Часто в задачах по геометрии требуется посчитать площадь фигуры. Для этого надо знать формулы площадей треугольника, квадрата, ромба, других фигур.
Начнем с квадрата.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.
Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Она также равна произведению его сторон на синус угла между ними.
Для площади треугольника есть целых 5 формул. И все они применяются в задачах ЕГЭ.
1) Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
\(S=\displaystyle \frac{1}{2}ah_a=\displaystyle \frac{1}{2}bh_b=\displaystyle \frac{1}{2}ch_c.\)
2) Она также равна половине произведения его сторон на синус угла между ними:
\(S=\displaystyle \frac{1}{2}ab{\sin C=\displaystyle \frac{1}{2}ac{\sin B=}}\displaystyle \frac{1}{2}bc{\sin A}.\)
3) По формуле Герона, \(S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)},\) где \(p=\displaystyle \frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\) полупериметр.
4) Также площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радис вписанной окружности, \( S = pr.\)
5) Еще один способ. Площадь треугольника равна произведению его сторон, деленному на 4 радиуса описанной окружности, \(S=\displaystyle \frac{abc}{4R}.\)
Есть и другие формулы для площади треугольника. Но для решения заданий ЕГЭ, и первой, и второй части, достаточно этих пяти.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Она также равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к этой гипотенузе:
\(S=\displaystyle \frac{1}{2}ab=\displaystyle \frac{1}{2}ch\)
Площадь правильного треугольника равна квадрату его стороны, умноженному на \(\sqrt{3}\) и деленному на 4:
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, \(S=\displaystyle \frac{a+b}{2}\cdot h.\)
Также можно сказать, что площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту, \(S=m\cdot h\)
Площадь произвольного четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, \(S=\displaystyle \frac{1}{2}AC\cdot BD\cdot {\sin \alpha }\)
Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла ромба. Она также равна половине произведения диагоналей:
Площадь круга равна произведению числа \(\pi \) и квадрата радиуса круга.
Ее также можно записать как произведение числа \(\pi \) и квадрата диаметра круга, деленного на 4:
Вспомним важные свойства площадей фигур.
Пример. Найдем площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки \(1\) см \(\times 1\) см.
Решение:
Найдем площадь фигуры на рисунке как сумму площадей нескольких фигур.
На рисунке это три треугольника и трапеция, указаны их площади. Тогда площадь фигуры равна \(10 + 3,5 + 1,5 + 3 = 18.\)
Ответ: 18.
3. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
Треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) на рисунке называются подобными.
У треугольника \(A_1B_1C_1\) все стороны в k раз длиннее, чем у треугольника \(ABC\). Высота треугольника \(A_1B_1C_1\) в \(k\) раз длиннее, чем высота треугольника \(ABC\). Тогда площадь треугольника \(A_1B_1C_1\) в \(k^2\) раз больше, чем площадь треугольника \(ABC\).
4. На рисунке показаны треугольники \(ABC\) и \(BCD\), имеющие общую высоту. Отношение площадей этих треугольников равно отношению \(AC\) к \(CD\):
\(\displaystyle \frac{S_{ABC}}{S_{BCD}}=\displaystyle \frac{AC}{CD}\)
5. Треугольники \(ABC\) и \(AEC\) на рисунке имеют одинаковое основание и разные высоты.
Отношение площадей этих треугольников равно отношению их высот:
\(\displaystyle \frac{S_{ABC}}{S_{AEC}}=\displaystyle \frac{BD}{EH}.\)
6. Медиана треугольника делит его на два равновеликих, то есть равных по площади, треугольника.
На рисунке \(CM\) — медиана треугольника \(ABC\). Площади треугольников \(ACM\) и \(BCM\) равны.
7. Три медианы треугольника делят его на шесть равных по площади треугольников.
На рисунке все 6 треугольников, из которых состоит треугольник \(ABC\), имеют равные лощади.
Задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Площади фигур
1. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен \({30}^\circ.\)
Решение:
Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними. Поэтому
\(S=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 8\cdot 12\cdot {\sin 30{}^\circ =\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 8\cdot 12\cdot \displaystyle \frac{1}{2}=24}.\)
Ответ: 24.
2. Площадь треугольника \(ABC\) равна 4, \(DE\) — средняя линия, параллельная стороне \(AB\). Найдите площадь треугольника \(CDE\).
Решение:
Так как \(DE\) и \(AB\) параллельны, треугольники \(CDE\) и \(CAB\) подобны с коэффициентом подобия \(\displaystyle \frac{1}{2}.\)
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Тогда \(S=\displaystyle \frac{1}{4}\cdot 4=1.\)
Ответ: 1.
3. У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?
Решение:
Выразим площадь двумя способами:
\(S_{ABC}=\displaystyle \frac{1}{2}CH\cdot AB=\displaystyle \frac{1}{2}AK\cdot CB.\)
Тогда \(AK=\displaystyle \frac{CH\cdot AB}{CB}=\displaystyle \frac{4\cdot 9}{6}=6.\)
Ответ: 6.
4. Площадь треугольника \(ABC\) равна 10, \(DE\) — средняя линия, параллельная стороне \(AB\). Найдите площадь трапеции \(ABED\).
Решение:
Треугольник \(CDE\) подобен треугольнику \(SAB\) с коэффициентом \(\displaystyle \frac{1}{2}.\)
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому \(S_{CDE}=\displaystyle \frac{1}{4}\cdot 10=2.5.\)
Следовательно, \(S_{трапеции}=S_{ABC}-S_{CDE}=10-2,5=7,5.\)
Ответ: 7,5.
5. В параллелограмме \(ABCD \ AB = 3, \ AD = 21, \ {\sin A=\displaystyle \frac{6}{7}}.\) Найдите большую высоту параллелограмма.
Решение:
Большая высота — это \(DH\), потому что проведена к меньшей стороне. Из треугольника \(ADH\):
\(DH=AD{\sin A=21\cdot \displaystyle \frac{6}{7}=3\cdot 6=18\ }.\)
Ответ: 18.
6. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.
Решение:
Квадрат — это частный случай ромба. Площадь квадрата равна половине произведения его диагоналей. Поэтому она равна 0,5.
Ответ: 0,5.
7. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 18, а отношение соседних сторон равно 1:2.
Решение:
Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Периметр прямоугольника равен сумме длин всех сторон.
Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, тогда вторая равна 2a.
Площадь прямоугольника равна \(S = 2a^2= 18,\) тогда одна из сторон равна 3, а другая 6.
Периметр \(P = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 6 = 18.\)
Ответ: 18.
8. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину.
Пусть одна сторона параллелограмма и прямоугольника равна \(a,\) вторая равна \(b,\) а острый угол параллелограмма равен \(\alpha .\) Тогда площадь параллелограмма равна \(S=a\cdot b\cdot {\sin \alpha },\) а площадь прямоугольника равна \(S_2=a\cdot b.\)
По условию площадь прямоугольника вдвое больше: \({S_2=2S_1} .\)
Следовательно, \(a\cdot b=2a\cdot b\cdot {\sin \alpha \Leftrightarrow {\sin \alpha }=0,5}\Leftrightarrow \alpha =30{}^\circ. \)
Ответ: 30.
9. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.
Решение:
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию.
Пусть высоты равны соответственно \(a\) и \(b.\) Тогда \(S = 5 \cdot a = 10 \cdot b = 40.\) Поэтому \( a = 8, \ b = 4.\) Большая высота равна 8.
Ответ: 8.
10. Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол 30\({}^\circ.\)
Решение:
Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла ромба. С другой стороны, площадь ромба равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Пусть сторона ромба равна \(a.\)
Получим уравнение: \(a^2=a{\sin \alpha }.\)
Корень уравнения \(a = 4\), поэтому \(S=2\cdot 4=8.\)
Ответ: 8.
11. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12.
Решение:
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. \(S=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 12=24.\)
Ответ: 24.
12. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее периметр равен 60. Найдите площадь трапеции.
Решение:
Трапеция равнобедренная, значит,
\(AH=\displaystyle \frac{AB-DC}{2}=6;\)
\(AD=\displaystyle \frac{P_{ABCD}-\left(AB+DC\right)}{2}=10.\)
Тогда по теореме Пифагора из треугольника \(ADH:\)
\(DH=\sqrt{{AD}^2-{AH}^2}=8;\)
\(S=\displaystyle \frac{AB+CD}{2}\cdot DH=20\cdot 8=160.\)
Ответ: 160.
13. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол \(45{}^\circ.\)
Решение:
Проведем высоту \(CH\). Треугольник \(CHB\) — прямоугольный, в нем
\(\angle B=45{}^\circ ,\) значит, он также равнобедренный, \(CH = HB = 4.\)
\(S_{ABCD}=\displaystyle \frac{AB+CD}{2}\cdot CH=4\cdot 4=16.\)
Ответ: 16.
14. Высота трапеции равна 5, площадь равна 75. Найдите среднюю линию трапеции.
Решение:
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Выразим её из формулы площади трапеции:
\(S=\displaystyle \frac{a+b}{2}\cdot h\Leftrightarrow \displaystyle \frac{a+b}{2}\cdot 5=75\Leftrightarrow \displaystyle \frac{a+b}{2}=15.\)
Ответ: 15.
15. Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ выразите в градусах.
Решение:
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Пусть высота равна \(h\), тогда \(S=\displaystyle \frac{27+9}{2}\cdot h=72.\)
Из этого уравнения получим: \(h = 4.\)
Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона трапеции, равная 8, а катетом — высота трапеции. Длина катета равна половине гипотенузы, следовательно, он лежит напротив угла \({30}^\circ.\)
Ответ: 30.
Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.
16. Найдем площадь четырехугольника на рисунке.
Решение:
Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным 5. Высоты этих треугольников равны 2 и 3. Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: \(S=5+7,5=12,5.\)
Ответ: 12,5.
В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.
17. Найдем площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге.
Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной 5 и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: \(S=25-5-5-4,5=10,5.\)
Ответ: 10,5.
Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.
18. Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого равна 2.
Решение:
На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна \( \pi R^2 =\pi,\) так как \(R=1.\) Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна \(2\pi R=2\pi\) (так как \(R = 1\)), а длина дуги данного сектора равна 2, следовательно, длина дуги в \(\pi\) раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в \(\pi\) раз меньше, чем полный круг (то есть 360 градусов). Значит, и площадь сектора будет в \(\pi\) раз меньше, чем площадь всего круга.
Ответ: 1.
Формула Пика
Покажем, как вычислять площадь фигуры, изображенной на координатной плоскости, с помощью формулы Пика.
19. Найдите площадь многоугольника \(ABCDE\), изображенного на рисунке.
Первый способ:
Площадь многоугольника \(ABCDE\) равна сумме площадей треугольника \(BCD\), трапеции \(BKDE\) и треугольника \(AKE\).
Имеем:
\(S_{\vartriangle BCD}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 9\cdot 2=9;\)
\(S_{BKDE}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot (9+3)\cdot 2=12;\)
\(S_{\vartriangle AKE}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6;\)
\(S_{ABCDE}=9+12+6=27.\)
Второй способ - применить формулу Пика.
Назовем точку координатной плоскости целочисленной, если обе ее координаты — целые числа. На нашем рисунке это точки на пересечениях линий, разделяющих клетчатую бумагу на клетки.
Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна
\(S=B+\displaystyle\frac{Г}{2}-1.\)
Здесь В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.
Главное — аккуратно посчитать. На нашем рисунке
\(В = 24\) (показаны зеленым),
Г \(= 8\) (показаны красным),
\(S = 24 + \displaystyle \frac{8}{2}- 1 = 27.\)
Ответ: 27.
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
