Показательное или степенное? Нестандартное неравенство на ЕГЭ

Анна Малкова (опыт преподавания математики 26 лет, автор книг для подготовки к ЕГЭ по математике).

Решите неравенство:

\(\left | \frac{2}{3}x-\frac{2}{3} \right |^{x-1,2}+\left | \frac{2}{3}x-\frac{2}{3} \right |^{1,2-x}\leqslant 2\)

Если мы одно из этих выражений заменим на какое-то t, то другое выразим через это t.

\(\left | \frac{2}{3}x-\frac{2}{3} \right |^{x-1,2}=t\), тогда \(\left | \frac{2}{3}x-\frac{2}{3} \right |^{-(x-1,2)}=t^{-1}=\frac{1}{t}\)

Кроме того, какое это t? Хочется сказать, что это показательная функция, но она не совсем показательная, она показательно-степенная, х и в основании, и в показателе. Но мы модуль возводим в какую-то степень. Мы получаем положительное t (t>0), потому что мы на него потом будем делить. \(t\neq 0\), т.к. при t=0 \(\frac{1}{t}\) - не существует.

Мы получаем \(t+\frac{1}{t}\leqslant 2\).

Так как t>0, домножим обе части на него, получаем

\(t^{2}-2t+1\leqslant 0\)

\((t-1)^{2}\leqslant 0\)

Но квадрат никакого числа не может быть отрицательным, может быть только равен 0. Из этого следает, что t=1.

И наше неравенство превратилось в уравнение

\(\left | \frac{2}{3}x-\frac{2}{3} \right |^{x-1,2}=1\).

А теперь давайте думать, в каких случаях можем получить здесь 1.

Первый случай – когда показатель степени равен 0 x=1,2. Какое-то \(a^{0}=1\) при \(a \neq 0\).

Второй случай – если \(\left | \frac{2}{3}x-\frac{2}{3} \right |=1\).

Наше неравенство оказалось равносильно совокупности уравнений

Тогда

Такое уравнение легко решить графически с помощью геометрической интерпретации модуля, геометрического смысла модуля. И еще, помните, мы говорили, как читать такую запись? Расстояние от точки х до точки 1 рано 3/2.

И мы получаем

Все видео по математике