Анна Малкова – автор книг для подготовки к ЕГЭ по математике (опыт преподавания математики – 25 лет).
Привет, друзья!
Для этого видео из серии «100 задач с Анной Малковой» я выбрала задачу про тепловоз. Да, это № 10 из профильного ЕГЭ по математике. Многие боятся таких задач и говорят: «О, это же физика!» Но на самом деле нет, физика намного сложнее, а здесь просто математика: внимательно прочитать условие, понять его, и, как правило, подставить данные задачи в готовую формулу.
Вот условие задачи:
«Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f0=440Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первой, она зависит от скорости тепловоза по закону \(f ( \upsilon )= \frac{ f_{0} }{1- \frac{ \upsilon }{c} } \) (Гц), где с – скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее, чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а с=315 м/с. Ответ выразите в м/с.»
Первый вопрос: сколько тепловозов в задаче? Перед отправкой тепловоз издал гудок, здесь все понятно: возле платформы стоит тепловоз и перед тем как поехать он издает гудок. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Вопрос: это тот же самый тепловоз? Нет, конечно. Первый стоял и готовился отправиться, а второй подъезжал к той же самой платформе. То есть первый гудок издал неподвижный тепловоз, а второй – движущийся. Ну, а дальше все понятно, мы просто пользуемся той формулой, которую нам дали в задаче.
По условию частота гудка тепловоза, который приближается к платформе, больше, чем у неподвижного тепловоза. При чем человек, стоящий на платформе, смог различить гудки по тону, а человек различает высоту звука двух разных сигналов, если отличаются они не менее чем на 10 Гц.
\(f ( \upsilon )= \frac{ f_{0} }{1- \frac{ \upsilon }{c} } \)
\(f>f_{0}\);
\(f-f_{0}\geqslant 10\) Гц.
Тогда мы получаем \(\frac{ f_{0} }{1- \frac{ \upsilon }{c} }-f_{0}\geqslant 10\). Обратите внимание, что у нас не уравнение, а неравенство.
А теперь просто математика. Сокращаем обе части неравенства на 10:
\(44(\frac{ 1 }{1- \frac{ \upsilon }{c} }-1)\geqslant 1\).
Поскольку обе части неравенства положительные, делим обе части неравенства на 44:
\(\frac{ 1 }{1- \frac{ \upsilon }{c} }-1\geqslant \frac{1}{44}\)
\(\frac{ 1 }{1- \frac{ \upsilon }{c} }\geqslant \frac{1}{44}+1\)
\(\frac{ 1 }{1- \frac{ \upsilon }{c} }\geqslant \frac{45}{44}\)
Обе части этого неравенства положительные, поэтому мы можем обе их умножить на 44 и на 1-v/c:
\(44\geqslant 45(1-\frac{\upsilon }{c})\)
\(1-\frac{\upsilon }{c}\leqslant \frac{44}{45}\)
\(\frac{\upsilon }{c}\geqslant\frac{1}{45}\)
с=3/5 м/с
\(\upsilon \geqslant \frac{3/5}{45}\)
\(\upsilon \geqslant 7\) м/с
Наименьшая скорость, с которой должен приближаться к платформе тепловоз, чтоб человек, стоящий на платформе, смог различить сигналы по тону, 7 м/с.
А что же происходит в этой задачи с точки зрения физики? Это интереснейшее физическое явление – эффект Доплера. Оказывается, частота сигнала, или длина волны сигнала, зависит от того, является ли источник этого сигнала неподвижным или движущимся. При чем справедливо это и для звуковых волн, и для световых вол, и для радиоволн. Например, если к нам приближается источник звука, то мы слышим звук, который он издает, более высоким по тону, а если источник звука отдаляется от нас, то мы слышим звук более низким по тону. И можно сказать, что, когда источник звука приближается к нам, частота звука, который мы от него воспринимаем, больше, а длина волны, соответственно, меньше, когда же он удаляется, наоборот, длина волны для нас больше, а частота звука меньше.
Эффект Доплера был открыт в середине XIX века, а вот эксперимент, подтверждающий эффект Доплера, тоже поставленный в середине XIX века, чем-то был похож на нашу задачу про тепловоз. Представьте себе, железнодорожная станция, к паровозу прицеплена большая открытая платформа. На этой платформе располагается оркестр трубачей. Паровоз, который тянет эту платформу с оркестром, приближается к станции, и музыканты должны тянуть одну и ту же ноту. А на станции располагаются их коллеги, тоже музыканты, которые легко могут отличить по тону звуки, которые различаются на несколько герц. А затем паровоз и платформа с музыкантами удаляются от станции, а те музыканты, которые находятся на станции, тоже должны определить, как изменилась высота звука. Таким образом был подтвержден этот эффект, и оказалось, что он необыкновенно важен для развития науки и техники. Например, сейчас эффект Доплера применяется в полицейских радарах, которые определяют скорость автомобиля. Он также применяется в навигации и даже в медицине, в ультразвуковой диагностике. И одно из самых важных теоретических применений эффекта Доплера – это красные смещения. Дело в том, что спектры удаленных от нас звезд смещены в сторону коротких электромагнитных волн. Это подтверждает то, что Вселенная расширяется, а удаленные от нас галактики становятся со временем все дальше и дальше.
Я надеюсь, что теперь вы точно решите эту задачу на экзамене. А если у вас есть другие интересные задачи, пишите в комментариях. Мы разберем их в серии видеороликов «100 задач с Анной Малковой»!
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
