Метод оценки, или Эсхил и черепаха

Апорию Зенона об Ахиллесе и черепахе знают все. Одни — потому что учились в физматшколе, другие — потому что читали «Войну и мир». В начале третьей части третьего тома Лев Толстой пересказывает это парадоксальное доказательство, суть которого в том, что быстроногий Ахиллес никогда не догонит медлительную черепаху¹.

Об Эсхиле и черепахе почти никто не знает, и эту драматическую историю я сейчас расскажу.

Рассмотрим уравнение

Оно отлично подходят для первого знакомства с методом оценки — конечно, если вы уже уверенно решаете алгебраические, тригонометрические и показательные уравнения.

Очень редко я рассказываю ученикам готовые решения. Ведь моя цель — научить их решать задачи самостоятельно.

Для начала я предлагаю группе учеников проанализировать это уравнение и сделать с ним все, что можно.

Когда меня спрашивают «А что надо делать?» — я отвечаю, что правило простое: если от ваших преобразований уравнение становится заметно хуже — скорее всего, вы идете не туда.

Довольно быстро уравнение приводят вот к такому виду:

— А теперь смотрите, — говорю я. — В левой и правой части появились восьмерки — а это уже добрый знак.

Помните, что перед составителями заданий части С стоит нетривиальная задача: с одной стороны, им надо составить сложные задания, с другой — сделать так, чтобы подготовленный школьник все же смог их решить.

Поэтому в сложных задачах части С часто оставляют «подсказки» — специально для вас, мои дорогие друзья! Торчащие ниточки, хвостики, за которые, как в детективном сюжете, можно потянуть и распутать весь клубок. Например, вы вдруг замечаете, что одна из частей уравнения является полным квадратом. Или видите одинаковые коэффициенты в левой и правой части, что наводит на мысль об удачной замене. А в данном уравнении подсказка – вот эти восьмерки слева и справа.

— А что еще можно заметить в этом уравнении? — спрашиваю я своих учеников. — Если бы вас попросили рассказать о нем, как бы вы его описали?

Первые ответы не слишком конструктивны, например: «Это уравнение отстойное» :-)

— В чем конкретно его отстойность? — спрашиваю я.

— В нем слишком много всего. В нем есть косинусы, показательная функция и алгебраическое выражение в правой части.

— Точнее, — говорю я, — в левой и правой его частях находятся функции разных типов.

Ведь типов элементарных функций вообще не так уж много: алгебраические, тригонометрические, обратные тригонометрические, показательные и логарифмические. Как правило, в уравнение входят функции какого-то одного типа — только тригонометрические, или только показательные, или только алгебраические. И для каждого типа уравнений, заметьте, — свои
способы решения. Для логарифмических уравнений — особые способы, для тригонометрических — особые, и вы их прекрасно знаете.

Но что делать, если в левой и правой частях уравнения — функции разных типов? Такое уравнение бесполезно возводить в квадрат или делать с ним арифметические действия. Бесполезно брать логарифмы от обеих частей — от всего этого оно станет только хуже.
Запомним: если в левой и правой частях уравнения стоят функции разных типов, такое уравнение традиционными аналитическими способами не решается. Его нужно решать либо графически, либо методом оценки.

Давайте оценим левую и правую части. Узнаем, какие значения принимают стоящие в них функции.

И пока мои ученики занимаются этим, я рисую картинку:

И жду, пока на нее обратят внимание.

— Этот рисунок, — говорю я, — с определенного момента древние греки вдруг начали рисовать на своих вазах. Похоже было на новую, внезапно возникшую моду. И не могли историки понять, что за символ и в чем его смысл. Много было догадок, пока наконец не нашли амфору с таким рисунком и надписью: «Эсхил и черепаха». И всё встало на свои места.

Античного драматурга Эсхила по праву называют создателем греческого — а значит и европейского — театра. Именно Эсхил ввел в театральное действо второго актера (до него актер был всего один). До нашего времени дошло семь трагедий Эсхила, в том числе «Прометей прикованный» — о титане Прометее, который похитил с небес огонь и принес его людям.

Когда Эсхил был в расцвете славы, оракул предсказал ему гибель от падения тяжелого предмета на голову. Эсхил перестал спать в помещении и старался проводить больше времени на воздухе, благо театр у греков располагался под открытым небом.

Но однажды Эсхил гулял за городом, возможно, обдумывая новый гениальный сюжет. А в это время высоко над ним летел орел, неся в когтях черепаху. Он высматривал внизу камень, чтобы сбросить на него черепаху и разбить панцирь, и, не найдя ничего более подходящего, сбросил черепаху с высоты прямо на лысую голову великого драматурга. . .

Так сбылось предсказание. Современники нашли в этой истории мистический смысл — не иначе как в трагедии «Прометей прикованный» Эсхил открыл непосвященным тайны мистерий, и его настигло возмездие богов. И рисунок, символизирующий роковую встречу Эсхила с черепахой, появился на греческих вазах.

Вернемся к нашему уравнению. Итак, в левой и правой его частях находятся функции разных типов. И при определенном значении x они оказались равны друг другу. Более того: левая часть принимает значения больше либо равные восьми, правая часть — значения меньше либо равные восьми. И возможно, есть такая точка, где у одной из этих функций будет минимум, а у другой — максимум, причем значение каждой из них равно восьми.

Нам осталось только проверить, что эта точка действительно есть.

Приравняем правую часть к восьми.

Подставив x = −0,15 в левую часть, получим, что и она равна восьми при этом значении x.

Значит, x = −0,15 является единственным корнем данного уравнения.

Ответ: x = −0,15.

Вот еще одна задача на метод оценки. Это С3 из пробного варианта ЕГЭ 2010 года.

Умножим обе части данного неравенства на положительную величину

Получим:

В левой и правой частях полученного неравенства оказались функции разных типов. Поэтому можно попытаться решить его методом оценки.

Выделим под логарифмом полный квадрат:

Неравенство примет вид:

Наибольшее значение выражения под логарифмом равно 2. Стало быть, наибольшее значение логарифма равно

то есть 1, и достигается оно при единственном значении x = 3.

В то же время, наименьшее значение выражения

Также равно 1, и достигается оно при том же единственном значении x = 3.

Поэтому последнее неравенство будет выполнено лишь в одном-единственном случае: когда обе его части равны 1, т. е. при x = 3. Решением данного неравенства служит единственное число!

Ответ: x = 3.

И еще несколько задач на ту же тему

1.
2.
3.
Я уверена, что эта статья окажется полезной для вашей подготовки к ЕГЭ. Кратко повторим основные тезисы:

1. В сложных задачах части С чаще всего специально для вас оставляют подсказки. Учитесь ими пользоваться!

2. Если в левой и правой частях уравнения находятся функции разных типов — значит, это уравнение надо решать либо графически, либо методом оценки.

3. Как правило, находится единственное значение x, при котором левая и правая часть равны друг другу.

Желаю вам успеха на ЕГЭ по математике!

¹Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится от нее на расстоянии в 1 километр. За то время, за которое Ахиллес пробежит этот километр, черепаха проползет 100 метров. Когда Ахиллес пробежит 100 метров, черепашка проползет еще 10 метров, и так далее. Когда Ахиллес пробежит эти десять, черепаха проползет один метр. Процесс будет продолжаться до бесконечности, расстояние между ними будет бесконечно сокращаться, но Ахиллес так никогда и не догонит черепаху!