Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.

Изучение стереометрии начинается со знания формул. Для решения задач ЕГЭ по стереометрии нужны всего две вещи:

1. Формулы объёма — например, объём куба, объём призмы, объем пирамиды — и формулы площади поверхности.
2. Элементарная логика.

Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.

Куб	\(V=a^3\)	\(S = 6a^2,\) \(d=a\sqrt{3}, \; d\) — диагональ
Параллелепипед	\(V=S_{осн}h, \; h \) —высота
Прямоугольный параллелепипед	\(V=abc\)	\(S = 2ab+2bc+2ac;\) \(d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
Призма	\(V=S_{осн}h\)	\(S = 2S_{осн}+S_{бок}\)
Пирамида	\(V=\displaystyle \frac{1}{3}S_{осн}h\)	\(S = S_{осн}+S_{бок}\)

Проще всего найти объём куба — это куб его стороны. Вот, оказывается, откуда берётся выражение «возвести в куб».

Объём параллелепипеда тоже легко найти. Надо просто перемножить длину, ширину и высоту.

Объём призмы — это произведение площади её основания на высоту. Если в основании треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата. Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.

Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.

Некоторые задачи по стереометрии решаются вообще без формул! Например, эта.

1. Объём куба равен \(12\). Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Решение:

Обойдёмся без формул! Просто посчитайте, сколько нужно таких четырёхугольных пирамидок, чтобы сложить из них этот куб :-)

Очевидно, их 6, поскольку у куба 6 граней.

\(12:6=2.\)

Ответ: 2.

Стереометрия — это просто! Для начала выучите формулы объёма и площади поверхности многогранников и тел вращения. А дальше - читайте о приемах решения задач по стереометрии.

Разберем задачи, где требуется найти площадь поверхности многогранника.

Мы рассмотрим призмы и пирамиды. Начнем с призмы.

Площадь полной поверхности призмы можно найти как сумму площадей всех ее граней. А это площади верхнего и нижнего оснований плюс площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности призмы – это сумма площадей боковых граней, которые являются прямоугольниками. Она равна периметру основания, умноженному на высоту призмы.

\(S_{полной \; поверхности}=S_{бок}+2S_{осн}= P_{осн}\cdot h+2 S_{осн}.\)

2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение:

Многогранник на рисунке – это прямая призма с высотой \(12\).

\(S_{пов}=P_{осн}\cdot h+2 S_{осн}.\)

\(P_{осн}=8+6+6+2+2+4=28.\)

Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:

\(S_1=6\cdot 6=36\) (больший квадрат), \(S_2=2\cdot 4=8\) (маленький прямоугольник), \(S_{осн}=36+8=44.\)

Подставим все данные в формулу \(S_{пов}=P_{осн}\cdot h+2 S_{осн}\) и найдем площадь поверхности многогранника:

\(S=28\cdot12+2\cdot44=336+88=424.\)

Ответ: 424.

3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение:

Перевернем многогранник так, чтобы получилась прямая призма с высотой \(1\).

Площадь поверхности этой призмы находится по формуле:

\(S_{пов}=P_{осн}\cdot h+2 S_{осн}.\)

\(P_\text{осн}=4+5+2+1+2+4=18.\)

Найдем площадь основания. Для этого разделим его на два прямоугольника и посчитаем площадь каждого:

\(S_1=4\cdot4=16; \; S_2=2\cdot1=2\) (большой прямоугольник), \(S_{осн}=16+2=18\) (маленький прямоугольник).

Найдем площадь полной поверхности: \(S_{пов}=P_{осн}\cdot h+2 S_{осн}=18\cdot1+2\cdot18=54.\)

Ответ: 54

4. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение:

Покажем еще один способ решения задачи.

Посмотрим, как получился такой многогранник. Можно сказать, что к «кирпичику», то есть прямоугольному параллелепипеду со сторонами \(4, \; 1\) и \(3\), сверху приклеен «кубик», все стороны которого равны \(1\).

И значит, площадь поверхности данного многогранника равна сумме площадей поверхностей прямоугольного параллелепипеда со сторонами \(4, \; 1, \; 3\) и куба со стороной \(1\), без удвоенной площади квадрата со стороной \(1\):

\(S=((4+1+4+1)\cdot 3+2\cdot 4 \cdot 1)+6\cdot 1-2\cdot 1=42.\)

Почему мы вычитаем удвоенную площадь квадрата? Представьте себе, что нам надо покрасить это объемное тело. Мы красим все грани параллелепипеда, кроме квадрата на верхней его грани, где на него поставлен кубик. И у куба мы покрасим все грани, кроме этого квадрата.

Ответ: 42

5. Основание прямой призмы – треугольник со сторонами \(5\) см и \(3\) см и углом \(120^{\circ}\) между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна \(35\) см². Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение:

Пусть \(AB = 5\) см, \(BC = 3\) см, тогда \(\angle{ABC}=120^{\circ}.\)

Из \(\Delta ABC\) по теореме косинусов найдем ребро \(AC\):

\(AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC \cdot \cos120^{\circ};\)

\(AC^2=25+9-2\cdot5\cdot3\cdot\left(-\displaystyle \frac{1}{2}\right)=49, \; AC = 7.\)

Отрезок \(AC\) – большая сторона \(\Delta ABC\), следовательно, \(ACC_1A_1 \) – большая боковая грань призмы.

Поэтому \(AC\cdot CC_1=35, \) или \(7\cdot h=35, \) откуда \(h=5.\)

\(S_{бок}=P_{осн}\cdot h, \; S_{бок}=(5+3+7)\cdot5=75.\)

Ответ: 75

Теперь две задачи на площадь боковой поверхности пирамиды.

6. Основанием пирамиды \(DABC\) является треугольник \(ABC\), у которого \(AB = AC = 13, \; BC = 10\); ребро \(AD\) перпендикулярно к плоскости основания и равно \(9\). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Площадь боковой поверхности пирамиды – это сумма площадей всех ее боковых граней.

Проведем \(AK\perp BC\), тогда \(BC \perp DK\) (по теореме о 3-х перпендикулярах), то есть \(DK\) – высота треугольника \(DBC\).

\(\Delta ABC\) – равнобедренный (по условию \(AB = AC\)), то высота \(AK\), проведенная к основанию \(BC\), является и медианой, то есть \(BK = KC = 5.\)

Из прямоугольного \(\Delta ABK\) получим:

\(AK=\sqrt{AB^2-BK^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12.\)

Из прямоугольного \(\Delta DAK\) имеем:

\(DK=\sqrt{DA^2+AK^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15.\)

\(\Delta ADB=\Delta ADC \) (по двум катетам), тогда \(S_{ADB}=S_{ADC},\) следовательно

\(S_{бок}=2S_{ADB}+S_{BDC}, \; S_{бок}=2\cdot\displaystyle \frac{1}{2}\cdot13\cdot9+\frac{1}{2}\cdot10\cdot15=117+75=192.\)

Ответ: 192

7. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны \(24\), боковые ребра равны \(37\). Найдите площадь поверхности пирамиды.

Решение:

Так как четырехугольная пирамида правильная, то в основании лежит квадрат, а все боковые грани - равные равнобедренные треугольники.

Площадь поверхности пирамиды равна

\(S=S_{бок}=+S_{осн}=p\cdot h+a^2,\) где \(p\) – полупериметр основания, \(h\) - апофема (высота боковой грани правильной пирамиды), \(a\) – сторона основания.

Значит, полупериметр основания \(p = 24 \cdot 2 = 48\).

Апофему найдем по теореме Пифагора:

\(h=\sqrt{37^2-12^2}=\sqrt{(37-12)(37+12)}=\sqrt{25\cdot49}=5\cdot7=35.\)

\(S = 48\cdot 35+24^2=1680+576=2256.\)

Ответ: 2256

Как решать задачи на нахождение объема многогранника сложной формы?

Покажем два способа.

Первый способ.

1.Составной многогранник достроить до полного параллелепипеда или куба.

2.Найти объем параллелепипеда.

3.Найти объем лишней части фигуры.

4.Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.

Второй способ.

1.Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.

2.Найти объем каждого параллелепипеда.

3.Сложить объемы.

8. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение:

1) Достроим составной многогранник до параллелепипеда.

2) Найдем объем параллелепипеда – для этого перемножим его длину, ширину и высоту: \(V=9\cdot 4\cdot10=360.\)

3) Найдем объем лишней части, то есть маленького параллелепипеда.

Его длина равна \(9 - 4 = 5\), ширина \(4\), высота \(7\), тогда его объем \(V_1=5\cdot4\cdot7=140.\)

4) Вычтем из объема параллелепипеда объем лишней части и получим объем заданной фигуры:

\(V=360-140=220.\)

Ответ: 220.

9. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами \(6\) и \(7\), боковое ребро равно \(6\). Найдите объем призмы.

Решение:

Объем призмы равен \(V=S_{осн}\cdot h\), а так как призма прямая, то ее боковое ребро является и высотой, то есть \(h=6.\)

Основанием призмы является прямоугольный треугольник c катетами \(6\) и \(7\), тогда площадь основания

\(S_{осн}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot ab=\frac{1}{2}\cdot6\cdot7=21.\)

\(V=21\cdot6=126.\)

Ответ: 126

10. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает \(324\) см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой сосуд, у которого сторона в 9 раз больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение:

Объем призмы равен \(V = S_{осн}\cdot h.\)

Воду перелили в другой такой же сосуд. Это значит, что другой сосуд также имеет форму правильной треугольной призмы, но все стороны основания второго сосуда в 9 раз больше, чем у первого.

Основанием второго сосуда также является правильный треугольник. Он подобен правильному треугольнику в основании первого сосуда. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Если все стороны треугольника увеличить в 9 раз, его площадь увеличится в \(9^2 = 81\) раз. Мы получили, что площадь основания второго сосуда в 81 раз больше, чем у первого.

Объем воды не изменился, \(V=S_1\cdot h_1=S_2 \cdot h_2.\)

Так как \(S_2=81S_1,\) высота воды \(h_2\) должна быть в 81 раз меньше, чем \(h_1.\) Она равна \(324:81 = 4\) (см).

Ответ: 4

11. Объем параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равен \(21\). Найдите объем треугольной пирамиды \(ABDA_1.\)

Решение:

Опустим из вершины \(A_1\) высоту \(A_1H\) на основание \(ABCD.\)

\(V_{параллелепипеда} = S_{осн}\cdot h=S_{ABCD}\cdot A_1H.\)

\(V_{пирамиды} =\displaystyle \frac{1}{3}S_{осн}\cdot h=\frac{1}{3}S_{ABD}\cdot A_1H.\)

Диагональ основания делит его на два равных треугольника, следовательно, \(S_{ABD}=\displaystyle \frac{1}{2}S_{ABCD}.\)

Имеем:

\(ABDA_1=\displaystyle \frac{1}{3}S_{ABD}\cdot A_1H=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}S_{ABCD}\cdot A_1H=\frac{1}{6}V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=\frac{1}{6}\cdot21=3,5.\)

Ответ: 3,5

12. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны \(8\), а высота равна \(6\sqrt{3}.\)

Решение:

По формуле объема пирамиды, \(V_{пирамиды} = \displaystyle \frac{1}{3}S_{осн}\cdot h\).

В основании пирамиды лежит правильный треугольник. Его площадь равна \(S_{осн}=\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\)

\(S_{осн}=\displaystyle \frac{8^2\sqrt{3}}{4}=\frac{64\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}.\)

Объем пирамиды \(V=\displaystyle \frac{1}{3}\cdot16\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3}=16\cdot6=96.\)

Ответ: 96

13. Через середины сторон двух соседних ребер основания правильной четырехугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем меньшей из частей, на которые эта плоскость делит призму, если объем призмы равен \(32\).

Решение:

По условию, призма правильная, значит, в ее основании лежит квадрат, а высота равна боковому ребру.

Пусть \(AD=x,\) тогда \(S_{осн}=x^2.\)

Так как точки \(M\) и \(K\) – середины \(AD\) и \(DC\) соответственно, то \(DM=DK=\displaystyle \frac{x}{2}.\)

\(S_{MDK}=\displaystyle \frac{1}{2}MD\cdot DK=\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{x}{2}=\frac{1}{8}x^2.\)

Площадь треугольника \(MDK\), лежащего в основании новой призмы, составляет \(\displaystyle \frac{1}{8}\) часть площади квадрата в основании исходной призмы.

Высоты обеих призм одинаковые. Согласно формуле объема призмы: \(V=S_{осн}\cdot h\), и значит, объем маленькой призмы в 8 раз меньше объема большой призмы. Он равен \(32:8=4.\)

Ответ: 4

Докажем полезную теорему.

Теорема: Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Доказательство:

Плоскость перпендикулярного сечения призмы перпендикулярна к боковым ребрам, поэтому стороны перпендикулярного сечения призмы являются высотами параллелограммов.

\(S=a_1l+a_2l+\dots+a_nl,\)

\(S=(a_1+a_2+\dots+a_n)l,\)

\(S=P_{\perp}\cdot l.\)

Больше задач на формулы объема и площади поверхности здесь.