ЕГЭ без ошибок. Считаем быстро и без калькулятора

Вы хотите хорошо сдать ЕГЭ по математике? Тогда вам необходимо уметь считать быстро, правильно и без калькулятора. Ведь главная причина потери баллов на ЕГЭ по математике – вычислительные ошибки.

По правилам проведения ЕГЭ, пользоваться калькулятором на экзамене по математике запрещается. Цена может быть слишком высокой - удаление с экзамена.

На самом деле калькулятор на ЕГЭ по математике не нужен. Все задачи решаются без него. Главное – внимание, аккуратность и некоторые секретные приемы, о которых мы расскажем.

$1$ . Начнем с главного правила. Если какое-то вычисление можно упростить – упростите его.

Вот, например, такое «дьявольское уравнение»:

$666x^2+999x-666=0$

Семьдесят процентов выпускников решают его «в лоб». Считают дискриминант по формуле $b^2-4ac$ , после чего говорят, что корень невозможно извлечь без калькулятора. Но ведь можно разделить левую и правую части уравнения на $333$ . Получится
$2x^2+3x-2=0$

Какой способ проще? :-)

$2$ . Многие школьники не любят умножение в «столбик». Никому не нравилось в четвертом классе решать скучные «примеры». Однако перемножить числа во многих случаях можно и без «столбика», в строчку. Это намного быстрее.

$385 \cdot 7=300 \cdot 7+80 \cdot 7+5 \cdot 7=2100+560+35=2695$
$18 \cdot 17=18 \cdot 10+18 \cdot 7=18 \cdot 10+10 \cdot 7+8 \cdot 7=180+70+56=306$

Обратите внимание, что мы начинаем не с меньших разрядов, а с бoльших. Это удобно.

$3$ . Теперь – деление. Нелегко «в столбик» разделить $9450$ на $2100$ . Но вспомним, что знак деления : и дробная черта – одно и то же. Запишем $9450:2100$ в виде дроби и сократим дробь:

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 9450}{\displaystyle 2100}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 945}{\displaystyle 210}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 315}{\displaystyle 70}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 63}{\displaystyle 14}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 9}{\displaystyle 2}=4,5$

Другой пример.

$364:1040=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 364}{\displaystyle 1040}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 182}{\displaystyle 520}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 91}{\displaystyle 260}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 20}=0,35$

$4$ . Как быстро и без всяких столбиков возвести в квадрат двузначное число? Применяем формулы сокращенного умножения:

$\left( a+b \right)^2=a^2+2ab+c^2$

$23^2=\left( 20+3 \right)^2=20^2+2\cdot20\cdot3+3^2=400+120+9=529$

$39^2=\left( 30+9 \right)^2=30^2+2\cdot30\cdot9+9^2=900+540+81=1521$

$44^2=\left( 40+4 \right)^2=40^2+2\cdot40\cdot4+4^2=1600+320+16=1936$

Иногда удобно использовать и другую формулу:

$\left( a-b \right)^2=a^2-2ab+c^2$

$78^2=\left( 80-2 \right)^2=80^2-2\cdot80\cdot2+2^2=6400-320+4=6084$

$89^2=\left( 90-1 \right)^2=90^2-2\cdot90\cdot1+1^2=8100-180+1=7921$

$5$ . Числа, оканчивающиеся на $5$ , в квадрат возводятся моментально.

Допустим, надо найти квадрат числа $A5$ ( $A$ - не обязательно цифра, любое натуральное число). Умножаем $A$ на $A+1$ и к результату приписываем $25$ . Всё!

Например: $45^2=2025$ ( $4 \cdot 5=20$ и приписали $25$ ).

$65^2=4225$ ( $6 \cdot 7=42$ и приписали $25$ ).

$125^2= 15625$ ( $12 \cdot 13=156$ и приписали $15625$ ).

Этот способ полезен не только для возведения в квадрат, но для извлечения квадратного корня из чисел, оканчивающихся на $25$ .

$6$ . А как вообще извлечь квадратный корень без калькулятора? Покажем два способа.

Первый способ – разложение подкоренного выражения на множители.

Например, найдем $\sqrt{6561}$
Число $6561$ делится на $3$ (так как сумма его цифр делится на $3$ ). Разложим $6561$ на множители:

$6561=3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 81=81 \cdot 81$
$\sqrt{6561}=81$

Найдем $\sqrt{2916}$ . Это число делится на $2$ . На $3$ оно тоже делится. Раскладываем $2916$ на множители.
$\sqrt{2916}=\sqrt{2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot27}=2\cdot27=54$

Еще пример.

$\sqrt{4356}=\sqrt{2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot11\cdot11}=66$

Есть и второй способ. Он удобен, если число, из которого надо извлечь корень, никак не получается разложить на множители.

Например, надо найти $\sqrt{5041}$ . Число под корнем – нечетное, оно не делится на $3$ , не делится на $5$ , не делится на $7$ ... Можно и дальше искать, на что же оно все-таки делится, а можно поступить проще – найти этот корень подбором.

Очевидно, что в квадрат возводили двузначное число, которое находится между числами $70$ и $80$ , поскольку $70^2=4900$ , $80^2=6400$ , а число $5041$ находится между ними. Первую цифру в ответе мы уже знаем, это $7$ .

Последняя цифра в числе $5041$ равна $1$ . Поскольку $1^2=1$ , $9^2=81$ , последняя цифра в ответе – либо $1$ , либо $9$ . Проверим:
$71^2=\left( 70+1 \right)^2=4900+140+1=5041$ . Получилось!

Найдем $\sqrt{2809}$ .

$50^2=2500$ , $60^2=3600$ . Значит, первая цифра в ответе – пятерка.

В числе $2809$ последняя цифра – девятка. $3^2=9$ , $7^2=49$ . Значит, последняя цифра в ответе – либо $3$ , либо $9$ .

Проверим:
$53^2=\left( 50+3 \right)^2=2500+300+9=2809$

Если число, из которого надо извлечь квадратный корень, заканчивается на $2, 3, 7$ или $8$ – значит, квадратный корень из него будет числом иррациональным. Потому что ни один квадрат целого числа не заканчивается на $2, 3, 7$ или $8$ . Помните, что в задачах части 1 вариантов ЕГЭ по математике ответ должен быть записан в виде целого числа или конечной десятичной дроби, то есть должен являться рациональным числом.

$7$ . Квадратные уравнения встречаются нам в самых разнообразных задачах ЕГЭ. В них нужно считать дискриминант, а затем извлекать из него корень. И совсем не обязательно искать корни из пятизначных чисел. Во многих случаях дискриминант удается разложить на множители.

Например, в уравнении
$2x^2+90x-8100=0$

$D=8100+8 \cdot 8100=8100\left( 1+8 \right)=8100 \cdot 9$

$\sqrt{D}=90 \cdot 3=270$

$8$ . Иногда дискриминант удается посчитать по известной формуле сокращенного умножения: $a^2-b^2=\left( a-b \right)\left( a+b \right)$ . Вот, например, такое уравнение вполне может получиться при решении текстовой задачи:

$9x^2-37x+4=0$

$D=b^2 - 4ac= 37^2-4 \cdot 9 \cdot 4=37^2-12^2=\left( 37-12 \right)\left( 37+12 \right)=25 \cdot 49$

$\sqrt{D}=\sqrt{25 \cdot 49}=5 \cdot 7=35$

$9$ . Еще одна ситуация, в которой выражение под корнем можно разложить на множители, взята из задачи по планиметрии.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $39$ , один из катетов равен $36$ , найти второй катет.

По теореме Пифагора, он равен $39^2-36^2$ . Можно долго считать в столбик, но проще применить формулу сокращенного умножения.

$39^2-36^2=\left( 39-36 \right)\left( 39+36 \right)=3 \cdot 75=3 \cdot 3 \cdot 25$

$\sqrt{3 \cdot 75=3 \cdot 3 \cdot 25}=3 \cdot 5=15$

А теперь расскажем самое интересное - из-за чего все-таки выпускники теряют на ЕГЭ драгоценные баллы. Ведь ошибки в вычислениях возникают не просто так.

1. Верный путь к потере баллов - неаккуратные вычисления, в которых что-то исправлено, зачеркнуто, одна цифра написана поверх другой. Посмотрите на свои черновики. Возможно, они выглядят так же? :-)

Пишите разборчиво! Не экономьте бумагу. Если что-то неправильно – не исправляйте одну цифру на другую, лучше напишите заново.

2. Почему-то многие школьники, считая в столбик, стараются сделать это 1) очень-очень быстро, 2) очень мелкими цифрами, в уголке тетради и 3) карандашом. В результате получается вот что:

Разобрать что-либо невозможно. Что ж тогда удивляться, что оценка за ЕГЭ ниже, чем ожидали?

3. Многие школьники привыкли игнорировать скобки в выражениях. Иногда встречается и такое:

Помните, что знак равенства ставится не где попало, а только между равными величинами. Пишите грамотно, даже на черновике.

4. Огромное количество вычислительных ошибок связано с дробями. Если вы делите дробь на дробь – пользуйтесь тем, что $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle b}:\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle c}{\displaystyle d}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle b} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle d}{\displaystyle c}$
Здесь нарисован «гамбургер», то есть многоэтажная дробь. Крайне сложно при таком способе получить правильный ответ.

Подведем итоги.

Проверка заданий первой части профильного ЕГЭ по математике - автоматическая. Здесь не бывает «почти правильного» ответа. Либо он правилен, либо нет. Одна вычислительная ошибка – и привет, задача не засчитывается. Поэтому в ваших интересах научиться считать быстро, правильно и без калькулятора.

Задания второй части профильного ЕГЭ по математике проверяет эксперт. Позаботьтесь о нем! Пусть ему будет понятен и ваш почерк, и логика решения.

Самое главное – ваши вычисления должны быть максимально простыми. Есть известный принцип, применяемый в программировании и дизайне. По-английски он звучит так: «Keep it simple, stupid!» и легко запоминается как KISS :-)

ЕГЭ без ошибок. Считаем быстро и без калькулятора

Это полезно