Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике базового и профильного уровня > Актуальные видео по математике > Параметр Св. Валентина! Какая в этот день математика?

Параметр Св. Валентина! Какая в этот день математика?

Анна Малкова (опыт преподавания математики 30 лет, автор 6 книг для подготовки к ЕГЭ по математике).

Дорогие друзья! Мы разберем красивую задачу с параметром имени Святого Валентина.

При каких значениях параметра b система имеет ровно 2 решения?

$\left\{\begin{matrix}(y-\sqrt{6\left | x \right |-x^{2}})(y+6-\left | x \right |)=0 \\y=x+b\end{matrix}\right.$

Посмотрим на это уравнение. В левой его части произведение двух множителей. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

Давайте запишем, чему равносильна наша система уравнений.

$\left\{\begin{matrix}\left[ \begin{gathered} y-\sqrt{6\left | x \right |-x^{2}}=0 \\y+6-\left | x \right |=0\end{gathered} \right.\\6\left | x \right |-x^{2}\geqslant 0 \\y=x+b \end{matrix}\right.$

Упростим каждое из уравнений системы

$\left\{\begin{matrix}\left[ \begin{gathered} y=\sqrt{6\left | x \right |-x^{2}} \\y=\left | x \right |-6 \end{gathered} \right.\\6\left | x \right |-x^{2}\geqslant 0 \\y=x+b \end{matrix}\right.$

Со вторым уравнением совокупности все понятно. Мы можем нарисовать график этого уравнения.
График функции $y=\left | x \right |-6$ – это просто график модуля, сдвинутый на 6 вниз.

Рассмотрим отдельно первое уравнение совокупности.

Поскольку в правой его части - арифметический квадратный корень, необходимо выполнение условия $y\geqslant 0$ . При таком условии обе части уравнения можно возвести в квадрат. Получаем:

$\left\{\begin{matrix}y\geqslant 0 \\y^{2}=6\left | x \right |-x^{2}\end{matrix}\right.$

Теперь условие $6\left | x \right |-x^{2}\geqslant 0$ . Решим это неравенство. Сделаем замену переменной:

$\left | x \right |=z; z\geqslant 0$
$6z-z^{2}\geqslant 0; z(z-6)\leqslant 0$

Рисуем параболу с ветвями вверх, которая пересекает ось z в точках 0 и 6

И получаем, что $0\leqslant z\leqslant 6; 0\leqslant \left | x \right |\leqslant 6$

Поскольку модуль - величина неотрицательная, запишем, что $\left | x \right |\leqslant 6$ .
Мы нашли область допустимых значений уравнения.

Система примет вид:

$\left\{\begin{matrix}\left[ \begin{gathered} \left\{\begin{matrix}x^{2}-6\left | x \right |+y^{2}=0 \\y\geqslant 0 \end{matrix}\right. \\y=\left | x \right |-6 \end{gathered} \right.\\\left | x \right |\leqslant 6 \\y=x+b \end{matrix}\right.$

Решим задачу графически.
В первом уравнении есть выражение х² + у². Вспомним, что уравнение $(x-a)^{2}+(x-b)^{2}=R^{2}$ задает окружность, где R ˃0 – радиус, точка М(а;b) - центр окружности.

Выделим полный квадрат в первом уравнении, чтобы прийти к уравнению окружности (или к чему-то похожему).
Мы помним, что $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$ , поэтому в первом уравнении в левую и правую часть добавим 9.

$\left\{\begin{matrix}\left[ \begin{gathered} \left\{\begin{matrix}x^{2}-6\left | x \right |+9+y^{2}=9 \\y\geqslant 0 \end{matrix}\right. \\y=\left | x \right |-6 \end{gathered} \right.\\\left | x \right |\leqslant 6 \\y=x+b \end{matrix}\right.$

Сворачиваем по формуле квадрата разности выражение $x^{2}-6\left | x \right |+9$ . Помним, что $\left | x \right |^{2}=x^{2}$ .

Получим:
$\left\{\begin{matrix}(\left | x \right |-3)^{2}+y^{2}=9 \\y\geqslant 0 \end{matrix}\right.$

Условие $y\geqslant 0$ означает, что получится не вся окружность, а ее верхняя часть. Точнее, у нас не одна, а две таких полуокружности, в зависимости от того, как мы раскроем модуль.

Система примет вид:

$\left\{\begin{matrix}\left[ \begin{gathered} \left\{\begin{matrix}(\left | x \right |-3)^{2}+y^{2}=9 \\y\geqslant 0 \end{matrix}\right. \\y=\left | x \right |-6 \end{gathered} \right.\\\left | x \right |\leqslant 6 \\y=x+b \end{matrix}\right.$

Нарисуем график первого уравнения при неотрицательных х и посмотрим, что будет, если х меньше нуля.

Если $x\geqslant 0$ , мы убираем модуль и получаем $(\left | x \right |-3)^{2}+y^{2}=9$ при $y\geqslant 0$ . Это уравнение задает окружность с центром в точке (3;0), а радиус этой окружности равен 3, потому что квадрат радиуса равен 9. Нам нужна только верхняя часть этой окружности, то есть полуокружность

Мы построили часть графика.

А что будет при $x<0$ ? Тогда $\left | x \right |=-x$ .

При $x<0$ , $\left | x \right |=-x$ $(-x-3)^{2}+y^{2}=9.$ При этом $y\geqslant 0.$

Получилась полуокружность, симметричная данной, но только находящаяся слева от оси у.

Графиком первого уравнения системы являются две симметричные полуокружности. Добавим к нему график второго уравнения $y=\left | x \right |-6$ . Это график модуля, сдвинутый на 6 вниз и пересекающий ось х в точках -6 и 6. При этом должно выполняться условие $|x|<6$ .

Мы получили сердечко! Лучший график, который можно нарисовать в день Святого Валентина. Друзья, мы желаем вам встретить настоящую любовь, а встретив - ценить и беречь! : -)

Нам осталось найти, когда система имеет ровно два решения. Это логично, потому что настоящая любовь для двоих. С третьим получаются более сложные геометрические фигуры! Давайте посмотрим, когда же будет ровно два решения.

$y=x+b$ – это прямая, которая идет под углом 45 градусов к положительному направлению оси х, а параметр b может двигать ее вниз или вверх.

При значении $b=-6$ целый участок прямой накладывается на сторону нашей красивой геометрической фигуры.

Что же, бесконечная любовь – это тоже красиво, но в задаче спрашивалось о другом.

Будем двигать вверх эту прямую, увеличивая значение параметра b. Двигая прямую вверх, получаем два решения. Но вот мы доходим до трех решений, которые нам тоже не подходят. Происходит это при $b = 0$ .

Двигаем еще выше нашу прямую. Попадаем в точку касания с правой полуокружностью, назовем ее точкой А.

Здесь, как мы видим, три решения: точка пересечения с правой полуокружностью, точка пересечения с левой и еще точка пересечения с нижним участком прямой. Двигаем еще выше. Снова два решения, до момента, когда прямая касается полуокружности в точке В.

Отметим на графике, в каких областях система имеет ровно 2 решения.
Одна такая область – от $b=-6$ до $b=0$ , вторая область – от прямой, проходящей через точку А, до прямой, проходящей через точку В.

Осталось найти координаты точек А и В.

Можно сделать это аналитически, а можно просто вспомнить, что прямая у=х+b имеет угловой коэффициент 1, и значит, она идет под углом в 45° к положительному направлению оси х. Точки А и В – это точки касания прямой и одной из полуокружностей. А мы знаем, что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. На рисунке можно заметить прямоугольные равнобедренные треугольники, а также подобные треугольники

Давайте обозначим вершины наших треугольников

В треугольнике СВР $\triangle CBP; BP=3=BC; \angle C=45^{\circ};CP=3\sqrt{2}$ .

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ОСМ $\triangle OCM; OM=OC=3+3\sqrt{2}$ . Длина ОМ равна значению параметра b для прямой, которая проходит через точку М. Эта прямая сдвинута вверх на $b=3+3\sqrt{2}$ .

Теперь точка А, треугольник АNT $\triangle ANT; \angle N=45^{\circ};AN=AT=3; TN=3\sqrt{2}$ .

Найдем катет ОN маленького треугольника EON. $\triangle EON=3\sqrt{2}-3=OE$ .

Для прямой, проходящей через точку А, мы получаем $b=3\sqrt{2}-3$ .

Теперь мы готовы записать ответ, когда же наша система имеет ровно два решения: во-первых, когда прямая, заданная уравнением у=х+b, проходит выше, чем правая нижняя граница нашей фигуры $b\in (-6;0)$ , или тогда, когда прямая, заданная уравнением у=х+b, проходит выше точки А и ниже точки В.

Ответ: $b\in (-6;0)\cup (3\sqrt{2}-3;3\sqrt{2}+3)$

Вот такая красивая, сердечная задача с параметром. Всем любви и добра!

Все видео по математике

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Параметр Св. Валентина! Какая в этот день математика?» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 11.05.2023

Параметр Св. Валентина! Какая в этот день математика?

Это полезно