icon icon icon icon icon
Бесплатно по РФ
Slider
banner
previous arrow
next arrow
Slider
previous arrow
next arrow
Slider

Окружность. Центральный и вписанный угол

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

На рисунке — центральные и вписанные углы, а также их важнейшие свойства.

Центральный и вписанный угол
Итак, величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается.
Значит, центральный угол величиной в 90^{\circ} градусов будет опираться на дугу, равную 90^{\circ}, то есть \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} круга. Центральный угол, равный 60^{\circ}, опирается на дугу в 60 градусов, то есть на шестую часть круга.

Величина вписанного угла в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.

Также для решения задач нам понадобится понятие «хорда».

Хорда и диаметр
Равные центральные углы опираются на равные хорды.

1. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

Ответ: 90.

2. Центральный угол на 36^{\circ} больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Пусть центральный угол равен x, а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен y.

Рисунок к задаче 1

Мы знаем, что x=2y.
Отсюда 2y = 36 + y,
y=36.

Ответ: 36.

3. Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную \sqrt{2}. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 2

Пусть хорда AB равна \sqrt{2}. Тупой вписанный угол, опирающийся на эту хорду, обозначим \alpha.
В треугольнике AO \mkern -3mu B стороны AO и O \mkern -3mu B равны 1, сторона AB равна \sqrt{2}. Нам уже встречались такие треугольники. Очевидно, что треугольник AO \mkern -3mu B — прямоугольный и равнобедренный, то есть угол AO \mkern -3mu B равен 90^{\circ}.
Тогда дуга AC \mkern -3mu B равна 90^{\circ}, а дуга AK \mkern -3mu B равна 360^{\circ} -90^{\circ}=270^{\circ}.
Вписанный угол \alpha опирается на дугу A и равен половине угловой величины этой дуги, то есть 135.

Ответ: 135.

4. Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 3

Главное в этой задаче — правильный чертеж и понимание условия. Как вы понимаете вопрос: «Под каким углом хорда видна из точки C
Представьте, что вы сидите в точке C и вам необходимо видеть всё, что происходит на хорде AB. Так, как будто хорда AB — это экран в кинотеатре :-)
Очевидно, что найти нужно угол AC \mkern -3mu B.
Сумма двух дуг, на которые хорда AB делит окружность, равна 360^{\circ}, то есть
5x+7x=360^{\circ}
Отсюда x=30^{\circ}, и тогда вписанный угол AC \mkern -3mu B опирается на дугу, равную 210^{\circ}.
Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, значит, угол ACB равен 105^{\circ}.

Ответ: 105^{\circ}.


Поделиться страницей

Это полезно

Сдай ЕГЭ по географии на 90+
- Что такое ЕГЭ по Географии?
- Сложно или легко сдавать ЕГЭ по географии на 80+?
- Как подготовится к ЕГЭ по географии?
Онлайн-курс Физика 100 баллов
Параметры на ЕГЭ
по профильной математике 2021