Тригонометрическое неравенство и красивые примеры сложных задач

Анна Малкова (опыт преподавания математики 26 лет, автор книг для подготовки к ЕГЭ по математике).

Привет, дорогие друзья!

Все привыкли к тригонометрическим уравнениям, но иногда нам встречаются тригонометрические неравенства, и мы помним, что в ЕГЭ у нас есть задание № 15 «Неравенства». И неравенства там бывают самые разные: и показательные, и логарифмические, и алгебраические, и степенные, и даже тригонометрические. Причем тригонометрические неравенства я встречала и в сборниках задач ЕГЭ под редакцией Ященко, и даже в вариантах тренировочных работ ЕГЭ, которые старшеклассники пишут в течение учебного года.

У меня есть для вас замечательное тригонометрическое неравенство \(\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}> 1\).

Оно такое короткое, такое безобидное, такое, на первый взгляд, милое, но на его примере я смогу показать, как вообще решаются тригонометрические неравенства. Это вам может пригодиться и в задаче 15, и в задаче с параметрами, и даже иногда в первой части, под № 10 есть задача с практическим содержанием, и там тоже встречаются тригонометрические неравенства. Кроме того, я покажу на примере этой задачи одну классную, абсолютно нетривиальную замену переменной, которая вам может помочь в задаче с параметрами и в олимпиадных задачах, а заодно и повторим, как решать иррациональные неравенства, то есть с корнями, а это тоже полезно.

Давайте начнем с самого простого, с области допустимых значений. Она здесь такая:

Обратите внимание, я могу оставить эту систему в таком виде, а могу сразу ее дорешать. Нарисую тригонометрический круг и отмечу те точки, где синус и косинус неотрицательны. Они находятся в первой четверти, от \(2\pi \kappa\) до \(\frac{\pi }{2}\) + \(2\pi \kappa\), где \(\kappa\) принадлежит множеству целых чисел.

И ведь в самом деле, подходят углы только первой четверти, потому что синус неотрицательный для углов из первой и второй четверти, а косинус неотрицательный для углов из первой и четвертой четверти, а и то и другое только в первой четверти.

ОДЗ мы записали, что же нам еще сделать?

Слева у нас сумма корней, а корни квадратной величины неотрицательные, значит, левая часть неотрицательная. И правая часть у нас тоже неотрицательная, значит, мы можем возвести обе части этого неравенства в квадрат, конечно, при условиях, что синус х и косинус х больше или равны 0. Мы имеем право возводить в квадрат, когда обе части неотрицательны.

Получаем \(\sin x+2\sqrt{\sin x\cos x}+\cos > 1\).

Вы, конечно, узнали формулу \((a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\).

Здесь же запишу, что \(\sin x\geqslant 0\) и \(\cos x\geq 0\). Получаем

\(\left\{\begin{matrix}
\sin x+2\sqrt{\sin x\cos x}+\cos x> 1\\
\sin x\geqslant 0\\
\cos x\geq 0
\end{matrix}\right.\)

Теперь смотрим на первое неравенство и видим сумму синуса и косинуса и их произведение под корнем. И сейчас я покажу ту самую замену, о которой я говорила вначале.

Если у нас в уравнении или в неравенстве есть только сумма синуса и косинуса, а также произведение синуса и косинуса, а также всевозможные \(\sin 2x\), \(\cos 2x\) или \(\sin ^{2}x\), \(\cos {2}x\), то мы можем сделать замену \(\sin x\pm \cos x=t\).

Эта замена, возможно, поможет вам в олимпиадных задачах и, возможно, в задаче 18, если там встретится тригонометрия, и вы захотите его решать аналитически. С минусом можно сделать точно так же.

А все остальное мы будем выражать через эту новую переменную t. Давайте так и сделаем.

\(\sin x+ \cos x=t\) - замена. И тогда все остальное выразим через эту t. Сейчас покажу, как это сделать.

Если \(\sin x+ \cos x=t\), а мы сказали, что при этом \(\sin x\geqslant 0\) и \(\cos x\geq 0\), то в этом уравнении можно обе части возвести в квадрат, тогда у нас \(t\geqslant 0\).

\(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x+2\sin x\cos x=t^{2}\).

Получается

\(1+2\sin x\cos x=t^{2}\)

\(\sin x\cos x=\frac{t^{2}-1}{2}\)

Значит, первое неравенство примет вид: \(t+2\sqrt{\frac{t^{2}-1}{2}}> 1\).

Давайте уединим корень \(2\sqrt{\frac{t^{2}-1}{2}}> 1-t\).

У нас получилось стандартное иррациональное неравенство, про которое вам обещали, что на ЕГЭ 2021-го года их не будет. Но о том, что не будет тригонометрических неравенств, ничего не сказали.

Что же с этим делать? Конечно, хочется возвести обе части в квадрат, но мы знаем, что возводить обе части неравенства в квадрат можно только тогда, когда обе эти части неотрицательные. Если \(1-t\geqslant 0\), мы можем возвести обе части в квадрат.

Получаем \(2 (t^{2}-1)> (1-t)^{2}\).

Обратите внимание, что при этом я могу не писать, что \(t^{2}-1\geq 0\), потому что она уже больше, квадрат какого-то неотрицательного выражения больше неотрицательного выражения.

Но это еще не все. Есть второй случай, когда \(1-t\leq 0\), ведь у нас тоже такое может быть. Тогда в квадрат возводить мы не можем. Но тогда неравенство просто будет выполняться, потому что слева корень, величина неотрицательная, а справа минус. И неравенство выполняется, когда t принадлежит области допустимых значений, когда \( t^{2}-1\geqslant 0\).

Решаем полученную совокупность

Давайте для первой системы второе неравенство решим методом интервалов

Значит, мы получаем, что

\(\left[\begin{array}{c}
t< -3\\ t> 1
\end{array}\right.\).

Вернемся к переменной t.

Пронумеруем наши два неравенства и будем решать их по порядку

\(\left[\begin{array}{c}
t< -3 (1)\\ t> 1 (2)
\end{array}\right.\).

1 случай: \(t< -3 \); \(\sin x+\cos x< -3\). Что-то здесь странное, ведь мы же знаем, что \( \begin{matrix} \left | \sin x\right |\leqslant 1\\ \left | \cos x \right |\leq1 \end{matrix} \) а у нас даже сумма меньше -3. Такого не может быть. Поскольку у меня \( \begin{matrix} \sin x\geqslant -1\\ \cos x\geq -1 \end{matrix} \) а я могу складывать неравенства с одинаковым знаком, отсюда следует, что \(\sin x+\cos x\geq -2\). Мы получаем, что у нашего неравенства нет решений. \(\sin x+\cos x< -3\) - нет решений. Остался второй случай: \(\sin x+\cos x> 1\).

Когда вам попадаются такие уравнения или неравенства, где есть сумма синуса и косинуса, равная какому-то числу, мы знаем, как их решать. Воспользуемся методом введения дополнительного угла. Я об этом уже рассказывала на онлайн-курсе, также об этом можно почитать на нашем сайте в материалах по математике. В простейшем случае, как сейчас у нас, этот метод дается в учебнике алгебры.

Умножаем левую и правую части этого неравенства на корень из 2/2, потому что это \(\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}\).

И у нас получается \(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x> \frac{\sqrt{2}}{2}\); \(\cos x\cos \frac{\pi }{4}+\sin x\sin \frac{\pi }{4}> \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Узнаем формулу \(\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \).

Сворачиваем по формуле и получаем \(\cos (x-\frac{\pi }{4})> \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Точно не нужно это тригонометрическое неравенство решать в уме, даже простейшие тригонометрические неравенства решать в уме не надо. Надо нарисовать тригонометрический круг.

Пусть у меня угол \(\varphi =x-\frac{\pi }{4}\). И я решаю простейшее тригонометрическое неравенство \(\cos \varphi> \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Отмечаем на тригонометрическом круге на оси косинусов \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) и точки, у которых такой косинус. В первой четверти будет угол \(45^{o}\) или \( \frac{\pi }{4}\) и все углы, которые отличаются от \( \frac{\pi }{4}\) на целое число полных кругов. А в четвертой четверти это \(-\frac{\pi }{4}+2\pi \kappa \). А косинус у нас больше, чем \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Осталось записать решение для угла \(\varphi\), который \(-\frac{\pi }{4}+2\pi \kappa < x-\frac{\pi }{4} < \frac{\pi }{4}+2\pi \kappa\), \(\kappa \in z\). И последним действием мы находим х. \(\begin{matrix} 2\pi \kappa < x< \frac{\pi }{2}+2\pi \kappa \\ \kappa \in z \end{matrix}\) Значит, х – это углы из первой четверти, не включая точки, лежащие на осях. И для всех этих углов выполняется условие \(\sin x> 0\) и \(\cos x> 0\). Мы решили это непростое тригонометрическое неравенство.

Мы сделали очень нетривиальную замену переменной, решили получившееся иррациональное неравенство, вспомнили, как решать тригономитрические неравенства с помощью единичной окружности. Но оказывается, есть более сложные неравенства, которые можно сделать с помощью не тригонометрических, а обратных тригонометрических функций. Если вы хотите неравенства с обратными тригонометрическими функциями и заодно повторить, что такое арксинус и арккосинус, - ставьте лайки и подписывайтесь на мой канал!

Все видео по математике