Задача 10 ЕГЭ по математике, необычная формула и «плоская Земля»!

Анна Малкова (опыт преподавания математики 26 лет, автор книг для подготовки к ЕГЭ по математике).

Привет, друзья! Сегодня я покажу вам задачу из первой части профильного ЕГЭ по математике, и в этой задаче применяется не совсем обычная формула. Эта задача на определение расстояния до горизонта.

«Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землей, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле
\(l= \sqrt{\frac{Rh}{500}}\), где R = 6400 км – радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 6,4 километров?»

\(h_{1}, l_{1}= \sqrt{\frac{Rh_{1}}{500}}=4,8 km\)
\(h_{2}, l_{2}= \sqrt{\frac{Rh_{2}}{500}}=6,4 km\)
\(h_{2}-h_{1}=?\)

Применим нашу формулу.

Мы говорим, что h₁ – это высота, на которой находится человек, стоящий на пляже. Но он же стоит на пляже, он находится на уровне моря, значит, h₁ должно быть равно 0. Подставляем в формулу. Но тогда и l₁ должно быть равно 0, а мы получаем 4,8 км. Что же здесь не так? Какое здесь противоречие? На самом деле противоречия нет, потому что человек по условию задачи стоит на пляже, а не лежит на пляже. А раз он стоит, то глаза его находятся на некоторой высоте над уровнем моря. Видимо, h₁ – это та высота, на которой находятся глаза человека над уровнем моря.

И вот он видит горизонт на расстоянии 4,8 км. Дальше он поднимается повыше, теперь он на высоте h₂ и видит горизонт на расстоянии 6,4 км. А нам нужно узнать, на сколько ему надо подняться.

Все очень просто: из той и из другой формулы мы выражаем h₁ и h₂.

\(l_{1}^{2}=\frac{Rh_{1}}{500}; h_{1}=\frac{500l_{1}^{2}}{R}\)
\(l_{2}^{2}=\frac{Rh_{2}}{500}; h_{1}=\frac{500l_{2}^{2}}{R}\)

Нужно найти разность между h₁ и h₂:

\(h_{2}-h_{1}=\frac{500}{R}(l_{2}^{2}-l_{1}^{2})\)

А теперь мы можем применить формулу разности квадратов и получаем:

\(h_{2}-h_{1}=\frac{500}{R}(l_{2}^{2}-l_{1}^{2})=\frac{500}{6400}\cdot (l_{1}+l_{2})(l_{2}-l_{1})=\frac{500}{6400}\cdot11,2\cdot 1,6=\frac{8}{64}\cdot11,2=\frac{11,2}{8}=1,4 m\)

С виду очень простая задача, но оказывается, многие делают здесь ошибки. И ошибки связаны с тем, что в одну и ту же формулу нам нужно подставить радиус Земли в километрах, высоту, с которой мы смотрим, – в метрах, а ответ получается в километрах. Фокус в том, что для подстановки в эту формулу нам не нужно переводить h в километры, мы подставляем ее в метрах и получаем тоже в метрах. В чем же здесь дело? Странная формула, да ведь? Обычно в физике мы должны согласовать размерность, когда подставляем данные в формулу, а здесь совершенно разные величины.

На самом деле, формула имеет такой вид, потому что коэффициент 500 не является безразмерным, в нем уже учитывается то, что R и h выражены в разных единицах: R – в километрах, а h – в метрах.

Интересно, а как выглядела бы эта формула, если и R, и h у нас были выражены в километрах? И вообще, откуда такая формула для расстояния до горизонта? А давайте сейчас ее выведем.

На этой картинке очень схематично нарисован земной шар, и в точке h над землей находится наблюдатель и видит какой-то предмет на горизонте, то есть самое дальнее, что мы можем увидеть из этой точки. И такая линия, которая соединяет наши глаза и горизонт, будет касательной к поверхности Земли. Теперь мы видим прямоугольный треугольник. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. И по теореме Пифагора мы можем записать, что \((R+h)^{2}=l^{2}+R^{2}\), l – это то самое расстояние до горизонта.

Отсюда \(l^{2}=(R+h)^{2}-R^{2}=R^{2}+2Rh+h^{2}-R^{2}=2Rh+h^{2};l=\sqrt{2Rh+h^{2}}\)

Но все-таки наша картинка совершенно не точная, потому что я нарисовала Землю маленькой, а высоту, наоборот, – большой, чтобы нам лучше увидеть катеты и гипотенузу этого прямоугольного треугольника. А что же в реальности?

На самом деле, конечно, R намного больше h, потому что R = 6400 км, а, даже если мы поднимаемся на очень высокую гору, ее высота будет не больше, чем 8848 м (это высота Эвереста). Если мы даже поднимаемся над землей на самолете, то мы можем смотреть на Землю с высоты 10000-11000 м, но это малая величина по сравнению с радиусом Земли в 6400 км.

h вынесем за скобки \(l=\sqrt{2Rh+h^{2}}=\sqrt{h(2R+h)}\). И поскольку h намного меньше, чем R, мы пренебрегаем слагаемым h, оно мало по сравнению с 2R, и получаем приблизительно \(\approx \sqrt{2Rh}\). Вот теперь у нас в этой формуле и радиус Земли, и высота выражены в километрах.

А если мы хотим высоту записать в метрах, тогда \(l=\sqrt{2R\cdot \frac{h}{1000}}=\sqrt{\frac{Rh}{500}}\). И мы получаем ту самую формулу, по которой мы решали эту задачу. Но, конечно, мы выводили эту формулу, сделав одно очень серьезное предположение: мы предположили, что Земля имеет форму шара. И наша выведенная форма полностью согласуется с реальностью.

Согласно этой формуле, если высота над поверхностью Земли, с которой мы смотри, равна 1,75 м, то мы видим горизонт на расстоянии 4,7 км, стоя на земле.

С высоты 8-этажного дома мы видим горизонт на расстоянии 17,9 км.

С воздушного шара – на расстоянии в 43,8 км.

С двухкилометровой горы мы видим горизонт почти на расстоянии в 160 км.

А с самолета – почти на расстоянии в 360 км.
Интересно, а что было бы, если Земля была бы плоская? Может быть, среди ваших знакомых есть сторонники плоской Земли? А может быть, вы и сами считаете, что мы все живем на большом-большом диске? Тогда, конечно, эта формула бы не работала, потому что картинка была бы совсем другой, и, на какую бы высоту мы не поднялись, мы видели бы горизонт на одном и том же расстоянии, но тут сторонники плоской Земли могут мне возразить. Они могут сказать: «Ну конечно же, мы видим горизонт на каком хотим расстоянии, а если мы поднимаемся на самолете, то видим горизонт бесконечно далеко, но предметы, которые на горизонте, совсем маленькие, и мы перестаем их различать даже в бинокль».

Хорошо, но как же быть с Солнцем? Те, кто верит, что наша Земля имеет форму плоского диска, говорят, что над ней Солнце ходит по кругу и просто освещает разные ее участки. Да, но если Солнце находится дальше от нас, мы должны видеть его маленьким. Если бы Земля была бы действительно плоским диском, сверху освещаемым Солнцем, то ночью мы видели бы где-то там, далеко, маленькое яркое солнышко. И чем ближе рассвет, тем больше бы оно к нам приближалось и больше становилось. Но нет, мы этого не видим.

Да, наверное, наша Земля все-таки не плоская, потому что иначе с самолета мы бы видели все на бесконечном расстоянии до самых краев этого диска. Но это не все.
Если бы над нами были подвижные созвездия, то из любой точки плоской Земли, мы бы видели одно и то же звездное небо, а так мы знаем, что картина звездного неба над головой зависит от того, на какой географической широте мы находимся. Но и это не все.

Больше всего мне нравится следующий аргумент: если бы Земля была плоской, куда была бы направлена сила тяжести? Ну конечно, к центру массы этого плоского диска, который находится на оси вращения диска. Сторонники теории плоской Земли говорят, что ось нашего диска проходит через Северный полюс. Вот туда и была бы направлена сила тяготения. Бросаем, например, мячик, и он летит к Северному полюсу… Но, поскольку мы этого не наблюдаем и с успехом применяем формулу расстояния до горизонта, все-таки, наверное, наша Земля не плоская, а шарообразная!

А как вы думаете? Напишите в комментариях! И напишите, какие еще интересные эффекты мы бы наблюдали, если бы мы действительно жили на плоском диске, который покоится в Мировом океане, на спине большой черепахи, а черепаха стоит на трех слонах. Или нет, наоборот, сначала черепаха, на ней три слоника, а на них уже диск, а на диске мы!

Все видео по математике