ЕГЭ-2024. Резервный день

13. а) Решите уравнение: \(3tg^{2}x-\displaystyle \frac{5}{cosx}+5=0.\)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\Big[-3\pi ;-\displaystyle \frac{3\pi }{2}\Big]. \)

Посмотреть решение.

14. Основанием четырехугольной пирамиды \(SABCD\) является прямоугольник со сторонами \(AB=24\) и \(BC=7.\) Боковые ребра \(SA= \sqrt{51}, \; SB=\sqrt{627}\) и \(SD=10.\)

а) Докажите, что \(SA\) - высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми \(SC\) и \(BD.\)

Посмотреть решение.

15. Решите неравенство: \(\displaystyle \frac{log_{5}(5x-27)}{log_{5}(x-5)}\geq 1.\)

Посмотреть решение.

16. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга за июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 27 млн рублей?

Посмотреть решение.

17. В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AK\) и \(CM.\) На них из точек \(M\) и \(K\) опущены перпендикуляры \(ME\) и \(KH\) соответственно.

а) Докажите, что прямые \(EH\) и \(AC\) параллельны.

б) Найдите отношение \(EH\) и \(AC,\) если \(\angle ABC=60^{\circ}.\)

Посмотреть решение.

18. Найдите все значения параметра \(a,\) при которых уравнение \((\left | x+2\right |+\left | x-a\right |)^{2}-5(\left | x+2\right |+\left | x-a\right |)+3a(5-3a)=0\) имеет ровно два решения.

Посмотреть решение.

19. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2376. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на 71).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 6 раз больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Посмотреть решение.