Сдай ЕГЭ! Бесплатные материалы для подготовки каждую неделю!
null
Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных согласно 152-ФЗ. Подробнее
banner
Slider
previous arrow
next arrow
Slider

Окружность. Центральный и вписанный угол

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хорда.

Самая большая хорда проходит через центр окружности и называется диаметр.

 

 

 

На рисунках — центральные и вписанные углы, а также их важнейшие свойства.

 

Угол, вершина которого лежит в центре окружности, называется центральным. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается. Угол \beta тоже можно назвать центральным. Только он опирается на дугу, которая больше 180^\circ .

 

 

 

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. Величина вписанного угла равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

 

 

 

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

 

 

 

 

 

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, - прямой.

 

 

 

 

Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается. Значит, центральный угол величиной в 90 градусов будет опираться на дугу, равную 90^\circ, то есть \displaystyle \frac{1}{4} круга. Центральный угол, равный 60^\circ, опирается на дугу в 60 градусов, то есть на шестую часть круга.

Докажем, что величина вписанного угла в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.

Пусть угол AOC — центральный и опирается на дугу АС, тогда ОА и ОС — радиусы окружности.

Пусть \angleABC — вписанный угол, опирающийся на дугу АС,

АВ и ВС — хорды окружности.

Первый случай: Точка O лежит на BC, то есть ВС — диаметр окружности.

Треугольник AOB — равнобедренный, АО = ОВ как радиусы. Значит, \angle A=\angle B.

\angle AOC — внешний угол \triangle AOB, а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Получили, что \angle AOC=\angle A+\angle B=2\cdot \angle B=2\angle ABC.

Второй случай: Центр окружности точка О не лежит на ВС. Построим диаметр BК:

Если точка О лежит внутри вписанного угла АВС, как на рисунке слева, то

\angle AOC=\angle AOK+\angle KOC=2\angle ABK+2\angle KBC=2\angle ABC.

Если О лежит вне вписанного угла АВС, как на рисунке справа, то

\angle AOC=\angle AOK-\angle COK=2\angle ABK-2\angle CBK=2\angle ABC.

Мы получили, что в каждом из этих случаев величина центрального угла в два раза больше, чем величина вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

Теорема доказана.

При решении задач по геометрии также применяются следующие теоремы:

1. Равные центральные углы опираются на равные хорды.

2. Равные вписанные углы опираются на равные хорды.

3. Равные хорды стягивают равные дуги.

Докажем теорему 3.

Пусть хорды AB и CD равны. Докажем, что AMB дуги CND имеют одинаковую градусную меру, то есть равны.

Доказательство:

По условию, AB = CD. Соединим концы хорд с центром окружности. Получим: AO = BO = CO = DO = r.

\triangle AOB=\triangle CPD по трем сторонам, отсюда следует, что центральные углы равны, т.е. \angle AOB=\angle COD. Значит, и дуги, на которые они опираются, также равны, т.е. дуги AMB и CND имеют одинаковую градусную меру.

Теорема доказана.

Верна и обратная теорема:

Если две дуги окружности равны, то равны и хорды, их стягивающие.

Пусть дуги AMB и CND равны. Тогда \angle AOB=\angle COD как центральные углы, опирающиеся на эти дуги. Значит, треугольники \triangle AOB и \triangle CPD равны по двум сторонам и углу между ними, и тогда AB=CD, что и требовалось доказать.

Эти две теоремы можно объединить в одну, которая формулируется так:

Хорды окружности равны тогда и только тогда, когда равны дуги, которые они стягивают.

Разберем задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Окружность, центральный угол, вписанный угол.

Задача 1, ЕГЭ. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

Ответ: 90.

Задача 2, ЕГЭ. Центральный угол на 36 ^\circ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 1

Решение:

Пусть центральный угол равен x, а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен y.

Мы знаем, что x=2y.

Отсюда 2y=36+y,

y=36.

Ответ: 36.

Задача 3, ЕГЭ. Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную \sqrt{2}. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть хорда AB равна \sqrt{2}. Тупой вписанный угол, опирающийся на эту хорду, обозначим \alpha. В треугольнике AOB стороны AO и OB равны 1, сторона AB равна \sqrt{2}. Нам уже встречались такие треугольники. Очевидно, что треугольник AOB — прямоугольный и равнобедренный, то есть угол AOB равен 90{}^\circ . Тогда дуга ACB равна 90{}^\circ , а дуга AKB равна 360{}^\circ - 90{}^\circ = 270 {}^\circ . Вписанный угол \alpha опирается на дугу AKB и равен половине угловой величины этой дуги, то есть 135.

Ответ: 135.

Задача 4, ЕГЭ. Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5 : 7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 3

Решение:

Главное в этой задаче — правильный чертеж и понимание условия. Как вы понимаете вопрос: «Под каким углом хорда видна из точки С?»

Представьте, что вы сидите в точке С и вам необходимо видеть всё, что происходит на хорде AB. Так, как будто хорда AB — это экран в кинотеатре :-)
Очевидно, что найти нужно угол ACB.
Сумма двух дуг, на которые хорда AB делит окружность, равна 360^\circ , то есть 5x+7x=360^ \circ

Отсюда x=30^ \circ , и тогда вписанный угол ACB опирается на дугу, равную 210^ \circ . Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, значит, угол ACB равен 105^ \circ .

Ответ: 105.

Задача 5, ЕГЭ.

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Найдите угол BOC, если угол BAC равен 32{}^\circ .

Решение:

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

\angle BAC=\displaystyle \frac{1}{2}\angle BOC.

Значит, \angle BOC=2\cdot \angle BAC=2\cdot 32{}^\circ =64{}^\circ.

Ответ: 64.

Задача 6, ЕГЭ. Найдите центральный угол AOB, если он на 15{}^\circ больше вписанного угла ACB, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть величина угла АОВ равна x градусов. Величина вписанного угла АСВ равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то есть \displaystyle \frac{x}{2} градусов.

Получим уравнение: \displaystyle x-\frac{1}{2} x = 15{}^\circ, откуда x ={30}^\circ.

Ответ: 30.

Задача 7, ЕГЭ. Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

Решение.

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, так как AO = OB = AB = R.

Поэтому угол AOB = 60. Вписанный угол ACB равен половине дуги, на которую он опирается, то есть 30{}^\circ.

Ответ: 30.

Задача 8, ЕГЭ.

Дуга окружности AC, не содержащая точки B, составляет 200{}^\circ. А дуга окружности BC, не содержащая точки A, составляет 80{}^\circ. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Дуга АВ равна 360{}^\circ -200{}^\circ -80{}^\circ -80{}^\circ . Тогда \angle ACB=40{}^\circ.

Ответ: 40.

Задачи ОГЭ по теме: Центральный и вписанный угол, градусная мера дуги.

Задача 9, ОГЭ. Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен {60}^\circ. Найдите радиус окружности.

Решение.

Рассмотрим треугольник AOB: он равнобедренный, его боковые стороны равны радиусу окружности.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Пусть AOB равен x, тогда x + 60{}^\circ + 60{}^\circ = 180{}^\circ, где x = 60{}^\circ. Треугольник, у которого все углы равны, — равносторонний треугольник; значит, радиус равен 6.

Ответ: 6.

Задача 10, ОГЭ. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен {30}^\circ. Найдите величину угла OAB.

Решение.

Вписанные углы ВСD и ВАD опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны, угол OAB ={30}^\circ.

Ответ: 30.

Задача 11, ОГЭ. Найдите градусную меру центрального \angle MON, если известно, что NP — диаметр, а градусная мера \angle MNP равна 18{}^\circ.

Решение:

Треугольник MON — равнобедренный. Тогда \angle MON = 180{}^\circ2\cdot 18{}^\circ = 144{}^\circ.

Ответ: 144.

Задача 12, ОГЭ.

Найдите \angle DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны {150}^\circ и {68}^\circ соответственно.

Решение.

Дуга FD, не содержащая точку Е, равна {360}^\circ - {150}^\circ - 68{}^\circ = 142{}^\circ. Вписанный угол DEF, опирающийся на эту дугу, равен половине ее угловой величины, \angle DEF = 71{}^\circ.

Ответ: 71.

Задача 13, ОГЭ. В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Угол ACB равен {26}^\circ. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол ACB — вписанный, он равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то есть AОВ = 52{}^\circ. Угол ВОD — развернутый, поэтому угол AOD равен {180}^\circ - 52{}^\circ = 128{}^\circ.

Ответ: 128.

Поделиться страницей

Это полезно

Задача 18 на числа и их свойства
В этой статье мы расскажем, какие непростые и нестандартные задачи встречались на ЕГЭ-2022 по математике.
Математика «100 баллов»
Задачи на числа и их свойства.
Олимпиадные методы решения!