Число е
С замечательным числом e мы впервые встречаемся, начиная изучать показательную функцию, логарифмы и производные. Поэтому для лучшего понимания мы рекомендуем вам прочитать наши статьи «Показательная функция» и «Геометрический смысл производной».
В статье «Показательная функция» мы говорили о важнейшем свойстве функции
— при
эта функция очень быстро растет. И не просто «быстро растет» — чем больше x, тем больше скорость ее роста, тем круче идет график. Можно сказать, что с увеличением x растут и значения показательной функции, и ее производная. А если аргументом показательной функции
является время, то при
такая функция является математическим выражением стремительно развивающегося процесса.
Среди показательных функций есть особенная. Называется она экспонента, ее формула
. Особенность ее в том, что в каждой точке скорость роста этой функции равна значению самой функции в этой точке. Другими словами,
, то есть производная функции
равна ей самой.
Нарисуем несколько графиков функции
при
, а также при
. Среди этих графиков есть такой, что касательная к нему, проведенная в точке
, идет ровно под углом
к положительному направлению оси OX.

Это и есть график функции
. Само число e — иррациональное, то есть выражается бесконечной непериодической десятичной дробью. Приблизительно оно равно 2,718.
Логарифм по основанию e называется натуральным и обозначается
. Если в уравнении или неравенстве вам встретились такие логарифмы, вы работаете с ними так же, как и с любыми другими, у которых основание больше 1.
Функция
также обладает интересным свойством:

Это значит, что с ростом x график логарифмической функции идет более и более полого, скорость роста его уменьшается, что мы и видим.

Формулы для производных функций
и
содержат в себе выражение
:


Число e, как и число
, является одной из мировых констант. Так называют числа, которые можно встретить в математических формулах, выражающих фундаментальные законы природы, — в физике, статистике, биологии или экономике.
Число
известно людям с глубокой древности. Оно равно отношению длины окружности к ее диаметру. А вот с числом e (названным так в честь великого математика Леонарда Эйлера) человечество познакомилось намного позже. Впервые его вычислил математик Якоб Бернулли в начале XVIII века, причем сделал это, решая чисто практическую задачу о начислении процентов на банковский вклад.
В заданиях вариантов ЕГЭ вам встречались задачи, где вклад величиной x помещен в банк под p % годовых. Найти нужно было, например, каким станет вклад через два года. Рассказывая о решении таких задач, мы вывели удобные формулы:
- если величину x увеличить на p процентов, получится

- если величину x дважды увеличить на p процентов, получим
Именно таким станет вклад через два года;
- если вклад пролежит в банке n лет, его величина станет равной

Итак, если вклад поместить банк под 10% годовых, он вырастет за год в 1,1 раз, за два года — в 1,21 раза, за десять — примерно в 2,6 раза. Значит, рост вклада зависит от того, сколько он пролежит в банке, то есть сколько раз начисляются проценты. А что будет через сто лет? А если найти такой банк, где процент начисляется не раз в год, а раз в день? И пусть даже каждый день начисляется совсем небольшой процент, но ведь дней-то много! Верно ли, что можно положить в такой банк один доллар под одну сотую процента в день, а через пару десятков лет забрать из банка миллион?
Давайте так и сформулируем задачу. Пусть банк начисляет каждый день по одной сотой процента. Во сколько раз вырастет вклад через 10000 дней (это двадцать семь с лишним лет)? Иными словами, чему приближенно равна величина
? И к чему будет стремиться величина
, если n стремится к бесконечности?
Вот такую задачу и решал Бернулли. Если n будет очень большим, или, как говорят математики, бесконечно большим, будет стремиться к бесконечности (то есть больше миллиона, больше миллиарда, больше двух миллиардов. . . ) — то величина
будет, наоборот, очень малой. Можно сказать, что
будет стремиться к нулю.
Оказывается, что в этом случае величина
будет стремиться к числу e. Если банк каждый год начисляет по 1%, через 100 лет вклад увеличится примерно в e раз (напомним, что e ≈ 2,718). Еще большая точность будет достигнута, если каждый день банк начисляет по 0,01 процента. Через 10000 дней вклад увеличится примерно в e раз. Итак, если n стремится к бесконечности, то величина
стремится к числу e.
Этот неожиданный факт называется вторым замечательным пределом. Вы встретитесь с ним в курсе математического анализа.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Число е» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
05.09.2023