Разбор задачи 15: неравенство, вариант Восток

Анна Малкова (автор книг для подготовки к ЕГЭ, ведущая Онлайн-курса подготовки к ЕГЭ на 100 баллов, руководитель компании «ЕГЭ-студия» (Курсы ЕГЭ)).

Задача № 15

Решите неравенство:

\(\frac { { (5x-3) }^{ 2 } }{ x-2 } \ge \frac { { 9-30x+25x }^{ 2 } }{ { 14-9x+x }^{ 2 } } \)

Числитель дроби в правой части неравенства:

\(25{ x }^{ 2 }-30x+9 \)

Это полный квадрат, такой же, как и числитель дроби в левой части неравенства.

\(25{ x }^{ 2 }-30x+9={ (5x-3) }^{ 2 }\)

Помним, что \(a{ x }^{ 2 }+bx+c\) раскладывается на множители \(a(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 })\), где \({ x }_{ 1 }\) и \({ x }_{ 2 }\) – это корни квадратного уравнения, а \(a{ x }^{ 2 }+bx+c=0\)

Разложим на множители \({ { x }^{ 2 } }-9x+14=0\).

Корни находим по теореме Виета: \({ x }_{ 1 }=2\), \({ x }_{ 2 }=7\).

В квадратном уравнении \(a{ x }^{ 2 }+bx+c=0\) сумма корней \({ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }=-\frac { b }{ a } \), а произведение корней \({ x }_{ 1 }{ x }_{ 2 }=\frac { c }{ a } \). Подбираем корни: х=2 и х=7.

Выражение \(14-9x+{ x }^{ 2 } \) раскладываем как (x-2)(x-7).

Получаем: \(\frac { { (5x-3) }^{ 2 } }{ x-2 } \ge \frac { { (5x-3) }^{ 2 } }{ (x-2)(x-7) }\).

\( \frac { { (5x-3) }^{ 2 } }{ x-2 } (1-\frac { 1 }{ x-7 } )\ge 0\).

Выражение в скобках приведем к одному знаменателю: \(\frac { { (5x-3) }^{ 2 }(x-8) }{ (x-2)(x-7) } \ge 0\).

Решаем неравенство методом интервалов.

Осталось записать ответ.

\(x\in \left\{ \frac { 3 }{ 5 } \right\} \cup (2;7)\cup [8;+\infty )\)