями вверх, которая пересекает ось z в точках 0 и 6

И получаем, что \( 0\leqslant z\leqslant 6; 0\leqslant \left | x \right |\leqslant 6\)

Поскольку модуль - величина неотрицательная, запишем, что \( \left | x \right |\leqslant 6\).
Мы нашли область допустимых значений уравнения.

Система примет вид:

\(\left\{\begin{matrix}
\left[
\begin{gathered}
\left\{\begin{matrix}
x^{2}-6\left | x \right |+y^{2}=0 \\
y\geqslant 0
\end{matrix}\right. \\
y=\left | x \right |-6
\end{gathered}
\right.
\\
\left | x \right |\leqslant 6 \\
y=x+b
\end{matrix}\right.\)

Решим задачу графически.
В первом уравнении есть выражение х² + у². Вспомним, что уравнение \((x-a)^{2}+(x-b)^{2}=R^{2}\) задает окружность, где R ˃0 – радиус, точка М(а;b) - центр окружности.

Выделим полный квадрат в первом уравнении, чтобы прийти к уравнению окружности (или к чему-то похожему).
Мы помним, что \(a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}\), поэтому в первом уравнении в левую и правую часть добавим 9.

\(\left\{\begin{matrix}
\left[
\begin{gathered}
\left\{\begin{matrix}
x^{2}-6\left | x \right |+9+y^{2}=9 \\
y\geqslant 0
\end{matrix}\right. \\
y=\left | x \right |-6
\end{gathered}
\right.
\\
\left | x \right |\leqslant 6 \\
y=x+b
\end{matrix}\right.\)

Сворачиваем по формуле квадрата разности выражение \(x^{2}-6\left | x \right |+9\). Помним, что \(\left | x \right |^{2}=x^{2}\).

Получим:
\(\left\{\begin{matrix}
(\left | x \right |-3)^{2}+y^{2}=9 \\
y\geqslant 0
\end{matrix}\right.\)

Условие \(y\geqslant 0\) означает, что получится не вся окружность, а ее верхняя часть. Точнее, у нас не одна, а две таких полуокружности, в зависимости от того, как мы раскроем модуль.

Система примет вид:

\(\left\{\begin{matrix}
\left[
\begin{gathered}
\left\{\begin{matrix}
(\left | x \right |-3)^{2}+y^{2}=9 \\
y\geqslant 0
\end{matrix}\right. \\
y=\left | x \right |-6
\end{gathered}
\right.
\\
\left | x \right |\leqslant 6 \\
y=x+b
\end{matrix}\right.\)

Нарисуем график первого уравнения при неотрицательных х и посмотрим, что будет, если х меньше нуля.

Если \(x\geqslant 0\), мы убираем модуль и получаем \((\left | x \right |-3)^{2}+y^{2}=9\) при \(y\geqslant 0\). Это уравнение задает окружность с центром в точке (3;0), а радиус этой окружности равен 3, потому что квадрат радиуса равен 9. Нам нужна только верхняя часть этой окружности, то есть полуокружность

Мы построили часть графика.

А что будет при \(x<0\)? Тогда \(\left | x \right |=-x\). При \(x<0\), \(\left | x \right |=-x\) \((-x-3)^{2}+y^{2}=9.\) При этом \(y\geqslant 0.\) Получилась полуокружность, симметричная данной, но только находящаяся слева от оси у.

Графиком первого уравнения системы являются две симметричные полуокружности. Добавим к нему график второго уравнения \(y=\left | x \right |-6\). Это график модуля, сдвинутый на 6 вниз и пересекающий ось х в точках -6 и 6. При этом должно выполняться условие \(|x|<6\).

Мы получили сердечко! Лучший график, который можно нарисовать в день Святого Валентина. Друзья, мы желаем вам встретить настоящую любовь, а встретив - ценить и беречь! : -)

Нам осталось найти, когда система имеет ровно два решения. Это логично, потому что настоящая любовь для двоих. С третьим получаются более сложные геометрические фигуры! Давайте посмотрим, когда же будет ровно два решения.

\(y=x+b\) – это прямая, которая идет под углом 45 градусов к положительному направлению оси х, а параметр b может двигать ее вниз или вверх.

При значении \(b=-6\) целый участок прямой накладывается на сторону нашей красивой геометрической фигуры.

Что же, бесконечная любовь – это тоже красиво, но в задаче спрашивалось о другом.

Будем двигать вверх эту прямую, увеличивая значение параметра b. Двигая прямую вверх, получаем два решения. Но вот мы доходим до трех решений, которые нам тоже не подходят. Происходит это при \(b = 0\).

Двигаем еще выше нашу прямую. Попадаем в точку касания с правой полуокружностью, назовем ее точкой А.

Здесь, как мы видим, три решения: точка пересечения с правой полуокружностью, точка пересечения с левой и еще точка пересечения с нижним участком прямой. Двигаем еще выше. Снова два решения, до момента, когда прямая касается полуокружности в точке В.

Отметим на графике, в каких областях система имеет ровно 2 решения.
Одна такая область – от \(b=-6\) до \(b=0\), вторая область – от прямой, проходящей через точку А, до прямой, проходящей через точку В.

Осталось найти координаты точек А и В.

Можно сделать это аналитически, а можно просто вспомнить, что прямая у=х+b имеет угловой коэффициент 1, и значит, она идет под углом в 45° к положительному направлению оси х. Точки А и В – это точки касания прямой и одной из полуокружностей. А мы знаем, что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. На рисунке можно заметить прямоугольные равнобедренные треугольники, а также подобные треугольники

Давайте обозначим вершины наших треугольников

В треугольнике СВР \(\triangle CBP; BP=3=BC; \angle C=45^{\circ};CP=3\sqrt{2}\).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ОСМ \(\triangle OCM; OM=OC=3+3\sqrt{2}\). Длина ОМ равна значению параметра b для прямой, которая проходит через точку М. Эта прямая сдвинута вверх на \(b=3+3\sqrt{2}\).

Теперь точка А, треугольник АNT \(\triangle ANT; \angle N=45^{\circ};AN=AT=3; TN=3\sqrt{2}\).

Найдем катет ОN маленького треугольника EON. \(\triangle EON=3\sqrt{2}-3=OE \).

Для прямой, проходящей через точку А, мы получаем \(b=3\sqrt{2}-3 \).

Теперь мы готовы записать ответ, когда же наша система имеет ровно два решения: во-первых, когда прямая, заданная уравнением у=х+b, проходит выше, чем правая нижняя граница нашей фигуры \(b\in (-6;0)\), или тогда, когда прямая, заданная уравнением у=х+b, проходит выше точки А и ниже точки В.

Ответ: \(b\in (-6;0)\cup (3\sqrt{2}-3;3\sqrt{2}+3)\)

Вот такая красивая, сердечная задача с параметром. Всем любви и добра!

Все видео по математике