Slider

Число е

А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru

С замечательным числом e мы впервые встречаемся, начиная изучать показательную
функцию, логарифмы и производные. Поэтому для лучшего понимания
мы рекомендуем вам прочитать наши статьи «Показательная функция» и
«Геометрический смысл производной».

В статье «Показательная функция» мы говорили о важнейшем свойстве функции
— при эта функция очень быстро растет. И не просто «быстро растет» —
чем больше x, тем больше скорость ее роста, тем круче идет график. Можно сказать,
что с увеличением x растут и значения показательной функции, и ее производная.
А если аргументом показательной функции является время, то при такая
функция является математическим выражением стремительно развивающегося
процесса.

Среди показательных функций есть особенная. Называется она экспонента, ее
формула
. Особенность ее в том, что в каждой точке скорость роста этой
функции равна значению самой функции в этой точке. Другими словами,
,
то есть производная функции равна ей самой.

Нарисуем несколько графиков функции при , а также при
. Среди этих графиков есть такой, что касательная к нему, проведенная в
точке , идет ровно под углом к положительному направлению оси OX.

Это и есть график функции
. Само число e — иррациональное, то есть
выражается бесконечной непериодической десятичной дробью. Приблизительно оно
равно 2,718.

Логарифм по основанию e называется натуральным и обозначается . Если в
уравнении или неравенстве вам встретились такие логарифмы, вы работаете с ними
так же, как и с любыми другими, у которых основание больше 1.

Функция также обладает интересным свойством:

Это значит, что с ростом x график логарифмической функции идет более и более
полого, скорость роста его уменьшается, что мы и видим.

Формулы для производных функций и содержат в себе выражение
:

Число e, как и число , является одной из мировых констант. Так называют
числа, которые можно встретить в математических формулах, выражающих фундаментальные
законы природы, — в физике, статистике, биологии или экономике.

Число известно людям с глубокой древности. Оно равно отношению длины
окружности к ее диаметру. А вот с числом e (названным так в честь великого математика
Леонарда Эйлера) человечество познакомилось намного позже. Впервые его
вычислил математик Якоб Бернулли в начале XVIII века, причем сделал это, решая
чисто практическую задачу о начислении процентов на банковский вклад.

В задании 11 вариантов ЕГЭ вам уже встречались задачи, где вклад величиной x
помещен в банк под p % годовых. Найти нужно было, например, каким станет вклад
через два года. Рассказывая о решении таких задач, мы вывели удобные формулы:

если величину x увеличить на p процентов, получится
;

если величину x дважды увеличить на p процентов, получим Именно
таким станет вклад через два года;

а если вклад пролежит в банке n лет, его величина станет равной

Итак, если вклад поместить банк под 10% годовых, он вырастет за год в 1,1 раз, за
два года — в 1,21 раза, за десять — примерно в 2,6 раза. Значит, рост вклада зависит
от того, сколько он пролежит в банке, то есть сколько раз начисляются проценты.
А что будет через сто лет? А если найти такой банк, где процент начисляется не
раз в год, а раз в день? И пусть даже каждый день начисляется совсем небольшой
процент, но ведь дней-то много! Верно ли, что можно положить в такой банк один
доллар под одну сотую процента в день, а через пару десятков лет забрать из банка
миллион?

Давайте так и сформулируем задачу. Пусть банк начисляет каждый день по одной
сотой процента. Во сколько раз вырастет вклад через 10000 дней (это двадцать семь
с лишним лет)? Иными словами, чему приближенно равна величина
?
И к чему будет стремиться величина

, если n стремится к бесконечности?

Вот такую задачу и решал Бернулли. Если n будет очень большим, или, как
говорят математики, бесконечно большим, будет стремиться к бесконечности (то есть
больше миллиона, больше миллиарда, больше двух миллиардов. . . ) — то величина

будет, наоборот, очень малой. Можно сказать, что будет стремиться к нулю.

Оказывается, что в этом случае величина

будет стремиться к числу e.
Если банк каждый год начисляет по 1%, через 100 лет вклад увеличится примерно
в e раз (напомним, что e ≈ 2,718). Еще большая точность будет достигнута, если
каждый день банк начисляет по 0,01 процента. Через 10000 дней вклад увеличится
примерно в e раз. Итак, если n стремится к бесконечности, то величина

стремится к числу e.

Этот неожиданный факт называется вторым замечательным пределом. Вы встретитесь
с ним в курсе математического анализа.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.