Сдай ЕГЭ! Бесплатные материалы для подготовки каждую неделю!
null
Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных согласно 152-ФЗ. Подробнее
banner
Slider
previous arrow
next arrow
Slider
previous arrow
next arrow
Slider

Показательное или степенное? Нестандартное неравенство на ЕГЭ

 

Анна Малкова (опыт преподавания математики 26 лет, автор книг для подготовки к ЕГЭ по математике).

Решите неравенство:

\left | \frac{2}{3}x-\frac{2}{3} \right |^{x-1,2}+\left | \frac{2}{3}x-\frac{2}{3} \right |^{1,2-x}\leqslant 2

Если мы одно из этих выражений заменим на какое-то t, то другое выразим через это t.

\left | \frac{2}{3}x-\frac{2}{3} \right |^{x-1,2}=t, тогда \left | \frac{2}{3}x-\frac{2}{3} \right |^{-(x-1,2)}=t^{-1}=\frac{1}{t}

Кроме того, какое это t? Хочется сказать, что это показательная функция, но она не совсем показательная, она показательно-степенная, х и в основании, и в показателе. Но мы модуль возводим в какую-то степень. Мы получаем положительное t (t>0), потому что мы на него потом будем делить. t\neq 0, т.к. при t=0 \frac{1}{t} - не существует.

Мы получаем t+\frac{1}{t}\leqslant 2.

Так как t>0, домножим обе части на него, получаем

t^{2}-2t+1\leqslant 0

(t-1)^{2}\leqslant 0

Но квадрат никакого числа не может быть отрицательным, может быть только равен 0. Из этого следает, что t=1.

И наше неравенство превратилось в уравнение

\left | \frac{2}{3}x-\frac{2}{3} \right |^{x-1,2}=1.

А теперь давайте думать, в каких случаях можем получить здесь 1.

Первый случай – когда показатель степени равен 0 x=1,2. Какое-то a^{0}=1 при a \neq 0.

Второй случай – если \left | \frac{2}{3}x-\frac{2}{3} \right |=1.

Наше неравенство оказалось равносильно совокупности уравнений

Тогда

Такое уравнение легко решить графически с помощью геометрической интерпретации модуля, геометрического смысла модуля. И еще, помните, мы говорили, как читать такую запись? Расстояние от точки х до точки 1 рано 3/2.

И мы получаем

Все видео по математике

Поделиться страницей

Это полезно

Задание 9 ЕГЭ по математике
В нашей статье вы найдете всю необходимую теорию для решения задания №9 ЕГЭ по теме «Графики функций». Это задание появилось в 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.
Математика 100 баллов
Энергия и работа. Физика с нуля с Вадимом Мурановым