ЕГЭ-2025. Резервный день

13. а) Решите уравнение: \(log_{3}(x^{2}-2x)=1.\)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([log_{2}0,2; log_{3}5].\)

Посмотреть решение.

14. Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}.\) Точка \(O\) - центр грани \(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}.\) Сечение параллелепипеда плоскостями \((AOB)\) и \((BOC)\) являются прямоугольниками, \(AB\) и \(BC\) - их меньшие стороны соответственно. Известно, что \(AB\) и \(BC\) в 2 раза меньше соответственных больших сторон прямоугольников.

а) Докажите, что \(ABCD\) - квадрат.

б) Найдите угол между прямой \(A_{1}C\) и плоскостью \((BOC).\)

Посмотреть решение.

15. Решите неравенство: \(\displaystyle \frac{117-15\cdot 3^{x}}{9^{x}-36\cdot 3^{x}+243}\geq 0,5.\)

Посмотреть решение.

16. Зависимость количества \(Q\) в шт. при условии \(0\leq Q\leq 15000\) купленного у фирмы товара от цены \(P\) в руб. за шт. выражается формулой \(Q=15000-P\). Затраты на производство \(Q\) единиц товара составляют \(3000Q+1000000\) рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог \(t\) рублей при условии \(0< t < 10000\) с каждой произведенной единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет \(PQ-3000Q-1000000-tQ\) рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна \(tQ\) рублей.

Фирма производит такое количество товара, при котором ее прибыль максимальна. При каком значении \(t\) общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

Посмотреть решение.

17. Дан ромб \(ABCD\). На диагонали \(AC\) отмечены точки \(M\) и \(N\) так, что \(AM=MN=NC\). Прямая \(BM\) пересекает сторону \(AD\) в точке \(P\), а прямая \(BN\) пересекает сторону \(CD\) в точке \(Q\).

а) Докажите, что площадь четырехугольника \(BPDQ\) равна площади треугольника \(ADC\).

б) Найдите \(BD\), если известно, что \(AC=2\sqrt{5}\) и около пятиугольника \(MNQDP\) можно описать окружность.

Посмотреть решение.

18. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\left\{\begin{matrix}
\displaystyle\frac{(y^{2}-7y-xy+4x+12)\sqrt{x+5}}{\sqrt{5-x}}=0, \\a=x+y
\end{matrix}\right.\) имеет ровно два решения.

Посмотреть решение.

19. На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно \(A\), среднее арифметическое чисел во второй группе равно \(B\). При этом для  группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше \(\displaystyle \frac{A+B}{2}.\)

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно \(\displaystyle \frac{A+B}{2}.\)

в) Найдите наименьшее возможное значение выражения \(\displaystyle \frac{A+B}{2}.\)

Посмотреть решение.