Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Все формулы по геометрии. Площади фигур

Все формулы по геометрии. Площади фигур

Чтобы решать задачи по геометрии, надо знать формулы — такие, как площадь треугольника или площадь параллелограмма — а также простые приёмы, о которых мы расскажем.

Начнем с квадрата.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Она также равна произведению его сторон на синус угла между ними.

Для площади треугольника есть целых 5 формул. И все они применяются в задачах ЕГЭ.

1) Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне: $S=\displaystyle \frac{1}{2}ah_a=\displaystyle \frac{1}{2}bh_b=\displaystyle \frac{1}{2}ch_c.$

2) Она также равна половине произведения его сторон на синус угла между ними:

$S=\displaystyle \frac{1}{2}ab{\sin C=\displaystyle \frac{1}{2}ac{\sin B=\ }\ }\displaystyle \frac{1}{2}bc{\sin A\ }.$

3) По формуле Герона, $S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)},$ где $p=\displaystyle \frac{1}{2}\left(a+b+c\right)$ полупериметр.

4) Также площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радис вписанной окружности, S = pr.

5) Еще один способ. Площадь треугольника равна произведению его сторон, деленному на 4 радиуса описанной окружности, $S=\displaystyle \frac{abc}{4R}.$

Есть и другие формулы для площади треугольника. Но для решения заданий ЕГЭ, и первой, и второй части, достаточно этих пяти.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Она также равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к этой гипотенузе:

$S=\displaystyle \frac{1}{2}ab=\displaystyle \frac{1}{2}ch_{\ }$

Площадь правильного треугольника равна квадрату его стороны, умноженному на $\sqrt{3}$ и деленному на 4:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, $S=\displaystyle \frac{a+b}{2}\cdot h.$

Также можно сказать, что площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту, $S=m\cdot h$

Площадь произвольного четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, $S=\displaystyle \frac{1}{2}AC\cdot BD\cdot {\sin \alpha \ }$

Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла ромба. Она также равна половине произведения диагоналей:

Площадь круга равна произведению числа $\pi$ и квадрата радиуса круга.

Ее также можно записать как произведение числа $\pi$ и квадрата диаметра круга, деленного на 4:

Вспомним важные свойства площадей фигур.

Равные фигуры имеют равные площади.
Иногда фигуры, имеющие равные площади, еще называют равновеликими.
Если фигура составлена из нескольких фигур, не имеющих общих внутренних точек, то ее площадь равна сумме площадей этих фигур.

Пример. Найдем площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см $\times$ 1см.

Решение:

Найдем площадь фигуры на рисунке как сумму площадей нескольких фигур.

На рисунке это три треугольника и трапеция, указаны их площади. Тогда площадь фигуры равна 10 + 3,5 + 1,5 + 3 = 18.

Ответ: 18.

3. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Треугольники АВС и $A_1B_1C_1$ на рисунке называются подобными.

У треугольника $A_1B_1C_1$ все стороны в k раз длиннее, чем у треугольника АВС. Высота треугольника $A_1B_1C_1$ в k раз длиннее, чем высота треугольника АВС. Тогда площадь треугольника $A_1B_1C_1$ в $k^2$ раз больше, чем площадь треугольника АВС.

4. На рисунке показаны треугольники АВС и BCD, имеющие общую высоту. Отношение площадей этих треугольников равно отношению АС к CD:

$\displaystyle \frac{S_{ABC}}{S_{BCD}}=\displaystyle \frac{AC}{CD}$

5. Треугольники АВС и АЕС на рисунке имеют одинаковое основание и разные высоты.

Отношение площадей этих треугольников равно отношению их высот:

$\displaystyle \frac{S_{ABC}}{S_{AEC}}=\displaystyle \frac{BD}{EH}.$

6. Медиана треугольника делит его на два равновеликих, то есть равных по площади, треугольника.

На рисунке СМ — медиана треугольника АВС. Площади треугольников АСМ и ВСМ равны.

7. Три медианы треугольника делят его на шесть равных по площади треугольников.

На рисунке все 6 треугольников, из которых состоит треугольник АВС, имеют равные лощади.

Задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Площади фигур.

Задача 1. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен ${30}^\circ.$

Решение:

Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними. Поэтому

$S=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 8\cdot 12\cdot {\sin 30{}^\circ =\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 8\cdot 12\cdot \displaystyle \frac{1}{2}=24\ }.$

Ответ: 24.

Задача 2. Площадь треугольника ABC равна 4, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь треугольника CDE.

Решение:

Так как DE и АВ параллельны, треугольники CDE и САВ подобны с коэффициентом подобия $\displaystyle \frac{1}{2}.$ Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Тогда

$S=\displaystyle \frac{1}{4}\cdot 4=1.$

Ответ: 1.

Задача 3. У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

Решение:

Выразим площадь двумя способами:
$S_{ABC}=\displaystyle \frac{1}{2}CH\cdot AB=\displaystyle \frac{1}{2}AK\cdot CB.$

Тогда $AK=\displaystyle \frac{CH\cdot AB}{CB}=\displaystyle \frac{4\cdot 9}{6}=6.$

Ответ: 6.

Задача 4. Площадь треугольника ABC равна 10, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.

Решение:

Треугольник CDE подобен треугольнику CAB с коэффициентом $\displaystyle \frac{1}{2}.$ Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому

$S_{CDE}=\displaystyle \frac{1}{4}\cdot 10=2.5.$

Следовательно, .

Ответ: 7,5.

Задача 5. В параллелограмме ABCD AB = 3, AD = 21, ${\sin A=\displaystyle \frac{6}{7}}$ . Найдите большую высоту параллелограмма.

Решение:

Большая высота — это DH, потому что проведена к меньшей стороне. Из треугольника АDН:

$DH=AD{\sin A=21\cdot \displaystyle \frac{6}{7}=3\cdot 6=18\ }.$

Ответ: 18.

Задача 6. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

Решение:

Квадрат — это частный случай ромба. Площадь квадрата равна половине произведения его диагоналей. Поэтому она равна 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 7. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 18, а отношение соседних сторон равно 1:2.

Решение:

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Периметр прямоугольника равен сумме длин всех сторон. Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, тогда вторая равна 2a. Площадь прямоугольника равна $S = 2a^2= 18,$ тогда одна из сторон равна 3, а другая 6. Периметр P = 2 · 3 + 2 · 6 = 18.

Ответ: 18.

Задача 8. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. Пусть одна сторона параллелограмма и прямоугольника равна $a,$ вторая равна $\ b,$ а острый угол параллелограмма равен $\alpha .$ Тогда площадь параллелограмма равна $S=a\cdot b\cdot {\sin \alpha },$ а площадь прямоугольника равна $\ \ S_2=a\cdot b.$

По условию площадь прямоугольника вдвое больше:

${S_2=2S_1} .$ Следовательно, $a\cdot b=2a\cdot b\cdot {\sin \alpha \Leftrightarrow {\sin \alpha \ }=0,5\ }\Leftrightarrow \alpha =30{}^\circ.$

Ответ: 30.

Задача 9. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Пусть высоты равны соответственно a и b. Тогда S = 5 · a = 10 · b = 40. Поэтому a = 8, b = 4. Большая высота равна 8.

Ответ: 8.

Задача 10. Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол 30 ${}^\circ.$

Решение:

Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла ромба. С другой стороны, площадь ромба равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Пусть сторона ромба равна $a.$

Получим уравнение:

$a^2=a{\sin \alpha }.$

Корень уравнения a = 4, поэтому $S=2\ \cdot \ 4=8.$

Ответ: 8.

Задача 11. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12.

Решение:

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. $S=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 12=24.$

Ответ: 24.

Задача 12. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее периметр равен 60. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Трапеция равнобедренная, значит,

$AH=\displaystyle \frac{AB-DC}{2}=6;$

$AD=\displaystyle \frac{P_{ABCD}-\left(AB+DC\right)}{2}=10.$

Тогда по теореме Пифагора из треугольника ADH:

$DH=\sqrt{{AD}^2-{AH}^2}=8;$

$S=\displaystyle \frac{AB+CD}{2}\cdot DH=20\cdot 8=160.$

Ответ: 160.

Задача 13. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45 ${}^\circ.$

Решение:

Проведем высоту CH. Треугольник CHB — прямоугольный, в нем

$\angle B=45{}^\circ ,$ значит, он также равнобедренный, CH = HB = 4.
$S_{ABCD}=\displaystyle \frac{AB+CD}{2}\cdot CH=4\cdot 4=16.$

Ответ: 16.

Задача 14. Высота трапеции равна 5, площадь равна 75. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Выразим её из формулы площади трапеции:
$S=\displaystyle \frac{a+b}{2}\cdot h\Leftrightarrow \displaystyle \frac{a+b}{2}\cdot 5=75\Leftrightarrow \displaystyle \frac{a+b}{2}=15.$

Ответ: 15.

Задача 15. Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ выразите в градусах.

Решение:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Пусть высота равна h, тогда

$S=\displaystyle \frac{27+9}{2}\cdot h=72.$

Из этого уравнения получим: h = 4.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона трапеции, равная 8, а катетом — высота трапеции. Длина катета равна половине гипотенузы, следовательно, он лежит напротив угла ${30}^\circ.$

Ответ: 30.

Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Задача 16. Найдем площадь четырехугольника на рисунке.

Решение:

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным 5. Высоты этих треугольников равны 2 и 3. Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: $S=5+7,5=12,5.$

Ответ: 12,5.

В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Задача 17. Найдем площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной 5 и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: $S=25-5-5-4,5=10,5.$

Ответ: 10,5.

Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.

Задача 18.

Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого равна 2.

Решение:

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна $\pi R^2 =\pi,$ так как $R=1.$ Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна $2\pi R=2\pi$ (так как R = 1), а длина дуги данного сектора равна 2, следовательно, длина дуги в $\pi$ раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в $\pi$ раз меньше, чем полный круг (то есть 360 градусов). Значит, и площадь сектора будет в $\pi$ раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: 1.

Формула Пика

Покажем, как вычислять площадь фигуры, изображенной на координатной плоскости, с помощью формулы Пика.

Задача 19. Найдите площадь многоугольника АВСDE, изображенного на рисунке.

Первый способ:

Площадь многоугольника ABCDE равна сумме площадей треугольника BCD, трапеции BKDE и треугольника AKE.

Имеем:

$S_{\vartriangle BCD}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 9\cdot 2=9;$

$S_{BKDE}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot (9+3)\cdot 2=12;$

$S_{\vartriangle AKE}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6;$

$S_{ABCDE}=9+12+6=\ 27.$

Второй способ - применить формулу Пика.

Назовем точку координатной плоскости целочисленной, если обе ее координаты — целые числа. На нашем рисунке это точки на пересечениях линий, разделяющих клетчатую бумагу на клетки.

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

Здесь В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Главное — аккуратно посчитать. На нашем рисунке

В = 24 (показаны зеленым),

Г = 8 (показаны красным),

S = 24 + $\displaystyle \frac{8}{2}$ — 1 = 27.

Ответ: 27.

Все формулы по геометрии. Площади фигур

Это полезно