ЕГЭ, Тригонометрический круг

Вот что мы видим на этом рисунке:

1. Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит \(360\) градусов, или \(2 \pi\) радиан.

2. Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси \(X\), а значение синуса — на оси \(Y\).

3. И синус, и косинус принимают значения от \(-1\) до \(1\).

4. Значение тангенса угла \(\alpha\) тоже легко найти — поделив \(\sin \alpha\) на \(\cos \alpha\). А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.

5. Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

6. Синус — функция нечётная, косинус — чётная.

7. Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен \(2 \pi\).

А теперь подробно о тригонометрическом круге

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями \(OX\) и \(OY\), в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси \(OX\) против часовой стрелки.

Полный круг — \(360\) градусов.
Точка с координатами \(\left( 1;0 \right)\) соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами \(\left( -1;0 \right)\) отвечает углу в \(180^{\circ}\), точка с координатами \(\left( 0;1 \right)\) — углу в \(90^{\circ}\). Каждому углу от нуля до \(360\) градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси \(OX\)) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу \(\alpha\).

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси \(OY\)) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу \(\alpha\).

Например:

\(cos\mkern 2mu 60^{\circ}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2};\)

\(cos\mkern 2mu 0^{\circ}=1;\)
\(sin\mkern 2mu 45^{\circ}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 2};\)
\(sin\mkern 2mu 240^{\circ}=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2}.\)

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса \(\left( x \right)\), синус — ордината \(\left( y \right)\). Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от \(-1\) до \(1\):

\(-1\leqslant cos\mkern 2mu\alpha \leqslant 1,\)
\(-1\leqslant sin\mkern 2mu\alpha \leqslant 1.\)

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

\(cos^2\mkern 2mu\alpha+sin^2\mkern 2mu\alpha=1.\)

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу \(\alpha\), смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по \(x\) (это косинус угла \(\alpha\)) и по \(y\) (это синус угла \(\alpha\)).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: \(360\) градусов, то есть полный круг, соответствует \(2 \pi\) радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол \(-30^{\circ}\) — это угол величиной в \(30^{\circ}\), который отложили от положительного направления оси \(x\) по часовой стрелке.

Легко заметить, что

\(cos\mkern 2mu\left( -\alpha \right)=cos\mkern 2mu\alpha\),
\(sin\mkern 2mu\left( -\alpha \right)=-sin\mkern 2mu\alpha\).

Углы могут быть и больше \(360\) градусов. Например, угол \(732^{\circ}\) — это два полных оборота против часовой стрелки и еще \(12^{\circ}\). Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по \(x\) и по \(y\), значения синуса и косинуса повторяются через \(360^{\circ}\). То есть:

\(cos\mkern 2mu\left( \alpha +360^{\circ}\cdot n \right)=cos\mkern 2mu\alpha\),
\(sin\mkern 2mu\left( \alpha +360^{\circ}\cdot n \right)=sin\mkern 2mu\alpha\),

где \(n\) — целое число.

То же самое можно записать в радианах:

\(cos\mkern 2mu\left( \alpha +2\pi n \right)=cos\mkern 2mu\alpha\),
\(sin\mkern 2mu\left( \alpha +2\pi n \right)=sin\mkern 2mu\alpha\).

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения.

По определению:

\(tg\mkern 2mu\alpha=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle sin\mkern 2mu\alpha}{\displaystyle cos\mkern 2mu\alpha},\)

\(ctg\mkern 2mu\alpha=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle cos\mkern 2mu\alpha}{\displaystyle sin\mkern 2mu\alpha}.\)

В результате получим следующую таблицу.