Сдай ЕГЭ! Бесплатные материалы для подготовки каждую неделю!
null
Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных согласно 152-ФЗ. Подробнее
banner
Slider
previous arrow
next arrow
Slider
previous arrow
next arrow
Slider

Тригонометрическое неравенство и красивые примеры сложных задач

Анна Малкова (опыт преподавания математики 26 лет, автор книг для подготовки к ЕГЭ по математике).

Привет, дорогие друзья!

Все привыкли к тригонометрическим уравнениям, но иногда нам встречаются тригонометрические неравенства, и мы помним, что в ЕГЭ у нас есть задание № 15 «Неравенства». И неравенства там бывают самые разные: и показательные, и логарифмические, и алгебраические, и степенные, и даже тригонометрические. Причем тригонометрические неравенства я встречала и в сборниках задач ЕГЭ под редакцией Ященко, и даже в вариантах тренировочных работ ЕГЭ, которые старшеклассники пишут в течение учебного года.

У меня есть для вас замечательное тригонометрическое неравенство \sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}> 1.

Оно такое короткое, такое безобидное, такое, на первый взгляд, милое, но на его примере я смогу показать, как вообще решаются тригонометрические неравенства. Это вам может пригодиться и в задаче 15, и в задаче с параметрами, и даже иногда в первой части, под № 10 есть задача с практическим содержанием, и там тоже встречаются тригонометрические неравенства. Кроме того, я покажу на примере этой задачи одну классную, абсолютно нетривиальную замену переменной, которая вам может помочь в задаче с параметрами и в олимпиадных задачах, а заодно и повторим, как решать иррациональные неравенства, то есть с корнями, а это тоже полезно.

Давайте начнем с самого простого, с области допустимых значений. Она здесь такая:

Обратите внимание, я могу оставить эту систему в таком виде, а могу сразу ее дорешать. Нарисую тригонометрический круг и отмечу те точки, где синус и косинус неотрицательны. Они находятся в первой четверти, от 2\pi \kappa до \frac{\pi }{2} + 2\pi \kappa, где \kappa принадлежит множеству целых чисел.

И ведь в самом деле, подходят углы только первой четверти, потому что синус неотрицательный для углов из первой и второй четверти, а косинус неотрицательный для углов из первой и четвертой четверти, а и то и другое только в первой четверти.

ОДЗ мы записали, что же нам еще сделать?

Слева у нас сумма корней, а корни квадратной величины неотрицательные, значит, левая часть неотрицательная. И правая часть у нас тоже неотрицательная, значит, мы можем возвести обе части этого неравенства в квадрат, конечно, при условиях, что синус х и косинус х больше или равны 0. Мы имеем право возводить в квадрат, когда обе части неотрицательны.

Получаем \sin x+2\sqrt{\sin x\cos x}+\cos > 1.

Вы, конечно, узнали формулу (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

Здесь же запишу, что \sin x\geqslant 0 и \cos x\geq 0. Получаем

\left\{\begin{matrix}\sin x+2\sqrt{\sin x\cos x}+\cos x> 1\\\sin x\geqslant 0\\\cos x\geq 0\end{matrix}\right.

Теперь смотрим на первое неравенство и видим сумму синуса и косинуса и их произведение под корнем. И сейчас я покажу ту самую замену, о которой я говорила вначале.

Если у нас в уравнении или в неравенстве есть только сумма синуса и косинуса, а также произведение синуса и косинуса, а также всевозможные \sin 2x, \cos 2x или \sin ^{2}x, \cos {2}x, то мы можем сделать замену \sin x\pm \cos x=t.

Эта замена, возможно, поможет вам в олимпиадных задачах и, возможно, в задаче 18, если там встретится тригонометрия, и вы захотите его решать аналитически. С минусом можно сделать точно так же.

А все остальное мы будем выражать через эту новую переменную t. Давайте так и сделаем.

\sin x+ \cos x=t - замена. И тогда все остальное выразим через эту t. Сейчас покажу, как это сделать.

Если \sin x+ \cos x=t, а мы сказали, что при этом \sin x\geqslant 0 и \cos x\geq 0, то в этом уравнении можно обе части возвести в квадрат, тогда у нас t\geqslant 0.

\sin ^{2}x+\cos ^{2}x+2\sin x\cos x=t^{2}.

Получается

1+2\sin x\cos x=t^{2}

\sin x\cos x=\frac{t^{2}-1}{2}

Значит, первое неравенство примет вид: t+2\sqrt{\frac{t^{2}-1}{2}}> 1.

Давайте уединим корень 2\sqrt{\frac{t^{2}-1}{2}}> 1-t.

У нас получилось стандартное иррациональное неравенство, про которое вам обещали, что на ЕГЭ 2021-го года их не будет. Но о том, что не будет тригонометрических неравенств, ничего не сказали.

Что же с этим делать? Конечно, хочется возвести обе части в квадрат, но мы знаем, что возводить обе части неравенства в квадрат можно только тогда, когда обе эти части неотрицательные. Если 1-t\geqslant 0, мы можем возвести обе части в квадрат.

Получаем 2 (t^{2}-1)> (1-t)^{2}.

Обратите внимание, что при этом я могу не писать, что t^{2}-1\geq 0, потому что она уже больше, квадрат какого-то неотрицательного выражения больше неотрицательного выражения.

Но это еще не все. Есть второй случай, когда 1-t\leq 0, ведь у нас тоже такое может быть. Тогда в квадрат возводить мы не можем. Но тогда неравенство просто будет выполняться, потому что слева корень, величина неотрицательная, а справа минус. И неравенство выполняется, когда t принадлежит области допустимых значений, когда t^{2}-1\geqslant 0.

Решаем полученную совокупность

Давайте для первой системы второе неравенство решим методом интервалов

Значит, мы получаем, что

\left[\begin{array}{c}t< -3\\ t> 1\end{array}\right..

Вернемся к переменной t.

Пронумеруем наши два неравенства и будем решать их по порядку

\left[\begin{array}{c}t< -3 (1)\\ t> 1 (2)\end{array}\right..

1 случай: t< -3 ; \sin x+\cos x< -3.

Что-то здесь странное, ведь мы же знаем, что

\begin{matrix}\left | \sin x\right |\leqslant 1\\\left | \cos x \right |\leq1\end{matrix}

а у нас даже сумма меньше -3. Такого не может быть.

Поскольку у меня

\begin{matrix}\sin x\geqslant -1\\\cos x\geq -1\end{matrix}

а я могу складывать неравенства с одинаковым знаком, отсюда следует, что \sin x+\cos x\geq -2.

Мы получаем, что у нашего неравенства нет решений.

\sin x+\cos x< -3 - нет решений. Остался второй случай: \sin x+\cos x> 1.

Когда вам попадаются такие уравнения или неравенства, где есть сумма синуса и косинуса, равная какому-то числу, мы знаем, как их решать. Воспользуемся методом введения дополнительного угла. Я об этом уже рассказывала на онлайн-курсе, также об этом можно почитать на нашем сайте в материалах по математике. В простейшем случае, как сейчас у нас, этот метод дается в учебнике алгебры.

Умножаем левую и правую части этого неравенства на корень из 2/2, потому что это \frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}.

И у нас получается \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x> \frac{\sqrt{2}}{2}; \cos x\cos \frac{\pi }{4}+\sin x\sin \frac{\pi }{4}> \frac{\sqrt{2}}{2}.

Узнаем формулу \cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta .

Сворачиваем по формуле и получаем \cos (x-\frac{\pi }{4})> \frac{\sqrt{2}}{2}.

Точно не нужно это тригонометрическое неравенство решать в уме, даже простейшие тригонометрические неравенства решать в уме не надо. Надо нарисовать тригонометрический круг.

Пусть у меня угол \varphi =x-\frac{\pi }{4}. И я решаю простейшее тригонометрическое неравенство \cos \varphi> \frac{\sqrt{2}}{2}.

Отмечаем на тригонометрическом круге на оси косинусов \frac{\sqrt{2}}{2} и точки, у которых такой косинус. В первой четверти будет угол 45^{o} или \frac{\pi }{4} и все углы, которые отличаются от \frac{\pi }{4} на целое число полных кругов. А в четвертой четверти это -\frac{\pi }{4}+2\pi \kappa . А косинус у нас больше, чем \frac{\sqrt{2}}{2}

Осталось записать решение для угла \varphi, который -\frac{\pi }{4}+2\pi \kappa < x-\frac{\pi }{4} < \frac{\pi }{4}+2\pi \kappa, \kappa \in z.

И последним действием мы находим х.

\begin{matrix}2\pi \kappa < x< \frac{\pi }{2}+2\pi \kappa \\ \kappa \in z\end{matrix}

Значит, х – это углы из первой четверти, не включая точки, лежащие на осях. И для всех этих углов выполняется условие \sin x> 0 и \cos x> 0. Мы решили это непростое тригонометрическое неравенство.

Мы сделали очень нетривиальную замену переменной, решили получившееся иррациональное неравенство, вспомнили, как решать тригономитрические неравенства с помощью единичной окружности. Но оказывается, есть более сложные неравенства, которые можно сделать с помощью не тригонометрических, а обратных тригонометрических функций. Если вы хотите неравенства с обратными тригонометрическими функциями и заодно повторить, что такое арксинус и арккосинус, - ставьте лайки и подписывайтесь на мой канал!

Все видео по математике

Поделиться страницей

Это полезно

Задание 9 ЕГЭ по математике
В нашей статье вы найдете всю необходимую теорию для решения задания №9 ЕГЭ по теме «Графики функций». Это задание появилось в 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.
Математика 100 баллов
Энергия и работа. Физика с нуля с Вадимом Мурановым