ЕГЭ без ошибок. Считаем быстро и без калькулятора

Вы хотите хорошо сдать ЕГЭ по математике? Тогда вам необходимо уметь считать быстро, правильно и без калькулятора. Ведь главная причина потери баллов на ЕГЭ по математике – вычислительные ошибки.

По правилам проведения ЕГЭ, пользоваться калькулятором на экзамене по математике запрещается. Цена может быть слишком высокой - удаление с экзамена.

На самом деле калькулятор на ЕГЭ по математике не нужен. Все задачи решаются без него. Главное – внимание, аккуратность и некоторые секретные приемы, о которых мы расскажем.

1. Начнем с главного правила. Если какое-то вычисление можно упростить – упростите его.

Вот, например, такое «дьявольское уравнение»:

\(666x^2+999x-666=0.\)

Семьдесят процентов выпускников решают его «в лоб». Считают дискриминант по формуле \(b^2-4ac\), после чего говорят, что корень невозможно извлечь без калькулятора. Но ведь можно разделить левую и правую части уравнения на 333. Получится \(2x^2+3x-2=0.\)

Какой способ проще? :-)

2. Многие школьники не любят умножение в «столбик». Никому не нравилось в четвертом классе решать скучные «примеры». Однако перемножить числа во многих случаях можно и без «столбика», в строчку. Это намного быстрее.

\(385 \cdot 7=300 \cdot 7+80 \cdot 7+5 \cdot 7=2100+560+35=2695;\)

\(18 \cdot 17=18 \cdot 10+18 \cdot 7=18 \cdot 10+10 \cdot 7+8 \cdot 7=180+70+56=306.\)

Обратите внимание, что мы начинаем не с меньших разрядов, а с бoльших. Это удобно.

3. Теперь – деление. Нелегко «в столбик» разделить \(9450\) на \(2100\). Но вспомним, что знак деления : и дробная черта – одно и то же. Запишем \(9450:2100\) в виде дроби и сократим дробь:

\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 9450}{\displaystyle 2100}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 945}{\displaystyle 210}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 315}{\displaystyle 70}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 63}{\displaystyle 14}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 9}{\displaystyle 2}=4,5.\)

Другой пример.

\(364:1040=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 364}{\displaystyle 1040}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 182}{\displaystyle 520}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 91}{\displaystyle 260}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 20}=0,35.\)

4. Как быстро и без всяких столбиков возвести в квадрат двузначное число? Применяем формулы сокращенного умножения:

\(\left( a+b \right)^2=a^2+2ab+c^2;\)

\(23^2=\left( 20+3 \right)^2=20^2+2\cdot20\cdot3+3^2=400+120+9=529;\)

\(39^2=\left( 30+9 \right)^2=30^2+2\cdot30\cdot9+9^2=900+540+81=1521;\)

\(44^2=\left( 40+4 \right)^2=40^2+2\cdot40\cdot4+4^2=1600+320+16=1936.\)

Иногда удобно использовать и другую формулу:

\(\left( a-b \right)^2=a^2-2ab+c^2;\)

\(78^2=\left( 80-2 \right)^2=80^2-2\cdot80\cdot2+2^2=6400-320+4=6084;\)

\(89^2=\left( 90-1 \right)^2=90^2-2\cdot90\cdot1+1^2=8100-180+1=7921.\)

5. Числа, оканчивающиеся на 5, в квадрат возводятся моментально.

Допустим, надо найти квадрат числа A5 (A - не обязательно цифра, любое натуральное число). Умножаем A на A+1 и к результату приписываем 25. Всё!

Например: \(45^2=2025\)   (\(4 \cdot 5=20\) и приписали 25).

\(65^2=4225\)   (\(6 \cdot 7=42\) и приписали 25).

\(125^2= 15625\) (\(12 \cdot 13=156\) и приписали 25).

Этот способ полезен не только для возведения в квадрат, но и для извлечения квадратного корня из чисел, оканчивающихся на 25.

6. А как вообще извлечь квадратный корень без калькулятора? Покажем два способа.

Первый способ – разложение подкоренного выражения на множители.

Например, найдем \( \sqrt{6561}.\)

Число \(6561\) делится на \(3\) (так как сумма его цифр делится на \(3\)). Разложим \(6561\) на множители:
\(6561=3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 81=81 \cdot 81;\)

\( \sqrt{6561}=81.\)

Найдем \( \sqrt{2916}\). Это число делится на \(2\). На \(3\) оно тоже делится. Раскладываем \(2916\) на множители:

\(\sqrt{2916}=\sqrt{2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot27}=2\cdot27=54.\)

Еще пример.

\(\sqrt{4356}=\sqrt{2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot11\cdot11}=66.\)

Есть и второй способ. Он удобен, если число, из которого надо извлечь корень, никак не получается разложить на множители.

Например, надо найти \( \sqrt{5041}\). Число под корнем – нечетное, оно не делится на \(3\), не делится на \(5\), не делится на \(7\)... Можно и дальше искать, на что же оно все-таки делится, а можно поступить проще – найти этот корень подбором.

Очевидно, что в квадрат возводили двузначное число, которое находится между числами \(70\) и \(80\), поскольку \(70^2=4900\), \(80^2=6400\), а число \(5041\) находится между ними. Первую цифру в ответе мы уже знаем, это \(7\).

Последняя цифра в числе \(5041\) равна \(1\). Поскольку \(1^2=1\),   \(9^2=81\), последняя цифра в ответе – либо \(1\), либо \(9\). Проверим:
\(71^2=\left( 70+1 \right)^2=4900+140+1=5041\). Получилось!

Найдем \( \sqrt{2809}\).

\(50^2=2500\),   \(60^2=3600\). Значит, первая цифра в ответе – пятерка.

В числе \(2809\) последняя цифра – девятка. \(3^2=9\),   \(7^2=49\). Значит, последняя цифра в ответе – либо \(3\), либо \(7\).

Проверим:

\(53^2=\left( 50+3 \right)^2=2500+300+9=2809.\)

Если число, из которого надо извлечь квадратный корень, заканчивается на \(2, 3, 7\) или \(8\) – значит, квадратный корень из него будет числом иррациональным. Потому что ни один квадрат целого числа не заканчивается на \(2, 3, 7\) или \(8\). Помните, что в задачах части 1 вариантов ЕГЭ по математике ответ должен быть записан в виде целого числа или конечной десятичной дроби, то есть должен являться рациональным числом.

7. Квадратные уравнения встречаются нам в самых разнообразных задачах ЕГЭ. В них нужно считать дискриминант, а затем извлекать из него корень. И совсем не обязательно искать корни из пятизначных чисел. Во многих случаях дискриминант удается разложить на множители.

Например, в уравнении

\(2x^2+90x-8100=0;\)

\(D=8100+8 \cdot 8100=8100\left( 1+8 \right)=8100 \cdot 9;\)

\(\sqrt{D}=90 \cdot 3=270.\)

8. Иногда дискриминант удается посчитать по известной формуле сокращенного умножения: \(a^2-b^2=\left( a-b \right)\left( a+b \right)\). Вот, например, такое уравнение вполне может получиться при решении текстовой задачи:

\(9x^2-37x+4=0;\)

\(D=b^2 - 4ac= 37^2-4 \cdot 9 \cdot 4=37^2-12^2=\left( 37-12 \right)\left( 37+12 \right)=25 \cdot 49;\)

\(\sqrt{D}=\sqrt{25 \cdot 49}=5 \cdot 7=35.\)

9. Еще одна ситуация, в которой выражение под корнем можно разложить на множители, взята из задачи по планиметрии.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 39, один из катетов равен 36. Найдите второй катет.

По теореме Пифагора, он равен \(39^2-36^2\). Можно долго считать в столбик, но проще применить формулу сокращенного умножения:

\(39^2-36^2=\left( 39-36 \right)\left( 39+36 \right)=3 \cdot 75=3 \cdot 3 \cdot 25;\)

\(\sqrt{3 \cdot 75}=\sqrt{3 \cdot 3 \cdot 25}=3 \cdot 5=15.\)

А теперь расскажем самое интересное - из-за чего все-таки выпускники теряют на ЕГЭ драгоценные баллы. Ведь ошибки в вычислениях возникают не просто так.

.

1. Верный путь к потере баллов - неаккуратные вычисления, в которых что-то исправлено, зачеркнуто, одна цифра написана поверх другой. Посмотрите на свои черновики. Возможно, они выглядят так же? :-)

Пишите разборчиво! Не экономьте бумагу. Если что-то неправильно – не исправляйте одну цифру на другую, лучше напишите заново.

2. Почему-то многие школьники, считая в столбик, стараются сделать это
1) очень-очень быстро;
2) очень мелкими цифрами, в уголке тетради;
3) карандашом.

В результате получается вот что:

Разобрать что-либо невозможно. Что ж тогда удивляться, что балл за ЕГЭ ниже, чем ожидали?

3. Многие школьники привыкли игнорировать скобки в выражениях. Иногда встречается и такое:

Помните, что знак равенства ставится не где попало, а только между равными величинами. Пишите грамотно, даже на черновике.

4. Огромное количество вычислительных ошибок связано с дробями. Если вы делите дробь на дробь – пользуйтесь тем, что \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle b}:\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle c}{\displaystyle d}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle b} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle d}{\displaystyle c}.\)

Здесь нарисован «гамбургер», то есть многоэтажная дробь.

Крайне сложно при таком способе получить правильный ответ.

Подведем итоги.

Проверка заданий первой части профильного ЕГЭ по математике - автоматическая. Здесь не бывает «почти правильного» ответа. Либо он правилен, либо нет. Одна вычислительная ошибка – и привет, задача не засчитывается. Поэтому в ваших интересах научиться считать быстро, правильно и без калькулятора.

Задания второй части профильного ЕГЭ по математике проверяет эксперт. Позаботьтесь о нем! Пусть ему будет понятен и ваш почерк, и логика решения.

Самое главное – ваши вычисления должны быть максимально простыми. Есть известный принцип, применяемый в программировании и дизайне. По-английски он звучит так: «Keep it simple, stupid!» и легко запоминается как KISS :-)