Сенсация! Прямой угол равен тупому!

Анна Малкова (автор книги для подготовки к ЕГЭ, ведущая годового Онлайн-курса подготовки к ЕГЭ на 100 баллов, руководитель компании «ЕГЭ-студия» (Курсы ЕГЭ)).

Все мы знаем, что такое прямой угол и тупой угол, но не все знают, что они равны друг другу. И сейчас я вам это докажу. В моем доказательстве не будет ошибок. И оно будет полностью соответствовать чертежу.

Проведем отрезок АВ. Отложим прямой угол САВ. Проверим вместе – он действительно прямой. Построим тупой угол АВД. И тоже проверим. Он больше прямого, значит – он тупой. И сделаем отрезки АС и ВД одинаковой длины. Проверяем. Оба они по 20 см.

Соединяем точки С и Д. Если вам показалось, что СД параллельно АВ, то, конечно, это не так, потому что если мы их продлим, то увидим, что они вовсе не параллельны, а пересекаются. Они и не могут быть параллельными, потому что угол А – прямой, а угол В – тупой.

Теперь находим середины АВ и СД и строим серединные перпендикуляры к отрезкам АВ и СД.

Запишем, что АС = ВД. Н – серединный перпендикуляр к АВ, м – серединный перпендикуляр к СД. И пусть м пересекает н в точке О.

Если вам кажется, что серединные перпендикуляры м и н не должны пересекаться, то это значит, что они параллельны, и значит АВ параллельно СД, но мы знаем, что это не так.

Давайте проверим, что мы провели перпендикуляры именно в серединах и именно под прямым углом. Проверили, все правильно.

Теперь соединяем точку О с вершинами четырехугольника АВДС.

Построение окончено. Дальше – доказательство.

Мы сказали, что АС = ВД, и даже проверили это.

Теперь скажем, что отрезки АО и ОВ тоже равны. Давайте на них посмотрим.

АО = ОВ, т. к. треугольник АОВ – равнобедренный.

Действительно, вот серединный перпендикуляр, обозначим его ОН, а выше поставим точку М.

ОН – высота и медиана треугольника АОВ. А если в треугольнике высота является медианой, то этот треугольник равнобедренный.

Аналогично мы скажем, что треугольник СОД тоже равнобедренный. СО = ОД, т. к. треугольник СОД – равнобедренный. И в нем ОМ – высота и медиана, по построению.

Мы получили, что АС = ВД, АО = ОВ, ОС = ОД.

Отсюда следует, что треугольники АОС и ВОД – равны по трем сторонам. Это один из признаков равенства треугольников.

Если эти треугольники равны, тогда большие углы этих треугольников, лежащие напротив больших сторон, тоже равны. Угол ОАС = углу ОВД.

Конечно, в равных треугольниках равные углы, лежащие напротив соответственных сторон.

А из чего же складывается угол ОАС? Из угла ОАВ и угла ВАС. ОАС=ОАВ+ВАС.

Из чего складывается угол ОВД? Из угла ОВА и угла АВД. ОВД=ОВА+АВД.

Но мы сказали, что треугольник АОВ – равнобедренный. И ОА=ОВ, значит углы при основании тоже равны. Угол ОАВ = углу ОВА.

Тогда мы получаем, что угол ОАВ + угол ВАС = угол ОВА + угол АВД. Угол ОАВ = углу ОВА, значит угол ВАС = углу АВД. Посмотрим это на чертеже. Прямой угол равен тупому углу, что и требовалось доказать. Парадоксально, правда?

Сколько новых теорем можно будет вывести на основе этого полезного факта. Можно построить совсем другую геометрию, которая отличается от той, что нас учили в школе. Но как же тогда школьные учебники? Пишите в комментариях! Подписывайтесь на мой канал!