Задание 15. Решение

Решите неравенство: \(\displaystyle \frac{117-15\cdot 3^{x}}{9^{x}-36\cdot 3^{x}+243}\geq 0,5.\)

Решение:

\(\displaystyle \frac{117-15\cdot 3^{x}}{9^{x}-36\cdot 3^{x}+243}\geq 0,5.\)

Сделаем замену:

\( 3^{x}=t, \; t> 0.\)

\(\displaystyle \frac{117-15t}{t^{2}-36t+243}-\frac{1}{2}\geq 0;\)

\(243=3^{5}=27-9;\)

\(\displaystyle \frac{2(117-15t)-(t^{2}-36t+243)}{2(t-27)(t-9)}\geq 0;\)

\(\displaystyle \frac{234-30t-t^{2}+36t-243}{(t-27)(t-9)}\geq 0;\)

\(\displaystyle \frac{t^{2}-6t+9}{(t-27)(t-9)}\leq 0;\)

\(\displaystyle \frac{(t-3)^{2}}{(t-27)(t-9)}\leq 0.\)

\(\left[\begin{matrix}t=3, \\9 < t < 27.\end{matrix}\right.\)

Вернемся к переменной \(x: \; \left[\begin{matrix}3^{x}=0, \\9 < 3^{x}<27. \end{matrix}\right.\)

Функция \(t=3^{x}\) монотонно возрастает, поэтому если \(3^{x_{1}} < 3^{x_{2}},\) то \(x_{1} < x_{2}.\)

\(\left[\begin{matrix}x=1, \\2 < x < 3.\end{matrix}\right.\)

Ответ: \( x\in \begin{Bmatrix} 1\end{Bmatrix}\cup (2;3).\)