Окружность. Центральный и вписанный угол

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хорда.

Самая большая хорда проходит через центр окружности и называется диаметр.

 

 

 

На рисунках — центральные и вписанные углы, а также их важнейшие свойства.

 

Угол, вершина которого лежит в центре окружности, называется центральным. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается. Угол \(\beta\) тоже можно назвать центральным. Только он опирается на дугу, которая больше 180\(^\circ .\)

 

 

 

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. Величина вписанного угла равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

 

 

 

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

 

 

 

 

 

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, - прямой.

 

 

 

 

Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается. Значит, центральный угол величиной в \(90\) градусов будет опираться на дугу, равную \(90^\circ\), то есть \(\displaystyle \frac{1}{4}\) круга. Центральный угол, равный \(60^\circ\), опирается на дугу в 60 градусов, то есть на шестую часть круга.

Докажем, что величина вписанного угла в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.

Пусть угол AOC — центральный и опирается на дугу АС, тогда ОА и ОС — радиусы окружности.

Пусть \(\angle\)ABC — вписанный угол, опирающийся на дугу АС,

АВ и ВС — хорды окружности.

Первый случай: Точка O лежит на BC, то есть ВС — диаметр окружности.

Треугольник AOB — равнобедренный, АО = ОВ как радиусы. Значит, \(\angle A=\angle B.\)

\(\angle AOC\) — внешний угол \(\triangle AOB,\) а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Получили, что \(\angle AOC=\angle A+\angle B=2\cdot \angle B=2\angle ABC.\)

Второй случай: Центр окружности точка О не лежит на ВС. Построим диаметр BК:

Если точка О лежит внутри вписанного угла АВС, как на рисунке слева, то

\(\angle AOC=\angle AOK+\angle KOC=2\angle ABK+2\angle KBC=2\angle ABC.\)

Если О лежит вне вписанного угла АВС, как на рисунке справа, то

\(\angle AOC=\angle AOK-\angle COK=2\angle ABK-2\angle CBK=2\angle ABC.\)

Мы получили, что в каждом из этих случаев величина центрального угла в два раза больше, чем величина вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

Теорема доказана.

При решении задач по геометрии также применяются следующие теоремы:

1. Равные центральные углы опираются на равные хорды.

2. Равные вписанные углы опираются на равные хорды.

3. Равные хорды стягивают равные дуги.

Докажем теорему 3.

Пусть хорды AB и CD равны. Докажем, что AMB дуги CND имеют одинаковую градусную меру, то есть равны.

Доказательство:

По условию, AB = CD. Соединим концы хорд с центром окружности. Получим: AO = BO = CO = DO = r.

\(\triangle AOB=\triangle CPD\) по трем сторонам, отсюда следует, что центральные углы равны, т.е. \(\angle AOB=\angle COD.\) Значит, и дуги, на которые они опираются, также равны, т.е. дуги AMB и CND имеют одинаковую градусную меру.

Теорема доказана.

Верна и обратная теорема:

Если две дуги окружности равны, то равны и хорды, их стягивающие.

Пусть дуги AMB и CND равны. Тогда \(\angle AOB=\angle COD\) как центральные углы, опирающиеся на эти дуги. Значит, треугольники \(\triangle AOB\) и \(\triangle CPD\) равны по двум сторонам и углу между ними, и тогда \(AB=CD,\) что и требовалось доказать.

Эти две теоремы можно объединить в одну, которая формулируется так:

Хорды окружности равны тогда и только тогда, когда равны дуги, которые они стягивают.

Разберем задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Окружность, центральный угол, вписанный угол.

Задача 1, ЕГЭ. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

Ответ: 90.

Задача 2, ЕГЭ. Центральный угол на \(36 ^\circ\) больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть центральный угол равен \(x\), а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен \(y\).

Мы знаем, что \(x=2y.\)

Отсюда \(2y=36+y,\)

\(y=36.\)

Ответ: 36.

Задача 3, ЕГЭ. Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную \(\sqrt{2}.\) Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть хорда AB равна \(\sqrt{2}.\) Тупой вписанный угол, опирающийся на эту хорду, обозначим \(\alpha.\) В треугольнике AOB стороны AO и OB равны 1, сторона AB равна \(\sqrt{2}.\) Нам уже встречались такие треугольники. Очевидно, что треугольник AOB — прямоугольный и равнобедренный, то есть угол AOB равен 90\({}^\circ .\) Тогда дуга ACB равна 90\({}^\circ ,\) а дуга AKB равна \(360{}^\circ - 90{}^\circ = 270 {}^\circ .\) Вписанный угол \(\alpha\) опирается на дугу AKB и равен половине угловой величины этой дуги, то есть 135.

Ответ: 135.

Задача 4, ЕГЭ. Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5 : 7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Решение:

Главное в этой задаче — правильный чертеж и понимание условия. Как вы понимаете вопрос: «Под каким углом хорда видна из точки С?»

Представьте, что вы сидите в точке С и вам необходимо видеть всё, что происходит на хорде AB. Так, как будто хорда AB — это экран в кинотеатре :-)
Очевидно, что найти нужно угол ACB.
Сумма двух дуг, на которые хорда AB делит окружность, равна \(360^\circ ,\) то есть \(5x+7x=360^ \circ\)

Отсюда \(x=30^ \circ ,\) и тогда вписанный угол ACB опирается на дугу, равную \(210^ \circ .\) Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, значит, угол ACB равен \(105^ \circ .\)

Ответ: 105.

Задача 5, ЕГЭ.

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Найдите угол BOC, если угол BAC равен 32\({}^\circ .\)

Решение:

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

\(\angle BAC=\displaystyle \frac{1}{2}\angle BOC.\)

Значит, \(\angle BOC=2\cdot \angle BAC=2\cdot 32{}^\circ =64{}^\circ. \)

Ответ: 64.

Задача 6, ЕГЭ. Найдите центральный угол AOB, если он на \(15{}^\circ \) больше вписанного угла ACB, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть величина угла АОВ равна \(x\) градусов. Величина вписанного угла АСВ равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то есть \(\displaystyle \frac{x}{2}\) градусов.

Получим уравнение: \(\displaystyle x-\frac{1}{2} x = 15{}^\circ,\) откуда \(x ={30}^\circ.\)

Ответ: 30.

Задача 7, ЕГЭ. Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

Решение.

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, так как AO = OB = AB = R.

Поэтому угол AOB = 60. Вписанный угол ACB равен половине дуги, на которую он опирается, то есть 30\({}^\circ.\)

Ответ: 30.

Задача 8, ЕГЭ.

Дуга окружности AC, не содержащая точки B, составляет 200\({}^\circ.\) А дуга окружности BC, не содержащая точки A, составляет 80\({}^\circ.\) Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Дуга АВ равна \(360{}^\circ -200{}^\circ -80{}^\circ -80{}^\circ .\) Тогда \(\angle ACB=40{}^\circ. \)

Ответ: 40.

Задачи ОГЭ по теме: Центральный и вписанный угол, градусная мера дуги.

Задача 9, ОГЭ. Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен \({60}^\circ.\) Найдите радиус окружности.

Решение.

Рассмотрим треугольник AOB: он равнобедренный, его боковые стороны равны радиусу окружности.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Пусть AOB равен \(x\), тогда \(x + 60{}^\circ + 60{}^\circ = 180{}^\circ,\) где \(x = 60{}^\circ.\) Треугольник, у которого все углы равны, — равносторонний треугольник; значит, радиус равен 6.

Ответ: 6.

Задача 10, ОГЭ. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен \({30}^\circ.\) Найдите величину угла OAB.

Решение.

Вписанные углы ВСD и ВАD опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны, угол \(OAB ={30}^\circ.\)

Ответ: 30.

Задача 11, ОГЭ. Найдите градусную меру центрального \(\angle \)MON, если известно, что NP — диаметр, а градусная мера \(\angle \)MNP равна 18\({}^\circ.\)

Решение:

Треугольник MON — равнобедренный. Тогда \(\angle MON = 180{}^\circ\) − \(2\cdot 18{}^\circ = 144{}^\circ.\)

Ответ: 144.

Задача 12, ОГЭ.

Найдите \(\angle \)DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны \({150}^\circ\) и \({68}^\circ\) соответственно.

Решение.

Дуга FD, не содержащая точку Е, равна \({360}^\circ - {150}^\circ - 68{}^\circ = 142{}^\circ.\) Вписанный угол DEF, опирающийся на эту дугу, равен половине ее угловой величины, \(\angle DEF = 71{}^\circ.\)

Ответ: 71.

Задача 13, ОГЭ. В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Угол ACB равен \({26}^\circ.\) Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол ACB — вписанный, он равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то есть AОВ = 52\({}^\circ.\) Угол ВОD — развернутый, поэтому угол AOD равен \({180}^\circ - 52{}^\circ = 128{}^\circ.\)

Ответ: 128.