Slider
banner
previous arrow
next arrow
Slider
previous arrow
next arrow
Slider

Показательное или степенное? Нестандартное неравенство на ЕГЭ

 

Анна Малкова (опыт преподавания математики 26 лет, автор книг для подготовки к ЕГЭ по математике).

Решите неравенство:

\left | \frac{2}{3}x-\frac{2}{3} \right |^{x-1,2}+\left | \frac{2}{3}x-\frac{2}{3} \right |^{1,2-x}\leqslant 2

Если мы одно из этих выражений заменим на какое-то t, то другое выразим через это t.

\left | \frac{2}{3}x-\frac{2}{3} \right |^{x-1,2}=t, тогда \left | \frac{2}{3}x-\frac{2}{3} \right |^{-(x-1,2)}=t^{-1}=\frac{1}{t}

Кроме того, какое это t? Хочется сказать, что это показательная функция, но она не совсем показательная, она показательно-степенная, х и в основании, и в показателе. Но мы модуль возводим в какую-то степень. Мы получаем положительное t (t>0), потому что мы на него потом будем делить. t\neq 0, т.к. при t=0 \frac{1}{t} - не существует.

Мы получаем t+\frac{1}{t}\leqslant 2.

Так как t>0, домножим обе части на него, получаем

t^{2}-2t+1\leqslant 0

(t-1)^{2}\leqslant 0

Но квадрат никакого числа не может быть отрицательным, может быть только равен 0. Из этого следает, что t=1.

И наше неравенство превратилось в уравнение

\left | \frac{2}{3}x-\frac{2}{3} \right |^{x-1,2}=1.

А теперь давайте думать, в каких случаях можем получить здесь 1.

Первый случай – когда показатель степени равен 0 x=1,2. Какое-то a^{0}=1 при a \neq 0.

Второй случай – если \left | \frac{2}{3}x-\frac{2}{3} \right |=1.

Наше неравенство оказалось равносильно совокупности уравнений

Тогда

Такое уравнение легко решить графически с помощью геометрической интерпретации модуля, геометрического смысла модуля. И еще, помните, мы говорили, как читать такую запись? Расстояние от точки х до точки 1 рано 3/2.

И мы получаем

Все видео по математике

Поделиться страницей

Это полезно

Все формулы для ЕГЭ
по информатике
На ЕГЭ по информатике формул немного, но их нужно хорошо знать и уметь использовать. Мы собрали все нужные формулы в одну шпаргалку.
Математика 10+11 класс
Новые задачи по Теорверу
из банка заданий ЕГЭ!