Тригонометрическое неравенство и красивые примеры сложных задач
Анна Малкова (опыт преподавания математики 26 лет, автор книг для подготовки к ЕГЭ по математике).
Привет, дорогие друзья!
Все привыкли к тригонометрическим уравнениям, но иногда нам встречаются тригонометрические неравенства, и мы помним, что в ЕГЭ у нас есть задание № 15 «Неравенства». И неравенства там бывают самые разные: и показательные, и логарифмические, и алгебраические, и степенные, и даже тригонометрические. Причем тригонометрические неравенства я встречала и в сборниках задач ЕГЭ под редакцией Ященко, и даже в вариантах тренировочных работ ЕГЭ, которые старшеклассники пишут в течение учебного года.
У меня есть для вас замечательное тригонометрическое неравенство .
Оно такое короткое, такое безобидное, такое, на первый взгляд, милое, но на его примере я смогу показать, как вообще решаются тригонометрические неравенства. Это вам может пригодиться и в задаче 15, и в задаче с параметрами, и даже иногда в первой части, под № 10 есть задача с практическим содержанием, и там тоже встречаются тригонометрические неравенства. Кроме того, я покажу на примере этой задачи одну классную, абсолютно нетривиальную замену переменной, которая вам может помочь в задаче с параметрами и в олимпиадных задачах, а заодно и повторим, как решать иррациональные неравенства, то есть с корнями, а это тоже полезно.
Давайте начнем с самого простого, с области допустимых значений. Она здесь такая:
Обратите внимание, я могу оставить эту систему в таком виде, а могу сразу ее дорешать. Нарисую тригонометрический круг и отмечу те точки, где синус и косинус неотрицательны. Они находятся в первой четверти, от до + , где принадлежит множеству целых чисел.
И ведь в самом деле, подходят углы только первой четверти, потому что синус неотрицательный для углов из первой и второй четверти, а косинус неотрицательный для углов из первой и четвертой четверти, а и то и другое только в первой четверти.
ОДЗ мы записали, что же нам еще сделать?
Слева у нас сумма корней, а корни квадратной величины неотрицательные, значит, левая часть неотрицательная. И правая часть у нас тоже неотрицательная, значит, мы можем возвести обе части этого неравенства в квадрат, конечно, при условиях, что синус х и косинус х больше или равны 0. Мы имеем право возводить в квадрат, когда обе части неотрицательны.
Получаем .
Вы, конечно, узнали формулу .
Здесь же запишу, что и . Получаем
Теперь смотрим на первое неравенство и видим сумму синуса и косинуса и их произведение под корнем. И сейчас я покажу ту самую замену, о которой я говорила вначале.
Если у нас в уравнении или в неравенстве есть только сумма синуса и косинуса, а также произведение синуса и косинуса, а также всевозможные , или , , то мы можем сделать замену .
Эта замена, возможно, поможет вам в олимпиадных задачах и, возможно, в задаче 18, если там встретится тригонометрия, и вы захотите его решать аналитически. С минусом можно сделать точно так же.
А все остальное мы будем выражать через эту новую переменную t. Давайте так и сделаем.
- замена. И тогда все остальное выразим через эту t. Сейчас покажу, как это сделать.
Если , а мы сказали, что при этом и , то в этом уравнении можно обе части возвести в квадрат, тогда у нас .
.
Получается
Значит, первое неравенство примет вид: .
Давайте уединим корень .
У нас получилось стандартное иррациональное неравенство, про которое вам обещали, что на ЕГЭ 2021-го года их не будет. Но о том, что не будет тригонометрических неравенств, ничего не сказали.
Что же с этим делать? Конечно, хочется возвести обе части в квадрат, но мы знаем, что возводить обе части неравенства в квадрат можно только тогда, когда обе эти части неотрицательные. Если , мы можем возвести обе части в квадрат.
Получаем .
Обратите внимание, что при этом я могу не писать, что , потому что она уже больше, квадрат какого-то неотрицательного выражения больше неотрицательного выражения.
Но это еще не все. Есть второй случай, когда , ведь у нас тоже такое может быть. Тогда в квадрат возводить мы не можем. Но тогда неравенство просто будет выполняться, потому что слева корень, величина неотрицательная, а справа минус. И неравенство выполняется, когда t принадлежит области допустимых значений, когда .
Решаем полученную совокупность
Давайте для первой системы второе неравенство решим методом интервалов
Значит, мы получаем, что
.
Вернемся к переменной t.
Пронумеруем наши два неравенства и будем решать их по порядку
.
1 случай: ; .
Что-то здесь странное, ведь мы же знаем, что
а у нас даже сумма меньше -3. Такого не может быть.
Поскольку у меня
а я могу складывать неравенства с одинаковым знаком, отсюда следует, что .
Мы получаем, что у нашего неравенства нет решений.
- нет решений. Остался второй случай: .
Когда вам попадаются такие уравнения или неравенства, где есть сумма синуса и косинуса, равная какому-то числу, мы знаем, как их решать. Воспользуемся методом введения дополнительного угла. Я об этом уже рассказывала на онлайн-курсе, также об этом можно почитать на нашем сайте в материалах по математике. В простейшем случае, как сейчас у нас, этот метод дается в учебнике алгебры.
Умножаем левую и правую части этого неравенства на корень из 2/2, потому что это .
И у нас получается ; .
Узнаем формулу .
Сворачиваем по формуле и получаем .
Точно не нужно это тригонометрическое неравенство решать в уме, даже простейшие тригонометрические неравенства решать в уме не надо. Надо нарисовать тригонометрический круг.
Пусть у меня угол . И я решаю простейшее тригонометрическое неравенство .
Отмечаем на тригонометрическом круге на оси косинусов и точки, у которых такой косинус. В первой четверти будет угол или и все углы, которые отличаются от на целое число полных кругов. А в четвертой четверти это . А косинус у нас больше, чем
Осталось записать решение для угла , который , .
И последним действием мы находим х.
Значит, х – это углы из первой четверти, не включая точки, лежащие на осях. И для всех этих углов выполняется условие и . Мы решили это непростое тригонометрическое неравенство.
Мы сделали очень нетривиальную замену переменной, решили получившееся иррациональное неравенство, вспомнили, как решать тригономитрические неравенства с помощью единичной окружности. Но оказывается, есть более сложные неравенства, которые можно сделать с помощью не тригонометрических, а обратных тригонометрических функций. Если вы хотите неравенства с обратными тригонометрическими функциями и заодно повторить, что такое арксинус и арккосинус, - ставьте лайки и подписывайтесь на мой канал!
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Тригонометрическое неравенство и красивые примеры сложных задач» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
В варианте ЕГЭ-2023 две задачи по теории вероятностей — это №3 и №4. По заданию 4 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
В варианте ЕГЭ-2023 две задачи по теории вероятностей — это №3 и №4. По заданию 4 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
Мы используем файлы cookie, чтобы персонализировать контент, адаптировать и оценивать результативность рекламы, а также обеспечить безопасность. Перейдя на сайт, вы соглашаетесь с использованием файлов cookie.