Задание 19. Решение

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2376. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на 71).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 6 раз больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Решение:

\( S=2376.\)

а) Было \( 17 \; 36 \; 14 \; 82 \; 10a_{i}+b_{i}\) сумма \( S.\)

Стало \( 71 \; 63 \; 41 \; 24 \; 10b_{i}+a_{i}\) сумма \( 3S.\)

Пусть \( A\) - сумма всех первых цифр (вначале);

\( B\) - сумма всех вторых цифр.

\( 10a_{1}+b_{1};\)

\( 10a_{2}+b_{2};\)

\( 10a_{3}+b_{3};\)

\( ...\)

\( 10a_{k}+b_{k}.\)

__________________

\( 10(a_{1}+a_{2}+...+a_{k})+b_{1}+b_{2}+...+b_{k}.\)

\( a_{1}+a_{2}+...+a_{k}=A;\)

\( b_{1}+b_{2}+...+b_{k}=B.\)

\( \left\{\begin{matrix} 10A+B=S, \\10B+A=3S; \end{matrix}\right.\)

\( \left\{\begin{matrix} 11A+11B=4S, \\9B-9A=2S; \end{matrix}\right.\)

\( \left\{\begin{matrix} A+B=\displaystyle\frac{4S}{11}, \\B-A=\displaystyle\frac{2S}{9}; \end{matrix}\right.\)

\( \left\{\begin{matrix} A=168, \\B=696. \end{matrix}\right.\)

Возьмем 116 чисел, 52 числа по 26 и 64 числа по 16.

\( A=2\cdot 52+1\cdot64=168;\)

\( B=6\cdot52+6\cdot64=696.\)

Сумма всех чисел 2376.

Наоборот: 52 числа по 62 и 64 числа по 61.

\( A=6\cdot 52+6\cdot64=696;\)

\( B=2\cdot 52+1\cdot64=168.\)

Сумма всех чисел \( 3\cdot 2376=7128.\)

б) \( \left\{\begin{matrix} 10A+B=S, \\10B+A=6S; \end{matrix}\right.\)

\( \left\{\begin{matrix} 11(A+B)=7S, \\9(B-A)=5S; \end{matrix}\right.\)

\( \left\{\begin{matrix} A=96, \\B=1416. \end{matrix}\right.\)

Пусть \( k\)  чисел; \( k\leq 96; \; B\leq 9\cdot 96< 96\cdot 10<1416\) - нет, не может.

в) \( \left\{\begin{matrix} 10A+B=S, \\10B+A=mS; \end{matrix}\right.\)

\( m> 1, \; m\)  - не обязательно целое.

\( \left\{\begin{matrix} A+B=\displaystyle\frac{S(m+1)}{11}, \\B-A=\displaystyle\frac{S(m-1)}{9}; \end{matrix}\right.\)

\( \left\{\begin{matrix} A=24(10-m), \\B=24(10m-1). \end{matrix}\right.\)

Всего \(k\) чисел.

\( \left\{\begin{matrix} k\leq A\leq 9k, \\k\leq B\leq 9k; \end{matrix}\right.\)

\( \left\{\begin{matrix} k\leq 24(10-m)\leq 9k, \\k\leq 24(10m-1)\leq 9k. \end{matrix}\right.\)

Умножим первое неравенство на 9, получим:

\( \left\{\begin{matrix} 9k\leq 9\cdot 24(10-m)\leq 81k, \\k\leq 24(10m-1)\leq 9k. \end{matrix}\right.\)

Т. к. \( \left\{\begin{matrix} x\leq y, \\y\leq z; \end{matrix}\right. \Rightarrow x\leq y\leq z\Rightarrow x\leq z\), то

\( 24(10m-1)\leq 9k\leq 9\cdot 24(10-m) \Rightarrow 24(10m-1)\leq 9\cdot 24(10-m)\Rightarrow (10m-1)\leq 9\cdot 24(10-m).\)

\( m\leq \displaystyle \frac{91}{19}\) - оценка; \( \displaystyle \frac{91}{19}=4\frac{15}{19}.\)

\( S\cdot m\) - целое; \( S=2376=99\cdot 24.\)

\( S\cdot m=99\cdot 24\cdot m\) - целое; \( m\leq 4\displaystyle \frac{15}{19}.\)

\( S\cdot (m-4)\) - целое; \( S\cdot (m-4)\leq S\cdot \displaystyle \frac{15}{19}.\)

\( m\) - дробь вида \(\displaystyle \frac{x}{y},\)  такая, что \( S\cdot \displaystyle \frac{x}{y}\) - целое.

\( A=24(10-m)\) - целое, значит, \( 24m\) - целое.

Тогда \( y\) - делитель числа 24, \( m=\displaystyle \frac{x}{y}.\)

\( 24m\) - целое, \( y= 2; \; 3; \; 4; \; 6; \; 8; \; 12; \; 24.\)

\(\displaystyle \frac{91}{19}\approx 4,79.\)

Пусть \( m=4\displaystyle \frac{3}{4}.\)

Тогда \(S\cdot m\) - целое, \(\displaystyle \frac{3}{4}< \frac{15}{19};\)

\(\displaystyle \frac{3}{4}+\frac{1}{24}=\frac{76}{96}>\frac{15}{19}.\)

Тогда \(m=4\displaystyle \frac{3}{4};\)

\(S\cdot m=\displaystyle \frac{19}{4}S=11286.\)

\(A=126;\)

\(B=1116.\)

108 чисел по 19, 18 чисел по 18, сумма 2376.

Переставим цифры, сумма 11286.