Формулы приведения

Применять формулы приведения - легко! Их не надо зубрить наизусть. И не надо тащить на экзамен шпаргалки, рискуя спалиться. Надо всего лишь запомнить два правила, о которых вы узнаете, посмотрев этот ролик. Это так просто, что даже лошадка поймет!

Часто в задачах встречаются выражения вида \(\displaystyle \cos \left(x+\frac{3 \pi }{2}\right),\) \(\displaystyle \sin\left (\frac{ \pi }{2}-x\right),\) \(\displaystyle tg \left(x+\frac{ \pi }{2}\right),\) а также \(\sin(x+ \pi )\) или \(\cos ( \pi -x)\) — то есть такие, где к аргументу прибавляется нечетное число, умноженное на \(\displaystyle \frac{ \pi }{2},\) или целое число, умноженное на \(\pi .\) Они упрощаются с помощью формул приведения.

Запомните: формулы приведения, от слова «привести». К привидениям, то есть к призракам и прочим глюкам, эти формулы отношения не имеют.

Эти формулы называются так потому, что с их помощью можно привести выражения к более простым.

Например, 

\(\displaystyle \cos\left(x+\frac{3 \pi }{2}\right)=\sin x, \)

\(\displaystyle \sin\left (\frac{ \pi }{2}-x\right)=\cos x, \)

\(\displaystyle tg\left (x+\frac{ \pi }{2}\right)=-ctg x, \)

\(\displaystyle \sin\left(x+ \pi \right)=-\sin x,\)

\(\displaystyle \cos\left( \pi -x\right)=-\cos x. \)

Зубрить наизусть формулы приведения не нужно. Достаточно знать правило, состоящее из двух пунктов.

1) Если в тригонометрической формуле к аргументу прибавляется (или вычитается из него) \(\displaystyle \frac{ \pi }{2},\;\frac{3 \pi }{2},\;\frac{7 \pi }{2}\) — в общем, угол, лежащий на вертикальной оси, — функция меняется на кофункцию. Синус меняется на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс и наоборот.

Если же мы прибавляем или вычитаем \(\displaystyle \pi ,\; 3\pi , \;5\pi \) — в общем, то, что лежит на горизонтальной оси, — функция на кофункцию не меняется.

Это легко запомнить. Если прибавляемый угол лежит на вертикальной оси — вертикально киваем головой, говорим: «Да, да, меняется функция на кофункцию». Если прибавляемый угол лежит на горизонтальной оси — горизонтально мотаем головой, говорим: «Нет, нет, не меняется функция на кофункцию».

Это первая часть правила. Теперь вторая.

2) Знак получившегося выражения такой же, каким будет знак тригонометрической функции в левой его части, при условии, что аргумент мы берем из первой четверти.

Упростим, например, выражение \(\displaystyle {\cos \left(x+\frac{ \pi }{2}\right)}.\) Функция меняется на кофункцию — и в результате получится синус. Взяв \(x\) из первой четверти и прибавив к нему \(\displaystyle \frac{ \pi }{2},\) попадем во вторую четверть. Во второй четверти косинус отрицателен. Значит, получится \(-\sin x.\)

Посмотрим, как формулы приведения применяются в задачах ЕГЭ по математике.

1. Найдите значение выражения: \(\displaystyle \frac{11{cos 28^\circ }}{{\sin 62^\circ }}.\)

Решение:

\(
\displaystyle \frac{11{\cos 28^\circ }}{{\sin 62^\circ }}=\displaystyle \frac{11{\cos \left(90^\circ -62^\circ \right)}}{{\sin 62^\circ }}=\displaystyle \frac{11{\sin 62^\circ }}{{\sin 62^\circ }}=11. \)

Ответ: 11.

2. Вычислите: \(4tg18^\circ \cdot tg72^\circ .\)

Решение:

\(4tg18^\circ \cdot tg72^\circ =4tg18^\circ \cdot tg\left(90^\circ -18^\circ \right)=4tg18^\circ \cdot ctg18^\circ =4. \)

Ответ: 4.

3. Вычислите: \(\displaystyle \frac{12}{{\sin \left(-\displaystyle \frac{25 \pi }{4}\right){\cos \left(\displaystyle \frac{23 \pi }{4}\right)}}}. \)

Решение:

\(\displaystyle \frac{12}{{\sin \left(-\displaystyle \frac{25 \pi }{4}\right){\cos \left(\displaystyle \frac{23 \pi }{4}\right)}}}=\displaystyle \frac{12}{-{\sin \left(6 \pi +\displaystyle \frac{ \pi }{4}\right)\cdot {\cos \left(6 \pi -\displaystyle \frac{ \pi }{4}\right)}}}=-\displaystyle \frac{12}{{\sin \displaystyle \frac{ \pi }{4}\cdot {\cos \displaystyle \frac{ \pi }{4}}}}=\)

\(=-\displaystyle \frac{12}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}=-24. \)

Мы упростили выражения в скобках.

\(\displaystyle \frac{23 \pi }{4}=\displaystyle \frac{24 \pi }{4}-\displaystyle \frac{ \pi }{4}=6 \pi -\displaystyle \frac{ \pi }{4}. \)

\(\displaystyle \frac{25 \pi }{4}=6 \pi +\displaystyle \frac{ \pi }{4}. \)

Ответ: - 24.

4. Найдите значение выражения: \(\displaystyle \frac{2{\sin 152^\circ }}{{cos 76^\circ \cdot {cos 14^\circ }}}.\)

Решение:

\(\displaystyle \frac{2{\sin 152^\circ }}{{\cos 76^\circ \cdot {\cos 14^\circ }}}=\displaystyle \frac{4{\sin 76^\circ \cdot {\cos 76^\circ }}}{{\cos 76^\circ \cdot {\cos 14^\circ }}}=\displaystyle \frac{4{\sin 76^\circ }}{{\cos 14^\circ }}=\displaystyle \frac{4{\sin \left(90^\circ -14^\circ \right)}}{{\cos 14^\circ }}=\displaystyle \frac{4{\cos 14^\circ }}{{\cos 14^\circ }}=4 .\)

Ответ: 4.

5. Упростите выражение: \(\displaystyle \frac{3\cos \left( \pi - \beta \right)+{sin \left(\displaystyle \frac{ \pi }{2}+ \beta \right)}}{{\cos \left( \beta +3 \pi \right)}}.\)

Решение:

\(\displaystyle \frac{3{\cos \left( \pi - \beta \right)+{\sin \left(\displaystyle \frac{ \pi }{2}+ \beta \right)}}}{{\cos \left( \beta +3 \pi \right)}}=\displaystyle \frac{-3{\cos \beta +{\cos \beta }}}{-{\cos \beta }}=\displaystyle \frac{-2{\cos \beta }}{-{\cos \beta }}=2 .\)

Ответ: 2.

6. Найдите значение выражения: \(\displaystyle \frac{3{\cos \left(-3\pi -\beta \right)\ }+{\sin \left(\displaystyle \frac{\pi }{2}+\beta \right)\ }}{5{\cos \left(\beta +3\pi \right)\ }}.\)

Решение:

Используя формулы приведения, получим

\(\displaystyle \frac{3{\cos \left(-3\pi -\beta \right)\ }+{\sin \left(\displaystyle \frac{\pi }{2}+\beta \right)\ }}{5{\cos \left(\beta +3\pi \right)\ }}=\displaystyle \frac{-3{\cos \beta +{\cos \beta \ }\ }}{-5{\cos \beta \ }}=\displaystyle \frac{-2{\cos \beta \ }}{-5{\cos \beta }}=0,4.\)

Ответ: 0,4.

7. Найдите значение выражения: \(12\sqrt{2} cos \left(-225{}^\circ \right).\)

Решение:

\(12\sqrt{2}\cdot cos \left(-225{}^\circ\right)=12\sqrt{2}\cdot cos \left(180{}^\circ +45{}^\circ \right)=-12\sqrt{2}\cdot cos 45{}^\circ =-12\sqrt{2}\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=-12.\)

Снова формула приведения.

Ответ: -12.

8. Найдите значение выражения: \(\displaystyle \frac{35{\cos 11{}^\circ \ }}{{\sin 79{}^\circ \ }}+7.\)

Решение:

\(\displaystyle \frac{35{\cos 11{}^\circ \ }}{{\sin 79{}^\circ \ }}+7=\displaystyle \frac{35{\cos 11{}^\circ \ }}{{\sin \left(90{}^\circ -11{}^\circ \right)\ }}+7=\displaystyle \frac{35{\cos 11{}^\circ \ }}{{\cos 11{}^\circ \ }}+7=35+7=42.\)

Мы применили одну из формул приведения.

Ответ: 42.

9. Найдите значение выражения: \(\displaystyle \frac{38}{{{\sin}^2 51{}^\circ \ }+3+{{\sin}^2 141{}^\circ \ }}.\)

Решение:

Воспользуемся формулами приведения:

\(\displaystyle \frac{38}{{{\sin}^2 51{}^\circ +3+{{\sin}^2 141{}^\circ \ }\ }}=\displaystyle \frac{38}{{{\sin}^2 51{}^\circ +3+{{\sin}^2 \left(90{}^\circ +51{}^\circ \right)\ }\ }}=\)

\(=\displaystyle  \frac{38}{sin^{2}51^{\circ }+3+cos^{2}51^{\circ }}=\displaystyle \frac{38}{4}=9,5.\)

Также мы применили основное тригонометрическое тождество. Сумма квадратов синуса и косинуса угла альфа равна единице.

Ответ: 9,5.