Мы знаем, как решать уравнения вида: \(2^{x}=8\). Там всё ясно: \(x= 3\).
А теперь рассмотрим уравнение \(2^{x}=7\).
По графику функции \(y=2^{x}\) мы видим, что это уравнение имеет корень, и притом единственный.
Ясно, что этот корень — не целое число (так как \(2^{2}=4, 2^{3}=8\)). Более того, оказывается, что он не является даже рациональным числом, т. е. не представляется в виде обыкновенной дроби. Интуитивно мы чувствуем лишь, что он меньше 3, но не намного.
Этот корень обозначается \(log_{2}7\) (читается: «логарифм семи по основанию два»). Он является иррациональным числом, т. е. бесконечной непериодической десятичной дробью. Калькулятор даёт: \(log_{2}7=2,807354922057604107...\)
Итак, наше число \(log_{2}7\) — это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.
Теперь дадим общее определение логарифма. Пусть \(a> 0\) и \(a\neq 1\) (условия те же, что и для основания показательной функции).
Определение. Логарифм положительного числа \(b\) по основанию \(a\) (обозначается \(log_{a}b\)) — это показатель степени, в которую надо возвести \(a\), чтобы получить \(b\).
Иными словами,
\(log_{a}b=x\Leftrightarrow a^{x}=b\).
Например
\(log_{2}8=3\), так как \(2^{3}=8\);
\(log_{7}49=2\), так как \(7^{2}=49\);
\(log_{5}\displaystyle \frac{1}{5}=-1\), так как \(5^{-1}=\frac{1}{5}\);
\(log_{3}\sqrt{3}=\displaystyle \frac{1}{2}\), так как \(3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\).
Логарифм \(c\) основанием \(10\) называется десятичным и обозначается \(lg\). Например, \(lg100 = 2\), \(lg 1000 = 3\), \(lg 0,01 = −2\).
Логарифм \(с\) основанием \(e\) называется натуральным и обозначается \(ln\).
Обратите внимание: логарифм определён только для положительных чисел. Причина заключается в том, что показательная функция может принимать лишь положительные значения. Например, число \(log_{2}(-4)\) не существует: в какую бы степень мы ни возводили 2, мы никогда не получим −4.
Не забывайте также про ограничения на основание логарифма: \(0< a< 1\) или \(a> 1\).
Основные формулы
По определению,\(log_{a}b\) — это показатель степени, в которую надо возвести число \(a\), чтобы получить число \(b\):
| \(a^{log_{a}b}=b.\) | (1) |
Формула (1) называется основным логарифмическим тождеством.
Вот еще один вариант записи основного логарифмического тождества:
\(log_{a}a^{x}=x.\)
Перечислим свойства логарифмов. Они являются простыми следствиями правил действия со степенями. Все логарифмы ниже считаются определёнными.
Логарифм произведения — это сумма логарифмов:
| \(log_{a}(bc)=log_{a}b+log_{a}c.\) | (2) |
Логарифм частного — это разность логарифмов:
| \(log_{a}\displaystyle \frac{b}{c}=log_{a}b-log_{a}c.\) | (3) |
Показатель степени логарифмируемого числа «спрыгивает» перед логарифмом:
| \(log_{a}b^{m}=mlog_{a}b.\) | (4) |
Показатель степени основания логарифма тоже «спрыгивает», но в виде обратного числа:
| \(log_{a^{n}}b=\displaystyle \frac{1}{n}log_{a}b.\) | (5) |
Формулы (4) и (5) вместе дают:
| \(log_{a^{n}}b^{m}=\displaystyle \frac{m}{n}log_{a}b.\) | (6) |
В частности, если \(m = n\), мы получаем формулу:
| \(log_{a^{n}}b^{n}=log_{a}b.\) | (7) |
Например, \(log_{4}9=log_{2^{2}}3^{2}=log_{2}3.\).
Наконец, важнейшая формула перехода к новому основанию:
| \(log_{a}b=\displaystyle \frac{log_{c}b}{log_{c}a}.\) | (8) |
В частности, если \(c = b\), то \(log_{b}b=1\), и тогда:
| \(log_{a}b=\displaystyle \frac{1}{log_{b}a}.\) | (9) |
Приведём несколько примеров из банка заданий.
1. \(log_{3}8,1+log_{3}10=log_{3}(8,1\cdot 10)=log_{3}81=4\) (применили формулу (2) суммы логарифмов).
2. \(8^{2log_{8}3}=(8^{log_{8}3})^{2}=3^{2}=9\) (применили основное логарифмическое тождество(1)).
3. \(log^{2}_{\sqrt{7}}49=(log_{\sqrt{7}}49)^{2}=(log_{\sqrt{7}}7^{2})^{2}=(2log_{\sqrt{7}}7)^{2}=(2\cdot 2)^{2}=16\) (применили формулу (4)).
4. \(log_{0,8}3\cdot log_{3}1,25=log_{0,8}3\cdot\displaystyle \frac{log_{0,8}1,25}{log_{0,8}3}=log_{0,8}1,25=log_{\frac{4}{5}}\displaystyle\frac{5}{4}=-1\) (применили формулу (8), перейдя к новому основанию 0,8).
5. \(\displaystyle\frac{9^{log_{5}50}}{9^{log_{5}2}}=9^{log_{5}50-log_{5}2}=9^{log_{5}25}=9^{2}=81 \) (применили формулу (3) разности логарифмов).
Немного истории
Теперь вы поняли, что такое логарифмы и как ими пользоваться. Но для чего они всё-таки нужны? Или это просто такая математическая игрушка с хитрой инструкцией по применению?
Понятие логарифма и логарифмические таблицы появились в 17 веке, и значение их было огромно.
Это в наши дни вычисления не представляют труда — у каждого есть калькулятор. А как считали в «докомпьютерные» времена?
Складывать и вычитать можно было на счётах, а вот умножать и делить приходилось «в столбик» — медленно и трудно.
В 15–17 веках, в эпоху великих географических открытий, стали бурно развиваться торговля, экономика и наука. Требования к математике росли: расчёты становились более сложными, а точность — например, для решения навигационных задач — нужна была всё более высокая.
Необходим был инструмент, позволяющий упростить и ускорить расчёты, и таким инструментом явились логарифмы.
Предположим, что \(b\) и \(c\) — большие числа, которые надо перемножить. Появление таблиц логарифмов (например, с основанием 10) существенно упростило эту задачу. Теперь вычислителю достаточно было найти по таблицам десятичные логарифмы чисел \(b\) и \(c\), сложить их (на счётах) и получить логарифм произведения: \(lgb + lgc = lg(bc)\).
А затем по таблице логарифмов найти само произведение чисел \(b\) и \(c\).
Недаром французский математик и астроном Лаплас сказал, что изобретение логарифмов удлинило жизнь вычислителей. Логарифмическая линейка (которой инженеры пользовались до 70-х годов двадцатого века) была не менее прогрессивным изобретением, чем современный калькулятор.
Но это еще не всё! Мы не занимались бы логарифмами, если бы они имели лишь историческую, «музейную» ценность. О неожиданных применениях логарифмов мы расскажем в следующей статье, посвящённой логарифмической функции.
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
