ЕГЭ-2024. Задание 19. Решение

Есть 29 монет по 5 рублей и 16 монет по 2 рубля.

а) Можно ли получить 175?

б) Можно ли получить 176?

в) Сколько нужно добавить монет по 1 рублю, чтобы можно было собрать любую сумму от 1 до 180 включительно?

Решение:

а) Можно ли получить 175? Предположим, что можно.

Возьмем \(x\) монет по 5 руб., \( 0\leq x\leq 29,\) и \(y\) монет по 2 руб., \(0\leq y\leq 16, \; x, y\) - целое.

\(5x+2y=175\Rightarrow 2y\vdots 5, \; y\leq 16 \Rightarrow y=0\) или \(y=5,\) или \(y=10,\) или \(y=15.\)

\(2y=175-5x;\)

\(2y=5(35-x).\)

Но \(x\leq 29,\) тогда \(-x\geq -29,\) тогда \(35-x\geq 6 \Rightarrow 2y=5(35-x)\geq 5 \cdot 6.\)

\(y\geq 15,\) значит, \(y= 15.\)

15 монет по 2 руб. и 29 монет по 5 руб.

\(30+145=175\) руб. Да, можно.

б) Можно ли получить 176? Предположим, что можно.

\(5x+2y=176;\)

\(5x=176-2y;\)

\((176-2y)\vdots 5.\)

\(0\leq y\leq 16,\) тогда \(-32\leq -2y\leq 0;\)

\(176-2y\geq144;\)

\(5x\geq 144;\)

\(x\geq \displaystyle \frac{144}{5};\)

\(x\geq 28\displaystyle \frac{4}{5}\Rightarrow x=29.\)

\(29 \cdot 5+2y=176;\)

\(145+2y-176;\)

\(176-2y=145\) - противоречие, т. к. \(176-2y\) - четное, а 145 - нечетное.

Нет, нельзя.

в) Сколько нужно добавить монет по 1 рублю, чтобы можно было собрать любую сумму от 1 до 180 включительно?

175 - можно;

176 - нельзя, надо добавить 1 руб.;

177 - можно, использовав все пятирублевые и двухрублевые (\(29 \cdot 5+16\cdot 2 =177\));

178 - можно, \(29 \cdot 5+16\cdot 2+1 =178.\)

Добавив две монеты по рублю, можно получить 179 и 180.

Нужно не менее трех монет по рублю.

Это оценка. Пример для \(k=3\) добавленных монет.

Пусть есть 29 монет по 5 рублей, 16 монет по 2 рубля и 3 монеты по 1 рублю.

\(29 \cdot 5=145;\) если \(S\vdots 5\) и \(S\leq145\) - набираем пятирублевыми монетами.

Если \(S=5m+r, \; r\) - остаток от деления \(S\) на 5;

\(1\leq r\leq 4,\) значит, нужны монеты: 1 руб. или 2 руб., или 1 и 2 руб., или 2 и 2 руб. Эти монеты есть. Значит, любую сумму от 1 до 145 набрать можно.

Теми же монетами можно набрать 146, 147, 148, 149 руб.

Проверим \(150\leq S\leq 180.\)

Это то же самое, что набрать от 0 до 30 рублей и отложить из общей суммы в 180 руб.

Есть не менее двух монет по одному рублю, не менее 14 монет по два рубля.

30 - можно;

29 - можно, убрав 1 руб.;

28 - можно, убрав 2 руб.;

27 - можно, убрав 2 рубля и 1 рубль;

26 - можно, убрав две монеты по 2 рубля;

25 - можно, убрав две монеты по 2 рубля и 1 рубль;

\(...\)

Можно набрать любую сумму от 0 до 30 руб.

Ответ: а) да; б) нет; в) минимум 3.