Логарифмическая функция

Вспомним, что \(log_{a}b\) (логарифм числа \(b\) по основанию \(a\)) — это показатель степени, в которую нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\). При этом \(b > 0\), \(a > 0\), \(a\neq  1\).

Зафиксируем некоторое основание \(a\). Тогда каждому положительному числу \(x\) можно поставить в соответствие число \(log_{a}x\) — показатель степени, в которую нужно возвести \(a\), чтобы получить \(x\). Иными словами, можно задать логарифмическую функцию \(y = log_{a}x\).

Пусть \(a=2\). Построим график функции \(y = log_{2}x\).

Функция монотонно возрастает:

Теперь возьмём \(a=\displaystyle\frac{1}{2}\) и построим график функции \(y=log_{\frac{1}{2}}x\).

Функция монотонно убывает:

Эти два графика полностью отражают поведение логарифмической функции при различных значениях \(a\). Сформулируем важнейшие свойства логарифмической функции \(y=log_{a}x\).

\(1.\) Область определения — все положительные числа: \(D(y) = (0; +\infty ).\)

\(2.\) Область значений — все действительные числа: \(E(y) = (-\infty ; +\infty).\)

\(3.\) Поскольку \(log_{a}1=0\), график проходит через точку \((1; 0).\)

\(4.\) Функция монотонно возрастает при \(a > 1\) и монотонно убывает при \(0 < a < 1:\)

Заметим, что тем же свойством обладает и показательная функция \(y=a^{x}\): она также возрастает при \(a > 1\) и убывает при \(0 < a < 1\). Это, разумеется, не случайно.

Возьмём, к примеру, \(a > 1\) и изобразим на одном чертеже графики данных функций:

Мы видим, что имеется сходство формы графиков: они как будто нарисованы по одному шаблону (просто шаблон по-разному расположен на координатной плоскости). На самом деле наши графики симметричны относительно прямой \(y = x\) — они являются зеркальным отражением друг друга!

Та же осевая симметрия относительно прямой \(y = x\) имеет место и в случае \(0 < a < 1:\)

Данная симметрия проявляется ещё и в том, что область определения логарифмической функции является областью значений показательной функции, и наоборот.

Логарифмическая функция \(y = log_{a}x\) и показательная функция \(y=a^{x}\) являются обратными друг к другу.

Но вернёмся к логарифмам. Мы обещали рассказать об их практическом значении. Где их можно встретить?

Оказывается, для этого далеко ходить не надо.

Наши органы чувств «сконструированы» так, что могут работать в широчайших диапазонах. Световые потоки от Солнца, от электрической лампочки и от далёких звёзд различаются на несколько порядков. Но мы видим и яркое солнце, и едва заметные звёзды. Мы слышим шорох листьев и грохот грома, а ведь интенсивность этих звуков также различается в миллиарды раз.

Как это происходит? Дело в том, что глаз и ухо воспринимают именно логарифм величины внешнего воздействия. Это закон Вебера-Фехнера, или основной психофизический закон: интенсивность воспринимаемого нами ощущения пропорциональна логарифму силы раздражения. Например, при увеличении звукового давления в \(10\) раз нам кажется, что громкость возросла вдвое.

Подробнее о логарифмической шкале наших ощущений можно почитать в статье «Чувств наших логарифмы» (журнал «Вокруг света», №10, 2010).