Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Окружность. Центральный и вписанный угол

Окружность. Центральный и вписанный угол

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хорда.

Самая большая хорда проходит через центр окружности и называется диаметр.

На рисунках — центральные и вписанные углы, а также их важнейшие свойства.

Угол, вершина которого лежит в центре окружности, называется центральным. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается. Угол $\beta$ тоже можно назвать центральным. Только он опирается на дугу, которая больше 180 $^\circ .$

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. Величина вписанного угла равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, - прямой.

Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается. Значит, центральный угол величиной в $90$ градусов будет опираться на дугу, равную $90^\circ$ , то есть $\displaystyle \frac{1}{4}$ круга. Центральный угол, равный $60^\circ$ , опирается на дугу в 60 градусов, то есть на шестую часть круга.

Докажем, что величина вписанного угла в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.

Пусть угол AOC — центральный и опирается на дугу АС, тогда ОА и ОС — радиусы окружности.

Пусть $\angle$ ABC — вписанный угол, опирающийся на дугу АС,

АВ и ВС — хорды окружности.

Первый случай: Точка O лежит на BC, то есть ВС — диаметр окружности.

Треугольник AOB — равнобедренный, АО = ОВ как радиусы. Значит, $\angle A=\angle B.$

$\angle AOC$ — внешний угол $\triangle AOB,$ а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Получили, что $\angle AOC=\angle A+\angle B=2\cdot \angle B=2\angle ABC.$

Второй случай: Центр окружности точка О не лежит на ВС. Построим диаметр BК:

Если точка О лежит внутри вписанного угла АВС, как на рисунке слева, то

$\angle AOC=\angle AOK+\angle KOC=2\angle ABK+2\angle KBC=2\angle ABC.$

Если О лежит вне вписанного угла АВС, как на рисунке справа, то

$\angle AOC=\angle AOK-\angle COK=2\angle ABK-2\angle CBK=2\angle ABC.$

Мы получили, что в каждом из этих случаев величина центрального угла в два раза больше, чем величина вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

Теорема доказана.

При решении задач по геометрии также применяются следующие теоремы:

1. Равные центральные углы опираются на равные хорды.

2. Равные вписанные углы опираются на равные хорды.

3. Равные хорды стягивают равные дуги.

Докажем теорему 3.

Пусть хорды AB и CD равны. Докажем, что AMB дуги CND имеют одинаковую градусную меру, то есть равны.

Доказательство:

По условию, AB = CD. Соединим концы хорд с центром окружности. Получим: AO = BO = CO = DO = r.

$\triangle AOB=\triangle CPD$ по трем сторонам, отсюда следует, что центральные углы равны, т.е. $\angle AOB=\angle COD.$ Значит, и дуги, на которые они опираются, также равны, т.е. дуги AMB и CND имеют одинаковую градусную меру.

Теорема доказана.

Верна и обратная теорема:

Если две дуги окружности равны, то равны и хорды, их стягивающие.

Пусть дуги AMB и CND равны. Тогда $\angle AOB=\angle COD$ как центральные углы, опирающиеся на эти дуги. Значит, треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle CPD$ равны по двум сторонам и углу между ними, и тогда $AB=CD,$ что и требовалось доказать.

Эти две теоремы можно объединить в одну, которая формулируется так:

Хорды окружности равны тогда и только тогда, когда равны дуги, которые они стягивают.

Разберем задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Окружность, центральный угол, вписанный угол.

Задача 1, ЕГЭ. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

Ответ: 90.

Задача 2, ЕГЭ. Центральный угол на $36 ^\circ$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть центральный угол равен $x$ , а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен $y$ .

Мы знаем, что $x=2y.$

Отсюда $2y=36+y,$

$y=36.$

Ответ: 36.

Задача 3, ЕГЭ. Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную $\sqrt{2}.$ Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть хорда AB равна $\sqrt{2}.$ Тупой вписанный угол, опирающийся на эту хорду, обозначим $\alpha.$ В треугольнике AOB стороны AO и OB равны 1, сторона AB равна $\sqrt{2}.$ Нам уже встречались такие треугольники. Очевидно, что треугольник AOB — прямоугольный и равнобедренный, то есть угол AOB равен 90 ${}^\circ .$ Тогда дуга ACB равна 90 ${}^\circ ,$ а дуга AKB равна $360{}^\circ - 90{}^\circ = 270 {}^\circ .$ Вписанный угол $\alpha$ опирается на дугу AKB и равен половине угловой величины этой дуги, то есть 135.

Ответ: 135.

Задача 4, ЕГЭ. Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5 : 7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Решение:

Главное в этой задаче — правильный чертеж и понимание условия. Как вы понимаете вопрос: «Под каким углом хорда видна из точки С?»

Представьте, что вы сидите в точке С и вам необходимо видеть всё, что происходит на хорде AB. Так, как будто хорда AB — это экран в кинотеатре :-)
Очевидно, что найти нужно угол ACB.
Сумма двух дуг, на которые хорда AB делит окружность, равна $360^\circ ,$ то есть $5x+7x=360^ \circ$

Отсюда $x=30^ \circ ,$ и тогда вписанный угол ACB опирается на дугу, равную $210^ \circ .$ Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, значит, угол ACB равен $105^ \circ .$

Ответ: 105.

Задача 5, ЕГЭ.

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Найдите угол BOC, если угол BAC равен 32 ${}^\circ .$

Решение:

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

$\angle BAC=\displaystyle \frac{1}{2}\angle BOC.$

Значит, $\angle BOC=2\cdot \angle BAC=2\cdot 32{}^\circ =64{}^\circ.$

Ответ: 64.

Задача 6, ЕГЭ. Найдите центральный угол AOB, если он на $15{}^\circ$ больше вписанного угла ACB, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть величина угла АОВ равна $x$ градусов. Величина вписанного угла АСВ равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то есть $\displaystyle \frac{x}{2}$ градусов.

Получим уравнение: $\displaystyle x-\frac{1}{2} x = 15{}^\circ,$ откуда $x ={30}^\circ.$

Ответ: 30.

Задача 7, ЕГЭ. Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

Решение.

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, так как AO = OB = AB = R.

Поэтому угол AOB = 60. Вписанный угол ACB равен половине дуги, на которую он опирается, то есть 30 ${}^\circ.$

Ответ: 30.

Задача 8, ЕГЭ.

Дуга окружности AC, не содержащая точки B, составляет 200 ${}^\circ.$ А дуга окружности BC, не содержащая точки A, составляет 80 ${}^\circ.$ Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Дуга АВ равна $360{}^\circ -200{}^\circ -80{}^\circ -80{}^\circ .$ Тогда $\angle ACB=40{}^\circ.$

Ответ: 40.

Задачи ОГЭ по теме: Центральный и вписанный угол, градусная мера дуги.

Задача 9, ОГЭ. Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен ${60}^\circ.$ Найдите радиус окружности.

Решение.

Рассмотрим треугольник AOB: он равнобедренный, его боковые стороны равны радиусу окружности.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Пусть AOB равен $x$ , тогда $x + 60{}^\circ + 60{}^\circ = 180{}^\circ,$ где $x = 60{}^\circ.$ Треугольник, у которого все углы равны, — равносторонний треугольник; значит, радиус равен 6.

Ответ: 6.

Задача 10, ОГЭ. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен ${30}^\circ.$ Найдите величину угла OAB.

Решение.

Вписанные углы ВСD и ВАD опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны, угол $OAB ={30}^\circ.$

Ответ: 30.

Задача 11, ОГЭ. Найдите градусную меру центрального $\angle$ MON, если известно, что NP — диаметр, а градусная мера $\angle$ MNP равна 18 ${}^\circ.$

Решение:

Треугольник MON — равнобедренный. Тогда $\angle MON = 180{}^\circ$ − $2\cdot 18{}^\circ = 144{}^\circ.$

Ответ: 144.

Задача 12, ОГЭ.

Найдите $\angle$ DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны ${150}^\circ$ и ${68}^\circ$ соответственно.

Решение.

Дуга FD, не содержащая точку Е, равна ${360}^\circ - {150}^\circ - 68{}^\circ = 142{}^\circ.$ Вписанный угол DEF, опирающийся на эту дугу, равен половине ее угловой величины, $\angle DEF = 71{}^\circ.$

Ответ: 71.

Задача 13, ОГЭ. В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Угол ACB равен ${26}^\circ.$ Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол ACB — вписанный, он равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то есть AОВ = 52 ${}^\circ.$ Угол ВОD — развернутый, поэтому угол AOD равен ${180}^\circ - 52{}^\circ = 128{}^\circ.$

Ответ: 128.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Окружность. Центральный и вписанный угол» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 05.09.2023

Окружность. Центральный и вписанный угол

Это полезно