Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике базового и профильного уровня > Актуальные видео по математике > Параметр Св. Валентина! Какая в этот день математика?

Параметр Св. Валентина! Какая в этот день математика?

Анна Малкова (опыт преподавания математики 26 лет, автор книг для подготовки к ЕГЭ по математике).

Привет, дорогие друзья! Есть у меня для вас одна очень красивая задача с параметром, и сейчас как раз настал подходящий момент, чтобы эту задачу разобрать.

«При каких значениях параметра b система имеет ровно 2 решения?

$\left\{\begin{matrix}(y-\sqrt{6\left | x \right |-x^{2}})(y+6-\left | x \right |)=0 \\y=x+b\end{matrix}\right.$

Посмотрим это уравнение. В левой его части произведение двух множителей, а произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен 0, а другой при этом имеет смысл.

Давайте так и запишем, что наша система равносильна следующей. А вместо первой у нас будет совокупность

$\left\{\begin{matrix}\begin{bmatrix}y-\sqrt{6\left | x \right |-x^{2}}=0 \\y+6-\left | x \right |=0\end{bmatrix} \\6\left | x \right |-x^{2}\geqslant 0 \\y=x+b \end{matrix}\right.$

Теперь упростим каждое из уравнений системы

$\left\{\begin{matrix}\begin{bmatrix}y=\sqrt{6\left | x \right |-x^{2}} \\y=\left | x \right |-6 \end{bmatrix} \\6\left | x \right |-x^{2}\geqslant 0 \\y=x+b \end{matrix}\right.$

С одним из уравнений все понятно, и мы можем легко нарисовать график уравнения $y=\left | x \right |-6$ – это просто график модуля, сдвинутый на 6 вниз.

Давайте разберем первое уравнение более подробно, может быть, и с ним будет все понятно.

1 уравнение $y\geqslant 0$ . При таком условии мы можем обе части этого уравнения возвести в квадрат. Получаем

$\left\{\begin{matrix}y\geqslant 0 \\y^{2}=6\left | x \right |-x^{2}\end{matrix}\right.$

Заметим, что при этом выражение $6\left | x \right |-x^{2}=y^{2}$ , значит, оно не отрицательное. Напишем, что первое уравнение равносильно системе

$\left\{\begin{matrix}y\geqslant 0 \\y^{2}=6\left | x \right |-x^{2}\end{matrix}\right.$

Теперь условие $6\left | x \right |-x^{2}\geqslant 0$ . Давайте решим это неравенство. Сделаем замену и получим

$6\left | x \right |-x^{2}\geqslant 0; \left | x \right |=z; z\geqslant 0$
$6z-z^{2}\geqslant 0; z(z-6)\leqslant 0$

Рисуем параболу с ветвями вверх, которая пересекает ось z в точках 0 и 6

И получаем, что $0\leqslant z\leqslant 6; 0\leqslant \left | x \right |\leqslant 6$

Мы нашли область допустимых значений нашего уравнения. Но, как мы помним, модуль всегда неотрицательный, поэтому запишем просто ОДЗ: $\left | x \right |\leqslant 6$ .

Теперь у нас все есть: есть ОДЗ, есть первое уравнение, равносильное системе

$\left\{\begin{matrix}y\geqslant 0 \\y^{2}=6\left | x \right |-x^{2}\end{matrix}\right.$

Давайте еще поработаем с первым уравнением и постараемся все-таки нарисовать график нашего первого уравнения, нарисовать прямую, которая задается вторым уравнением в зависимости от параметра, и графическим способом решить систему.

Напишем, какой вид примет наша система

$\left\{\begin{matrix}\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}x^{2}-6\left | x \right |+y^{2}=0 \\y\geqslant 0 \end{matrix}\right.; \\y=\left | x \right |-6 \end{bmatrix} \\\left | x \right |\leqslant 6 \\y=x+b \end{matrix}\right.$

Посмотрим на первое уравнение. Мы в нем видим х² + у². А в каком еще уравнение, задающем некоторую кривую на плоскости, есть х² и у² со знаками «+»? Конечно, в уравнении окружности. Давайте вспомним, что уравнение $(x-a)^{2}+(x-b)^{2}=R^{2}$ задает окружность при R ˃0 – радиус и с центром этой окружности в точке М(а;b).

Окружность $(x-a)^{2}+(x-b)^{2}=R^{2}$ , радиус R>0, центр М(а;b).
Но что нам нужно сделать, чтобы появилось что-то похожее на наше уравнение? Видимо, нужно добавить что-то в левую и правую часть уравнения, чтобы выделить полный квадрат.

Мы помним, что $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$ , поэтому в первом уравнении в левую и правую часть мы добавим 9. То есть будем его вести к уравнению окружности.

$\left\{\begin{matrix}\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}x^{2}-6\left | x \right |+9+y^{2}=9 \\y\geqslant 0 \end{matrix}\right. \\y=\left | x \right |-6 \end{bmatrix} \\\left | x \right |\leqslant 6 \\y=x+b \end{matrix}\right.$

Вы, конечно, уже догадались, какая фигура у нас получится.

Сворачиваем по формуле $x^{2}-6\left | x \right |+9$ и при этом помним, что $\left | x \right |^{2}=x^{2}$ .

В первом уравнении получаем

$\left\{\begin{matrix}(\left | x \right |-3)^{2}+y^{2}=9 \\y\geqslant 0 \end{matrix}\right.$

При этом $y\geqslant 0$ , значит, получится не вся окружность, а верхняя часть, а может быть, и не одна окружность.

Сюда же записываем второе уравнение и условие

$\left\{\begin{matrix}\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}(\left | x \right |-3)^{2}+y^{2}=9 \\y\geqslant 0 \end{matrix}\right. \\y=\left | x \right |-6 \end{bmatrix} \\\left | x \right |\leqslant 6 \\y=x+b \end{matrix}\right.$

Первое уравнение очень похоже на уравнение окружности, но что делать с модулем?

Давайте мы нарисуем график первого уравнения при неотрицательных х, а потом посмотрим, что будет при х меньше 0.

Если $x\geqslant 0$ , мы модуль просто убираем и получаем $(\left | x \right |-3)^{2}+y^{2}=9$ при [/math]y\geqslant 0[/math]. Это уравнение задает окружность с центром в точке (3;0), а радиус этой окружности равен 3, потому что R2 =9. Но нам нужна только верхняя часть этой окружности, получаем полуокружность

Часть графика у нас уже есть.

А что будет при x<0? Тогда $\left | x \right |=-x$ . Мы просто вместо модуля х подставляем формулу –х,

При x<0, $\left | x \right |=-x$
$(-x-3)^{2}+y^{2}=9$
При этом $y\geqslant 0$

У нас получилась полуокружность симметричная данной, но только находящаяся слева от оси у

Вот мы построили график первой системы и получили две симметричные полуокружности. Давайте добавим к нему график второго уравнения $y=\left | x \right |-6$ . Этот график сдвинут на 6 вниз, и да, этот график будет пересекать ось х в точках -6 и 6.

Да это же сердечко! Лучший график, который можно нарисовать в день св. Валентина.

Я всех поздравляю с Днем всех влюбленных и каждому из вас желаю встретить свою настоящую любовь, а встретив ее, – ценить и беречь!

А нам осталось только найти, когда же система имеет только два решения. Это логично, потому что настоящая любовь для двоих. С третьим получается более сложные геометрические фигуры! Давайте посмотрим, когда же будет ровно два решения.

$y=x+b$ – это прямая, которая идет под 45о к оси х, а параметр b может двигать ее вниз или вверх.

При значении b=-6 целый участок прямой накладывается на сторону нашей красивой геометрической фигуры.

Ну что ж, бесконечная любовь – это тоже красиво, но задача была о другом.

Давайте сдвинем вверх эту прямую, увеличив значение параметра b. Двигая прямую вверх, у нас получается много участков, на которых именно два решения. Но вот мы доходим до трех решений, которые нам тоже не подходят. Происходит это при b равном 0

Двигаем еще выше нашу прямую. Попадаем в точку касания с правой полуокружностью, назовем ее точкой А

Здесь, как мы видим, три решения: одна точка пересечения с правой полуокружностью, одна точка – с левой и одна – с нижним участком прямой. Двигаем еще выше. Попадаем опять на два решения, но доходим до того случая, когда прямая касается полуокружности в точке В

Отметим сейчас на графике, в каких областях решения ровно 2.
Одна такая область – от b=-6 до b=0, вторая область – от прямой, проходящей через точку А, до прямой, проходящей через точку В

Осталось найти координаты точек А и В. Как нам это сделать?

Можно – аналитически, а можно просто вспомнить, что прямая у=х+b имеет угловой коэффициент 1, и значит, она идет под углом в 45° к положительному направлению оси х. Точки А и В – это точки касания прямой и одной из полуокружностей. А мы знаем, что касательная перпендикулярна радиусу, проходящему через точку касания. Значит, на этом рисунке можно заметить прямоугольные равнобедренные треугольники, а еще можно заметить подобные треугольники

Давайте обозначим вершины наших треугольников

В треугольнике СВР $\triangle CBP; BP=3=BC; \angle C=45^{\circ};CP=3\sqrt{2}$ .

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ОСМ $\triangle OCM; OM=OC=3+3\sqrt{2}$ . А длина ОМ равна значению параметра b для прямой, которая проходит через точку М. То есть эта прямая сдвинута вверх на $b=3+3\sqrt{2}$ .

Теперь для точки А. Треугольник АNT $\triangle ANT; \angle N=45^{\circ};AN=AT=3; TN=3\sqrt{2}$ .

Тогда чему же равен катет ОN маленького треугольника EON. $\triangle EON=3\sqrt{2}-3=OE$ .

Для прямой, проходящей через точку А, мы получаем $b=3\sqrt{2}-3$ .

Теперь мы готовы записать ответ, когда же наша система имеет ровно два решения: во-первых, когда прямая, заданная уравнением у=х+b, проходит выше, чем правая нижняя граница нашей фигуры $b\in (-6;0)$ , или тогда, когда прямая, заданная уравнением у=х+b, проходит выше точки А и ниже точки В.

Ответ: $b\in (-6;0)\cup (3\sqrt{2}-3;3\sqrt{2}+3)$

Ну вот, друзья, такая красивая, сердечная задача с параметром. Еще раз всех поздравляю с праздником! Пусть ваши сердечки всегда остаются чистыми и любящими.

Все видео по математике

Параметр Св. Валентина! Какая в этот день математика?

Это полезно