ЕГЭ-2024. Задание 16. Решение

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 177 120 рублей.  Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найти общую сумму выплат, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (т. е. за 4 года).

Решение:

\(S=177120\) руб. - сумма кредита;

\(p=25\)% - процент банка;

\(k=1,25=\displaystyle \frac{5}{4}\) - коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов;

4 равных платежа - \(x.\)

\(B=4x\) - общая сумма выплат. Составим схему погашения кредита.

После первого начисления процентов сумма долга равна \(Sk,\) после первой выплаты сумма долга равна \(Sk-x.\)

После второго начисления процентов сумма долга равна \((Sk-x)k,\) после второй выплаты сумма долга равна \((Sk-x)k-x. \)

\(...\)

После четвертой выплаты:

\((((Sk-x)k-x)k-x)k-x=0 ;\)

\(S\cdot k^{4}-x\cdot (k^{3}+k^{2}+k+1)=0;\)

\(x=\displaystyle \frac{S\cdot k^{4}}{k^{3}+k^{2}+k+1}=\frac{S\cdot k^{4}}{k^{2}(k+1)+k+1}=\frac{S\cdot k^{4}}{(k^{2}+1)(k+1)}.\)

Общая сумма выплат:

\(B=4x=\displaystyle \frac{4S\cdot k^{4}}{(k^{2}+1)(k+1)}=\displaystyle \frac{4\cdot 177120\cdot 5^{4}\cdot 4}{4^{4}\cdot \Big(\displaystyle \frac{25}{16}+1\Big)\cdot 9}=\frac{177120\cdot 5^{4}}{9\cdot 41}=\frac{19680\cdot 5^{4}}{41}=\)

\(=480\cdot 625=480\cdot 25\cdot 25=4\cdot 4\cdot 30\cdot 25\cdot 25= 300000.\)

Ответ: 300 000 руб.