С замечательным числом \(e\) мы впервые встречаемся, начиная изучать показательную функцию, логарифмы и производные. Поэтому для лучшего понимания мы рекомендуем вам прочитать наши статьи «Показательная функция» и «Геометрический смысл производной».
В статье «Показательная функция» мы говорили о важнейшем свойстве функции \(y=a^{x}\) — при \(a> 1\) эта функция очень быстро растет. И не просто «быстро растет» — чем больше \(x\), тем больше скорость ее роста, тем круче идет график. Можно сказать, что с увеличением \(x\) растут и значения показательной функции, и ее производная. А если аргументом показательной функции \(y=a^{t}\) является время, то при \(a> 1\) такая функция является математическим выражением стремительно развивающегося процесса.
Среди показательных функций есть особенная. Называется она экспонентой, ее формула \(y=e^{x}\). Особенность ее в том, что в каждой точке скорость роста этой функции равна значению самой функции в этой точке. Другими словами, \((e^{x})^{t}=e^{x}\), то есть производная функции \(y=e^{x}\) равна ей самой.
Нарисуем несколько графиков функции \(y=a^{x}\) при \(a=2\), \(a=3\), а также при \(2< a< 3\). Среди этих графиков есть такой, что касательная к нему, проведенная в точке \(x=0\), идет ровно под углом \(45^{\circ}\) к положительному направлению оси \(OX\).
Это и есть график функции \(y=e^{x}\). Само число \(e\) — иррациональное, то есть выражается бесконечной непериодической десятичной дробью. Приблизительно оно равно \(2,718\).
Логарифм по основанию \(e\) называется натуральным и обозначается \(ln \; x\). Если в уравнении или неравенстве вам встретились такие логарифмы, вы работаете с ними так же, как и с любыми другими, у которых основание больше \(1\).
Функция \(y=ln \; x\) также обладает интересным свойством:
\(({ln \; x})'=\displaystyle \frac{1}{x}.\)
Это значит, что с ростом \(x\) график логарифмической функции идет более и более полого, скорость роста его уменьшается, что мы и видим:
Формулы для производных функций \(y=a^{x}\) и \(y=log_{a}x\) содержат в себе выражение \(ln \; a\):
\({(a^{x})}'=(a^{x})\cdot ln \; a;\)
\({(log_{a}x)}'=\displaystyle \frac{1}{xln \; a}.\)
Число \(e\), как и число \(\pi \), является одной из мировых констант. Так называют числа, которые можно встретить в математических формулах, выражающих фундаментальные законы природы, — в физике, статистике, биологии или экономике.
Число \(\pi \) известно людям с глубокой древности. Оно равно отношению длины окружности к ее диаметру. А вот с числом \(e\) (названным так в честь великого математика Леонарда Эйлера) человечество познакомилось намного позже. Впервые его вычислил математик Якоб Бернулли в начале XVIII века, причем сделал это, решая чисто практическую задачу о начислении процентов на банковский вклад.
В заданиях вариантов ЕГЭ вам встречались задачи, где вклад величиной \(x\) помещен в банк под \(p \)% годовых. Найти нужно было, например, каким станет вклад через два года. Рассказывая о решении таких задач, мы вывели удобные формулы:
Итак, если вклад поместить банк под \(10 \)% годовых, он вырастет за год в \(1,1\) раза, за два года — в \(1,21\) раза, за десять — примерно в \(2,6\) раза. Значит, рост вклада зависит от того, сколько он пролежит в банке, то есть сколько раз начисляются проценты. А что будет через сто лет? А если найти такой банк, где процент начисляется не раз в год, а раз в день? И пусть даже каждый день начисляется совсем небольшой процент, но ведь дней-то много! Верно ли, что можно положить в такой банк один доллар под одну сотую процента в день, а через пару десятков лет забрать из банка миллион?
Давайте так и сформулируем задачу. Пусть банк начисляет каждый день по одной сотой процента. Во сколько раз вырастет вклад через \(10000\) дней (это двадцать семь с лишним лет)? Иными словами, чему приближенно равна величина \(\left(\displaystyle 1+\frac{1}{10000}\right)^{10000}\) и к чему будет стремиться величина \(\left(\displaystyle 1+\frac{1}{n}\right)^{n}\), если \(n\) стремится к бесконечности?
Вот такую задачу и решал Бернулли. Если \(n\) будет очень большим, или, как говорят математики, бесконечно большим, будет стремиться к бесконечности (то есть больше миллиона, больше миллиарда, больше двух миллиардов. . . ) — то величина \(\displaystyle \frac{1}{n}\) будет, наоборот, очень малой. Можно сказать, что \(\displaystyle \frac{1}{n}\) будет стремиться к нулю.
Оказывается, что в этом случае величина \(\left(\displaystyle 1+\frac{1}{n}\right)^{n}\) будет стремиться к числу \(e\). Если банк каждый год начисляет по \(1\)%, через \(100\) лет вклад увеличится примерно в \(e\) раз (напомним, что \(e\approx 2,718\)). Еще большая точность будет достигнута, если каждый день банк начисляет по \(0,01\) процента. Через \(10000\) дней вклад увеличится примерно в \(e\) раз. Итак, если \(n\) стремится к бесконечности, то величина \(\left(\displaystyle 1+\frac{1}{n}\right)^{n}\) стремится к числу \(e\).
Этот неожиданный факт называется вторым замечательным пределом. Вы встретитесь с ним в курсе математического анализа.
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
