Анна Малкова, автор книги для подготовки к ЕГЭ, ведущая годового Онлайн-курса подготовки к ЕГЭ на 100 баллов, руководитель компании «ЕГЭ-студия».
Привет, дорогие друзья! Я Анна Малкова, автор книг для подготовки к ЕГЭ по математике и ведущая онлайн-курса подготовки к ЕГЭ на 100 баллов.
Одно из моих хобби – придумывать занимательные задачи. Я заметила, что по алгебре и по арифметике очень много различных задач и парадоксов в сборниках, а вот по геометрии намного меньше, а ведь геометрия и стереометрия – это темы, которые почти каждой школьник называет сложными. И вот я придумала такую занимательную задачу, про доставку еды.
Конечно, вы видели на улицах вашего города курьеров с такими большими-большими термосумками, а в этих больших сумках курьеры из кафе и ресторанов привозят людям разные вкусные продукты. А вот моя задача:
«Фирма доставки еды получила заказ на горячие обеды. Внутреннее пространство термокороба курьера имеет форму куба со стороной 0,42 метра, обеды упаковываются в кубические пластиковые контейнеры размером 15х15х15 см. Сколько таких контейнеров поместится в термокороб?»
На первый взгляд все очень просто. Представим себе, что вы курьер. Вы долго готовились к ЕГЭ, отлично его сдали и теперь работаете курьером :). Вы открываете свою сумку, термокороб. Внутри это пространство представляет собой кубик с размерами 42х42х42 см. И контейнер с горячим обедом тоже представляет собой кубик, только размером 15х15х15 см.
И вы думаете, как же так их упаковать, чтобы поместилось как можно больше. И тут вы вспоминаете, что же учили в школе на уроках стереометрии. А именно вы вспоминаете формулу объема куба \(V=a^{3}\)
Все очень просто: мы берем объем кубического термокороба и берем объем одного обеда, а затем делим одно на другое, и наконец узнаем, сколько обедов поместится в термокороб \(\frac{42^{3}}{15^{3}}\)
А правильный это ответ? Нет, ребята, это ответ неправильный. Если вы работаете курьером и если вы так сделаете, то у вас эти обеды не примут, ведь нельзя переворачивать контейнеры вверх дном, они должны стоять аккуратно. Такой ответ нам не подойдет.
Тогда мы попробуем поставить контейнеры один за другим. Но в этом случае у нас войдет мало контейнеров и останется много свободного места
В короб поместится 8 контейнеров. Это правильный ответ? Оказывается, нет.
Давайте посмотрим еще раз. Мы поставили контейнеры вплотную друг к друг. А что, если мы поставим контейнеры по углам коробки? А вдруг мы сможем поместить еще один в середину?
Посмотрите, что у нас получилось
Я расположила еще один квадрат так, что его стороны образуют угол в 45о со сторонами короба
Но тогда какой же должна быть сторона этого квадрата? Если его сторона больше 15 см, тогда еще одни контейнер с обедом, у которого сторона 15 см, в это пространство поместится. А если сторона этого квадрата меньше 15 см, то еще один контейнер туда поместить нельзя. То есть мы построили такой квадрат, и нам нужно узнать, больше его сторона, чем 15 см, или меньше.
Давайте посмотрим на точки, которые лежат на сторонах этого квадрата и одновременно являются вершинами квадратов, которые расположены по углам
Эти точки делят стороны на равные отрезки. Проведем диагональ квадрата
А теперь соединим две точки и проведем АВ
АВ – это половина диагонали квадрата, который мы поставили посередине. Но с другой стороны АВ = 42-15-15 = 12 см. А мы помним, что если сторона квадрата (у нас это будет ЕN) больше либо равна 15, то еще один контейнер поместится, а если меньше 15, то не поместится.
Если \(EN\geqslant 15\) - поместится
Если EN > 15 - не поместится Если АВ = 12, тогда ЕN = 24. Теперь мы можем найти, чему же равна его сторона. ЕF – диагональ квадрата, ЕN – сторона квадрата. А теперь вспоминаем геометрию: как связаны сторона квадрата и его диагональ? \(EF=EN-\sqrt{2}\) Тогда \(EN=\frac{EF}{\sqrt{2}}\) Получается \(\frac{24}{\sqrt{2}}\) нам необходимо сравнить с 15 \(\frac{24}{\sqrt{2}}\vee 15\) Мы можем обе части этого выражения сократить на 3 \(\frac{8}{\sqrt{2}}\vee 5\) А теперь умножим обе части на \(\sqrt{2}\) и получаем \(8\vee 5\sqrt{2}\) У нас есть иррациональное число, из-за которого неудобно сравнивать. Но мы видим, что оба этих числа положительные. И если первое из них больше второго, то квадрат первого числа больше квадрата второго. Возведем обе части в квадрат \(64\vee 25\cdot 2\); 64 > 50
Получается \(\frac{24}{\sqrt{2}}\) > 15
Значит, в центр помещается квадрат, сторона которого больше 15. Ну а квадрат со стороной 15 сюда точно поместится
И у нас поместилось целых 5 контейнеров, а на них ставим еще 5, и наконец получаем правильный ответ – 10 контейнеров.
Вот, друзья, такая занимательная задача с неожиданным ответом. Вы можете задать ее своим друзьям в школе или даже своей учительнице математики.
Подписывайтесь на мой канал и ждите новых интересных и занимательных задач.
С вами Анна Малкова!
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
