Задание 19. Решение

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно \(A\), среднее арифметическое чисел во второй группе равно \(B\). При этом для  группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше \(\displaystyle \frac{A+B}{2}.\)

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно \(\displaystyle \frac{A+B}{2}.\)

в) Найдите наименьшее возможное значение выражения \(\displaystyle \frac{A+B}{2}.\)

Решение:

а) Может ли быть среднее арифметическое всех чисел \(M< \displaystyle \frac{A+B}{2}\)?

\(M=\displaystyle \frac{5\cdot 10+4\cdot 10+3\cdot 10}{30}=4,\) тогда \(A+B > 8.\)

Разобьем все числа на 2 группы. В первой - только пятерки, \(A=5,\) во второй - все четверки и тройки, \(B=\displaystyle \frac{3\cdot 10+4\cdot 10}{20}=3,5,\) тогда \(A+B > 8.\)

Да, можно.

б) Разобьем все числа на 2 группы по 15 чисел.

Сумма чисел в I группе равна \(15A\), во второй группе - \(15B\), сумма всех чисел равна \(15A+15B.\)

Среднее арифметическое всех чисел равно \(\displaystyle \frac{15A+15B}{30}=\frac{A+B}{2}.\)

в) Найдем наименьшее возможное \(\displaystyle \frac{A+B}{2}.\)

1) Если в группах поровну чисел, то \(\displaystyle \frac{A+B}{2}=4.\)

2) Если в группе поровну троек и пятерок, то среднее арифметическое чисел в группе 4. Докажем это.

Пусть в группах \(x\) троек, \(x\) пятерок и \(y\) четверок, тогда среднее арифметическое равно \(\displaystyle \frac{3x+5x+4y}{2x+y}=\frac{8x+4y}{2x+y}=4.\)

3) Если в группе меньше троек, чем пятерок, то среднее арифметическое больше четырех. 

Пусть это первая группа. В ней не более 29 чисел.

Среди дробей, больших четырех, знаменатель которых не превосходит 29, наименьшая дробь - это \(4\displaystyle \frac{1}{29}.\)

Тогда \(A\geq 4\displaystyle \frac{1}{29}\) - среднее арифметическое чисел I группы. Это оценка.

Для II группы \(B\geq 3,\) тогда \(A+B\geq 4\displaystyle \frac{1}{29}+3=7\frac{1}{29};\)

\(\displaystyle \frac{A+B}{2}\geq \Big(4\frac{1}{29}+3\Big):2=3\frac{15}{29}.\)

Пример для \(A=4\displaystyle \frac{1}{29}, \; \frac{A+B}{2}=3\frac{15}{29}.\)

В одну группу: 10 пятерок, 10 четверок, 9 троек, \(A=\displaystyle \frac{5\cdot 10+4\cdot 10+3\cdot 9}{29}=\frac{117}{29}=4\frac{1}{29}.\)

В другую группу: число 3, тогда \(B=3, \; A+B=7\displaystyle \frac{1}{29}, \; \displaystyle \frac{A+B}{2}=3\frac{15}{29}.\)

Ответ: \(3\displaystyle \frac{15}{29}.\)