Числовые множества

ЕГЭ по математике — экзамен чисто практический. Однако знания о том, какие бывают числа, необходимы при решении многих задач.

Первые числа, которыми люди начали пользоваться ещё в доисторические времена — это натуральные числа, то есть целые и положительные: \(1, 2, 3, . . .\)

Натуральные числа — это числа, применяемые для счёта предметов. Натуральные числа можно использовать в качестве номеров.

Наименьшее натуральное число — единица¹. Числа \(21\), \(249\), \(30988\) являются натуральными. Все вместе они составляют множество натуральных чисел, обозначаемое буквой \(N\):

\(N=\begin{Bmatrix}
1, 2, 3,...\end{Bmatrix}.\)

Что же такое множество? Это одно из первичных понятий математики, т. е. таких, которые лежат в основе логической системы и уже не определяются через другие понятия. Интуитивно мы понимаем, что множество — это набор или совокупность элементов, объединенных каким-либо общим признаком.

Множества обычно обозначаются заглавными буквами. Множество натуральных чисел мы можем условно изобразить вот так:

Но числа бывают не только натуральными. Индийцы изобрели число ноль и отрицательные числа. Теперь они для нас привычны, но когда-то европейцы — древние греки и римляне — долгое время обходились без нуля. Сейчас нам трудно это представить.

Натуральные числа, целые отрицательные числа и ноль вместе составляют множество целых чисел, которое обозначается \(Z\):

\(Z=\begin{Bmatrix}
0, \pm 1, \pm 2, \pm 3,...\end{Bmatrix}.\)

Например, получая в тригонометрическом уравнении серию решений, мы пишем: \(n\in Z\), и это означает, что \(n\) — целое число.

Очевидно, множество целых чисел включает в себя множество натуральных:

Кроме целых чисел, однако, имеются ещё и дроби.

Напомним, что дробь — это часть, доля, выражение вида \(\displaystyle \frac{p}{q}\) (где \(p\) — целое, а \(q\) — натуральное). Например, \(\displaystyle \frac{1}{3}\) — это «одна часть из трёх», \(0,25\) — это двадцать пять сотых. Десятичные дроби также можно записать в виде \(\displaystyle \frac{p}{q}\). Например, \(0,25 =\displaystyle \frac{25}{100} =\displaystyle \frac{1}{4}\). А если вы вдруг забыли, как десятичную дробь перевести в обыкновенную, как складывать и умножать дроби или как их сокращать — срочно обращайтесь к нам за консультацией! Без этих простейших навыков готовиться к ЕГЭ будет крайне сложно.

Целые числа (положительные и отрицательные) также можно записать в виде \(\displaystyle \frac{p}{q}\). Например, в виде дроби со знаменателем \(1\):

\(2=\displaystyle \frac{2}{1}; \; 0=\displaystyle \frac{0}{1}; \; -5=\displaystyle \frac{-5}{1}.\)

Стало быть, целые числа — частный случай дробей.

Числа, которые можно записать в виде дроби \(\displaystyle \frac{p}{q}\), называются рациональными. Множество рациональных чисел обозначается \(Q\). Ясно, что оно включает в себя множество целых чисел.

Хорошо, но любое ли число можно записать в виде дроби \(\displaystyle \frac{p}{q}\)? Иными словами, все ли числа являются рациональными?

Долгое время — в античности — считалось, что любое число можно записать в виде дроби с числителем и знаменателем. Дело в том, что для древних греков числа и их соотношения были почти священны. Пифагорейцы говорили: «Числа правят миром». Они верили, что все основные принципы мироздания можно выразить языком математики, что соотношения чисел выражают гармонию, закон и порядок природы, перед которым склоняют голову даже олимпийские боги. Греческое искусство, особенно архитектура, подчинялось правилам, канонам. Греки точно установили, какими должны быть пропорции в архитектуре — например, отношение диаметра колонны к её длине — чтобы здание было гармоничным. И все эти пропорции были отношениями целых чисел.

Однако в стройной и гармоничной системе божественных пропорций наметилась досадная брешь. Оказалось, что отношение диагонали квадрата к его стороне не выражается отношением целых чисел! Другими словами, если мы нарисуем квадрат со стороной \(1\), его диагональ не выражается никакой дробью вида \(\displaystyle \frac{p}{q}\).

По теореме Пифагора диагональ такого квадрата равна \(\sqrt{2}\) — то есть положительному числу, квадрат которого равен двум. Можно доказать, что это число не является рациональным. Но сами пифагорейцы не сразу смоги смириться с тем, что \(\sqrt{2}\) невозможно записать в виде \(\displaystyle \frac{p}{q}\) — ведь это наносило удар всей их философской системе!

Открытие долго держалось в тайне, пока наконец ученик Пифагора Гиппас не разгласил его. За это Гиппас был изгнан из школы Пифагора и вскоре погиб во время кораблекрушения, в чём современники увидели несомненное возмездие богов. А числа, которые невозможно записать в виде \(\displaystyle \frac{p}{q}\), такие, как \(\sqrt{2}\), назвали иррациональными, то есть неразумными, неправильными.

Но иррациональные числа ничуть не хуже рациональных! Они отнюдь не ограничиваются выражениями вида \(\sqrt{2}\) или \(\sqrt{3}\). К ним относятся также:

• число \(\pi\) — отношение длины окружности к её диаметру;
• число \(e\), названное в честь Эйлера (об этом числе мы ещё расскажем);
• задающее золотое сечение число \(\varphi \) — удивительное число Фибоначчи, вокруг которого построен весь детективный сюжет фильма «Код да Винчи»;
• числа вида \(log_{2}5\), \(sin23^{\circ}\),...;
• необозримое количество других чисел.

Ещё раз повторим, в чём разница между рациональными и иррациональными числами.

Рациональное число можно представить в виде дроби \(\displaystyle \frac{p}{q}\) — например, \(\displaystyle \frac{1}{3}\), \(\displaystyle \frac{7}{11}\). А если мы просто поделим в столбик \(7\) на \(11\), мы обнаружим интересную закономерность:

\(7 : 11 = 0,636363636363...\)

Мы видим, что цифры повторяются, то есть дробь является периодической. Таким образом, любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечной или бесконечной периодической.

А вот в числе \(\pi= 3,1415926...\) цифры не заканчиваются, и никакой периодичности их следования не наблюдается. Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби.

Вместе оба множества — рациональных и иррациональных чисел — образуют множество действительных (или вещественных) чисел, которое обозначается \(R\) (от слова real).

Возникает вопрос: это всё? Все ли числа, какие только могут быть, содержатся в множестве действительных чисел? Или за его пределами ещё что-то есть?

Для успешной сдачи ЕГЭ других чисел не нужно. Да и, казалось бы, мы назвали все возможные числа. Но вот какой парадокс: положительные и отрицательные числа симметрично расположены на числовой прямой, верно? И при этом из положительных чисел можно извлечь квадратный корень, а из отрицательных — нельзя! Не существует действительного числа, которое при возведении в квадрат даёт \(−1\).

Оказывается, однако, что существует числовое множество, содержащее в себе множество \(R\) и бесконечное множество других чисел, не являющихся действительными. В этом множестве находится мнимая единица \(i\), для которой верно \(i^{2}=-1\). И называется оно множеством комплексных чисел.

Комплексные числа служат естественным языком описания многих физических явлений. Те из вас, кто выбрал инженерную специальность (в особенности связанную с распространением волн, электротехникой и радиофизикой), непременно встретятся с ними. В отличие от действительных («вещественных») чисел, применяемых для описания материального, плотного мира «вещей», комплексные числа оказываются удобным инструментом для построения математических моделей волн и колебаний всевозможной природы.

Ну а будущим физикам наверняка интересно будет узнать, что элементарные частицы живут и взаимодействуют по законам именно комплексных чисел. Наукой, описывающей комплексный микромир, является квантовая физика.

¹ В школьной математике ноль не является натуральным числом. Мы ведь не используем его для счёта предметов. Ну какой здравомыслящий человек скажет: «На столе стоит ноль чашек»? :-)