Slider

Метод оценки, или Эсхил и черепаха

Материалы А. Г. Малковой

Апорию Зенона об Ахиллесе и черепахе знают все. Одни — потому что учились в физматшколе,
другие — потому что читали «Войну и мир». В начале третьей части третьего тома Лев
Толстой пересказывает это парадоксальное доказательство, суть которого в том, что быстроногий
Ахиллес никогда не догонит медлительную черепаху1
.

Об Эсхиле и черепахе почти никто не знает, и эту драматическую историю я сейчас расскажу.

Рассмотрим уравнение

Оно отлично подходят для первого знакомства с методом оценки — конечно, если вы уже уверенно решаете алгебраические, тригонометрические и показательные уравнения.

Очень редко я рассказываю ученикам готовые решения. Ведь моя цель — научить их решать
задачи самостоятельно.

Для начала я предлагаю группе учеников проанализировать это уравнение и сделать с ним
все, что можно.

Когда меня спрашивают «А что надо делать?» — я отвечаю, что правило простое: если от
ваших преобразований уравнение становится заметно хуже — скорее всего, вы идете не туда.

Довольно быстро уравнение приводят вот к такому виду:

— А теперь смотрите, — говорю я. — В левой и правой части появились восьмерки — а это
уже добрый знак.

Помните, что перед составителями заданий части С стоит нетривиальная задача: с одной
стороны, им надо составить сложные задания, с другой — сделать так, чтобы подготовленный
школьник все же смог их решить.

Поэтому в сложных задачах части С часто оставляют «подсказки» — специально для вас,
мои дорогие друзья! Торчащие ниточки, хвостики, за которые, как в детективном сюжете,
можно потянуть и распутать весь клубок. Например, вы вдруг замечаете, что одна из частей
уравнения является полным квадратом. Или видите одинаковые коэффициенты в левой и правой
части, что наводит на мысль об удачной замене. А в данном уравнении подсказка – вот эти
восьмерки слева и справа.

— А что еще можно заметить в этом уравнении? — спрашиваю я своих учеников. — Если
бы вас попросили рассказать о нем, как бы вы его описали?

Первые ответы не слишком конструктивны, например: «Это уравнение отстойное» :-)

— В чем конкретно его отстойность? — спрашиваю я.

— В нем слишком много всего. В нем есть косинусы, показательная функция и алгебраическое
выражение в правой части.

— Точнее, — говорю я, — в левой и правой его частях находятся функции разных типов.

Ведь типов элементарных функций вообще не так уж много: алгебраические, тригонометрические,
обратные тригонометрические, показательные и логарифмические. Как правило, в
уравнение входят функции какого-то одного типа — только тригонометрические, или только
показательные, или только алгебраические. И для каждого типа уравнений, заметьте, — свои
способы решения. Для логарифмических уравнений — особые способы, для тригонометрических
— особые, и вы их прекрасно знаете.

Но что делать, если в левой и правой частях уравнения — функции разных типов? Такое
уравнение бесполезно возводить в квадрат или делать с ним арифметические действия. Бесполезно
брать логарифмы от обеих частей — от всего этого оно станет только хуже.

Запомним: если в левой и правой частях уравнения стоят функции разных типов, такое
уравнение традиционными аналитическими способами не решается. Его нужно решать либо
графически, либо методом оценки.

Давайте оценим левую и правую части. Узнаем, какие значения принимают стоящие в них
функции.

И пока мои ученики занимаются этим, я рисую картинку:

И жду, пока на нее обратят внимание.

— Этот рисунок, — говорю я, — с определенного момента древние греки вдруг начали рисовать
на своих вазах. Похоже было на новую, внезапно возникшую моду. И не могли историки
понять, что за символ и в чем его смысл. Много было догадок, пока наконец не нашли амфору
с таким рисунком и надписью: «Эсхил и черепаха». И всё встало на свои места.

Античного драматурга Эсхила по праву называют создателем греческого — а значит и европейского
— театра. Именно Эсхил ввел в театральное действо второго актера (до него актер
был всего один). До нашего времени дошло семь трагедий Эсхила, в том числе «Прометей
прикованный» — о титане Прометее, который похитил с небес огонь и принес его людям.

Когда Эсхил был в расцвете славы, оракул предсказал ему гибель от падения тяжелого
предмета на голову. Эсхил перестал спать в помещении и старался проводить больше времени
на воздухе, благо театр у греков располагался под открытым небом.

Но однажды Эсхил гулял за городом, возможно, обдумывая новый гениальный сюжет. А в
это время высоко над ним летел орел, неся в когтях черепаху. Он высматривал внизу камень,
чтобы сбросить на него черепаху и разбить панцирь, и, не найдя ничего более подходящего,
сбросил черепаху с высоты прямо на лысую голову великого драматурга. . .

Так сбылось предсказание. Современники нашли в этой истории мистический смысл — не
иначе как в трагедии «Прометей прикованный» Эсхил открыл непосвященным тайны мистерий,
и его настигло возмездие богов. И рисунок, символизирующий роковую встречу Эсхила с
черепахой, появился на греческих вазах.

Вернемся к нашему уравнению. Итак, в левой и правой его частях находятся функции разных
типов. И при определенном значении x они оказались равны друг другу. Более того: левая
часть принимает значения больше либо равные восьми, правая часть — значения меньше либо
равные восьми. И возможно, есть такая точка, где у одной из этих функций будет минимум, а
у другой — максимум, причем значение каждой из них равно восьми.

Нам осталось только проверить, что эта точка действительно есть.

Приравняем правую часть к восьми.

,

,

.

Подставив x = −0,15 в левую часть, получим, что и она равна восьми при этом значении x.
Значит, x = −0,15 является единственным корнем данного уравнения.

Ответ: x = −0,15.

Вот еще одна задача на метод оценки. Это С3 из пробного варианта ЕГЭ 2010 года.

Умножим обе части данного неравенства на положительную величину
:

В левой и правой частях полученного неравенства оказались функции разных типов. Поэтому
можно попытаться решить его методом оценки.

Выделим под логарифмом полный квадрат:

Неравенство примет вид:

Наибольшее значение выражения под логарифмом равно 2. Стало быть, наибольшее значение
логарифма равно , то есть 1, и достигается оно при единственном значении x = 3.

В то же время, наименьшее значение выражения также равно 1, и достигается оно при
том же единственном значении x = 3.

Поэтому последнее неравенство будет выполнено лишь в одном-единственном случае: когда
обе его части равны 1, т. е. при x = 3. Решением данного неравенства служит единственное
число!

Ответ: x = 3.

И еще несколько задач на ту же тему

1.

2.

3.

Я уверена, что эта статья окажется полезной для вашей подготовки к ЕГЭ. Кратко повторим
основные тезисы:

1. В сложных задачах части С чаще всего специально для вас оставляют подсказки. Учитесь
ими пользоваться!

2. Если в левой и правой частях уравнения находятся функции разных типов — значит, это
уравнение надо решать либо графически, либо методом оценки.

3. Как правило, находится единственное значение x, при котором левая и правая часть
равны друг другу.

Желаю вам успеха на ЕГЭ по математике!


1Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится от нее на расстоянии в 1 километр.
За то время, за которое Ахиллес пробежит этот километр, черепаха проползет 100 метров. Когда Ахиллес
пробежит 100 метров, черепашка проползет еще 10 метров, и так далее. Когда Ахиллес пробежит эти десять,
черепаха проползет один метр. Процесс будет продолжаться до бесконечности, расстояние между ними будет
бесконечно сокращаться, но Ахиллес так никогда и не догонит черепаху!

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.