Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)

Полезный прием для решения сложных неравенств на ЕГЭ по математике – метод рационализации неравенства. Другое название — метод замены множителя. Это один из тех секретов, о которых ученику рассказывает репетитор. В учебниках о таком не написано.

Суть метода в том, чтобы от неравенства, содержащего в качестве множителей сложные показательные или логарифмические выражения, перейти к равносильному ему более простому рациональному неравенству.

Давайте для начала вспомним, что такое равносильные уравнения (или неравенства). В школьной программе этот важный вопрос почти не обсуждается. Поэтому запишем определение.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают.

Заметим, что внешне уравнения могут быть и не похожи друг на друга.

Например, уравнения \((x-3)^{2}=0\) и \(x-3=0\) равносильны. Число \(3\) является единственным решением и того, и другого.

Уравнения \(x^{2}=-1\) и \(\sqrt{x}=-2\) также равносильны. Оба они не имеют решений. Другими словами, множество решений каждого из них – пусто.

Уравнения \(\sqrt{2x-1}=x-2\) и \(2x-1=(x-2)^{2}\) не являются равносильными. Решением первого уравнения является только \(x= 5\). Решения второго – два числа: \(x= 5\) и \(x= 1\). Получается, что возведение обеих частей уравнения в квадрат в общем случае приводит к уравнению, неравносильному исходному.

Аналогичное определение – для неравенств.

Равносильными называются неравенства, множества решений которых совпадают.

Например, неравенства \((x-1)(x-3)> 0\) и \(\displaystyle \frac{x-1}{x-3}> 0\) равносильны – ведь множества их решений совпадают. В этом легко убедиться с помощью метода интервалов.

Неравенства \(log_{2}x> log_{2}5\) и \(x> 5\) также равносильны при \(x> 0\). Заметим, что внешне эти неравенства не похожи – одно из них логарифмическое, другое алгебраическое.

Другими словами, при \(x> 0\) неравенства \(log_{2}x- log_{2}5> 0\) и \(x-5> 0\) имеют одинаковые решения. Если какое-либо число \(x> 0\) является решением одного из них, то оно будет и решением второго.

А это значит, что при любом \(x> 0\) выражение \(log_{2}x- log_{2}5\) будет иметь такой же знак, как и выражение \(x- 5\). Следовательно, если в какое-либо сложное неравенство входит в качестве множителя выражение \(log_{2}x- log_{2}5\), то при выполнении условия \(x> 0\) его можно заменить на более простое \(x- 5\) и получить неравенство, равносильное исходному.

Вот ключевой момент. На этом и основан метод рационализации – замены множителей, содержащих сложные логарифмические или показательные выражения, на более простые алгебраические множители.

Например, выражение вида \(log_{a}f-log_{a}g\), где \(f\) и \(g\) – функции от \(x\), \(a\) – число, можно заменить на более простое \((f-g)(a-1)\) – конечно, при условии, что \(f(x)> 0\) и \(g(x)> 0\). Доказательство легко провести самостоятельно.

А сейчас – самое главное: волшебная таблица, позволяющая заменять сложные логарифмические (или показательные) множители в неравенствах на более простые. Эта таблица является ключом к задаче ЕГЭ. Вот увидите, она выручит вас на ЕГЭ по математике:

Сложный множитель	На что заменить
\(log_{h}f-log_{h}g\)	\((h-1)(f-g)\)
\(log_{h}f-1\)	\((h-1)(f-h)\)
\(log_{h}f\)	\((h-1)(f-1)\)
\(h^{f}-h^{g}\)	\((h-1)(f-g)\)
\(h^{f}-1\)	\((h-1)\cdot f\)
\(f^{h}-g^{h}\)	\((f-g)\cdot h\)
\(f, g\) — функции от \(x\). \(h\) —  функция или число.

 

Конечно же, все выражения, которые содержат логарифмы, существуют при \(f, \; g, \; h > 0\) и \(h \neq > 1\).

Когда на ЕГЭ по математике вы применяете метод рационализации (замены множителя), – обязательно поясните, что вы им воспользовались. И не забудьте доказать соответствующую формулу. Иначе можно потерять балл.

Обратите внимание, что мы говорим о замене множителя в неравенствах вида \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}< 0\). Знак здесь может быть любой: \(> , \; \geq , \; \leq\). Правая часть обязательно должна быть равна нулю. И заменяем мы именно множитель (а не слагаемое, например). Иначе ничего не получится.

Перейдем к практике – к решению задач из вариантов ЕГЭ по математике Профильного уровня.

1. \(log_{2-x}(x+2)\cdot log_{x+3}(3-x)\leq 0.\)

Решение:

ОДЗ неравенства: \(x\in (-2; 1)\cup (1; 2).\)

Применим метод рационализации.

В соответствии с нашей таблицей, множитель \(log_{2-x}(x+2)\) заменим на \((2-x-1)(x+2-1)\).

Множитель вида \(log_{x+3}(3-x)\) заменим на \((x+3-1)(3-x-1)\).

Таким образом, от логарифмического неравенства мы перешли к рациональному:

\((1-x)(x+1)(x+2)(2-x)\leq 0.\)

Решим его методом интервалов:

Ответ: \(x\in (-2; -1]\cup (1; 2).\)

2. \(\displaystyle \frac{10^{x}}{2\cdot log^{2}_{2}(x+1)^{2}\cdot log_{3}(x+2)}\leq \frac{(15\cdot 3^{x})^{x}}{9\cdot log^{2}_{2}(x+1)^{2}\cdot log_{3}(x+2)}.\)

Решение:

Начнем с ОДЗ.

\(\left\{\begin{matrix}
x\neq 0, \\x> -2,
\\x\neq -1.
\end{matrix}\right.\)

Заметим, что выражение \(log^{2}_{2}(x+1)^{2}\) положительно при \(x\in\) ОДЗ. Умножим обе части неравенства на это выражение.
Упростим числитель правой части неравенства:

\((15\cdot 3^{x})^{x}=5^{x}\cdot 3^{x}\cdot 3^{x^{2}}=5^{x}\cdot 3^{x^{2}+x}.\)

Поделим обе части неравенства на \(5^{x}> 0\):

\(\displaystyle\frac{2^{x}}{2log_{3}(x+2)}\leq \displaystyle\frac{3^{x^{2}+x}}{9log_{3}(x+2)}\Leftrightarrow \frac{2^{x-1}-3^{x^{2}+x-2}}{log_{3}(x+2)}\leq 0\Leftrightarrow \frac{2^{x-1}-3^{(x-1)(x+2)}}{log_{3}(x+2)}\leq 0.\)

Неравенство уже намного проще, чем исходное. Но основания степеней разные!

Чтобы применить метод рационализации, нам придется представить \(2^{x-1}\) в виде степени с основанием \(3\).

\(2^{x-1}=3^{log_{3}2^{x-1}}=3^{(x-1)log_{3}2}.\)

Неравенство примет вид:

\(\displaystyle\frac{3^{(x-1)log_{3}2}-3^{(x-1)(x+2)}}{log_{3}(x+2)}\leq 0.\)

Воспользуемся методом замены множителя. Множитель вида \(h^{f}-h^{g}\) можно заменить на \((h-1)(f-g)\).

Да и логарифм в знаменателе можно заменить на выражение \(x+1\).

\(\displaystyle \frac{(x-1)(x-(log_{3}2-2))}{x+1}\geq 0.\)

Оценим \(log_{3}2-2.\) Это необходимо сделать, чтобы правильно расставить точки на числовой прямой.

\(log_{3}1< log_{3}2< log_{3}3;\)

\(0< log_{3}2< 1;\)

\(-2< log_{3}2-2< 1.\)

Ответ: \([log_3 2-2;-1)\cup[1;+\infty).\)

3. \(\displaystyle \frac{10^{log_{2}x}}{2x^{2}(x+1)}\leq \frac{(15\cdot 3^{log_{2}x})^{log_{2}x}}{9x^{2}(x+1)}.\)

Решение:

Постараемся упростить это неравенство. Область допустимых значений:

\(\left\{\begin{matrix}
x> 0, \\x+1\neq 0.
\end{matrix}\right.\)

Отсюда следует, что \(x> 0\). Это хорошо, потому что при данных значениях \(x\) выражение \(x+1\) строго положительно, следовательно, мы можем умножить на него обе части неравенства. Да и на \(x^{2}\) тоже можно умножить обе части неравенства, и тогда оно станет проще:

\(\displaystyle \frac{10^{log_{2}x}}{2}\leq \frac{15^{log_{2}x}\cdot 3^{log_{2}x}}{9}.\)

Преобразуем числители выражений в левой и правой части и сделаем замену \(log_{2}x=t:\)

\(\displaystyle \frac{2^{t}\cdot 5^{t}}{2}\leq \frac{3^{t}\cdot 5^{t}\cdot 3^{t^{2}}}{9}.\)

Теперь обе части неравенства можно сократить на \(5^{t}> 0:\)

\(2^{t-1}\leq 3^{t^{2}+t-2};\)

\(2^{t-1}-3^{(t+2)(t-1)}\leq 0.\)

Поскольку \(2=3^{log_{3}2}\), выражение \(2^{t-1}\) можно записать как \(3^{(t-1)\cdot log_{3}2}:\)

\(3^{(t-1)\cdot log_{3}2}\leq 3^{(t+2)(t-1)};\)

\((t-1)\cdot log_{3}2\leq (t-1)(t+2);\)

\((t-1)\cdot log_{3}2 -(t-1)(t+2)\leq 0.\)

\((t-1)(log_{3}2-t-2)\leq 0;\)

\((t-1)(t-(log_{3}2-2))\leq 0.\)

Заметим, что \(log_{3}2-2< 0.\)

Мы получили квадратичное неравенство относительно \(t\). Решим его:

Итак, \(t\geq 1\) или \(t\leq log_{3}2-2.\)

Вернемся к переменной \(x\):

\(\begin{matrix}log_{2}x\geq 1, \\x\geq 2;\end{matrix}\)  или \(\; \begin{matrix}log_{2}x\leq log_{3}2-2, \\0< x\leq  2^{log_{3}2-2}.\end{matrix}\)

Ответ: \( x \in (0; 2^{log_3 2-2}]\cup[2; +\infty).\)

4. Еще одна задача из той же серии:\(\displaystyle \frac{14^{log_{2}(4x)}}{log^{2}_{2}(32x)\cdot log_{2}(0,25x)}\geq \frac{(4\cdot 2^{log_{2}(4x)})^{log_{2}(4x)}}{4\cdot log^{2}_{2}(32x)\cdot log_{2}(0,25x)}.\)

Решение:

Запишем ОДЗ:

\(\left\{\begin{matrix}
x> 0, \\32x\neq 1,
 \\0,25x\neq 1.
\end{matrix}\right.\)

\(x\in \left (0; \displaystyle \frac{1}{32}\right )\cup \left (\displaystyle \frac{1}{32}; 4\right )\cup (4; +\infty ).\)

Умножим обе части неравенства на \(log^{2}_{2}32x> 0\).

Постараемся упростить числители выражений в левой и правой части:

\(\displaystyle \frac{7^{log_{2}(4x)}\cdot 2^{log_{2}(4x)}}{7\cdot log_{2}(0,25x)}\geq \frac{4^{log_{2}(4x)}\cdot 2^{(log_{2}(4x))^{2}}}{4\cdot log_{2}(0,25x)}.\)

Поделим обе части неравенства на \(2^{log_{2}(4x)}> 0.\)

\(\displaystyle \frac{7^{log_{2}(4x)}}{7\cdot log_{2}(0,25x)}\geq  \frac{2^{(log_{2}(4x))^{2}+log_{2}(4x)}}{4\cdot log_{2}(0,25x)}.\)

\(\displaystyle \frac{7^{log_{2}(4x)-1}-2^{((log_{2}(4x))^{2}+log_{2}(4x)-2)}}{log_{2}(0,25x)}\geq 0.\)

Хорошо бы сделать замену. Пусть \(log_{2}(4x)=t.\)

Тогда: \(log_{2}x=t-2;\)

\(log_{2}(0,25x)=log_{2}\left (\displaystyle \frac{1}{4}\right )+log_{2}x=log_{2}x-2=t-4.\)

Неравенство примет вид:

\(\displaystyle \frac{7^{t-1}-2^{t^{2}+t-2}}{t-4}\geq 0.\)

Мы уже знаем, как представить число \(7\) в виде степени числа \(2\): \(7=2^{log_{2}7}.\)

\(\displaystyle \frac{2^{(t-1)\cdot log_{2}7}-2^{(t-1)(t+2)}}{t-4}\geq 0.\)

Применим метод рационализации:

\(\displaystyle\frac{(t-1)\cdot log_{2}7-(t-1)(t+2)}{t-4}\geq 0;\)

\(\displaystyle\frac{(t-1)(log_{2}7-t-2)}{t-4}\geq 0.\)

Оценим \(log_{2}7-2:\)

\(4< 7< 8;\)

\(log_{2}4< log_{2}7< log_{2}8;\)

\(2< log_{2}7< 3;\)

\(0< log_{2}7-2< 1.\)

\(t\leq  log_{2}7-2log_{2}(4x)\leq log_{2}7-2; \; log_{2}(4x)\leq log_{2}\displaystyle \frac{7}{4}; \;  0< x\leq \displaystyle \frac{7}{16}\) или

\(1\leq t< 4; \; 1\leq log_{2}(4x)< 4; \; log_{2}2\leq log_{2}(4x)< log_{2}16; \; \displaystyle \frac{1}{2}\leq x< 4.\)

Ответ: \(x\in \left (0; \displaystyle \frac{1}{32}\right )\cup \left (\displaystyle \frac{1}{32}; \displaystyle \frac{7}{16}\right ]\cup \left [\displaystyle \frac{1}{2}; 4\right ).\)

5. Еще одна задача-страшилка из того же сборника:

\(\displaystyle \frac{log_{2^{((x-1)^{2}-1)}}(log_{(2x^{2}+10x+15)}(x^{2}+2x))}{log_{2^{((x-1)^{2}-1)}}(x^{2}+10x+26)}\geq 0.\)

Решение:

Начнем с ОДЗ. Условий будет много – все выражения под логарифмами должны быть положительны, все основания логарифмов положительны и не равны единице, и еще знаменатель не равен нулю.

\(\left\{\begin{matrix} 2^{(x-1)^{2}-1}\neq 1,  \\2x^{2}+10x+15> 0 \;-  \\2x^{2}+10x+15\neq 1 \;-  \\x^{2}+2x> 0,  \\x^{2}+10x+26> 0 \;-  \\x^{2}+10x+26\neq 1. \end{matrix}\right.\)

верно при любом \(x,\) верно при любом \(x,\)    верно при любом \(x,\)

\(\left\{\begin{matrix}(x-1)^{2}-1\neq 0, \\x(x+2)> 0, \\x\neq 5.\end{matrix}\right.\)

\(x\in (-\infty ; -5)\cup (-5; -2)\cup (0; +\infty ).\)

Применим в левой части неравенства формулу перехода к другому основанию:

\(\displaystyle \frac{log_{c}b}{log_{c}a}=log_{a}b;\)

\(log_{x^{2}+10x+26}(log_{2x^{2}+10x+15}(x^{2}+2x))\geq 0.\)

Последовательно применим метод замены множителя, то есть метод рационализации.

Напомним, что множитель \(log_{h}f\) можно заменить на \((h-1)(f-1)\), а множитель \((log_{h}f-1)\) — на \((h-1)(f-h)\):

\((x^{2}+10x+25)(log_{2x^{2}+10x+15}(x^{2}+2x)-1)\geq 0;\)

\((x+5)^2(2x^2+10x+14)(-x^2-8x-15)\geq 0.\)

Поскольку \((x+5)^{2}> 0\) при \(x\in\)  ОДЗ, а \(2x^{2}+10x+14> 0\)  при всех \(x\), получим:

\(x^2+8x+15\leq 0.\)

С учетом ОДЗ:

Ответ: \(x\in (-5; 3].\)

Посмотрим, чем поможет метод замены множителя в решении сложного показательного неравенства.

6. Решите неравенство: \(\displaystyle \frac{2\cdot 3^{2x+1}-6^{x}-4^{x+1}-9}{9^{x}-3}\leq 3.\)

Решение:

\(\displaystyle\frac{2\cdot 3\cdot 3^{2x}-6^{x}-4\cdot 2^{2x}-3\cdot 3^{2x}-9+9}{3^{2x}-3}\leq 0;\)

\(\displaystyle \frac{3\cdot 3^{2x}-3^{x}\cdot 2^{x}-4\cdot 2^{2x}}{3^{2x}-3}\leq 0.\)

Числитель дроби в левой части — однородное выражение, где каждое слагаемое имеет степень \(2x\).

Поделим обе части неравенства на \(2^{2x}> 0.\)

Получим:

\(\displaystyle \frac{3\cdot \left (\displaystyle\frac{3}{2}\right )^{2x}-\left (\displaystyle\frac{3}{2}\right )^{x}-4}{3^{2x}-3}\leq 0;\)

\(3\cdot \left (\displaystyle\frac{3}{2}\right )^{2x}-\left (\displaystyle\frac{3}{2}\right )^{x}-4=0;\)

\(\displaystyle\frac{3\left (\displaystyle\left (\displaystyle\frac{3}{2}\right )^{x}+1\right )\left (\left (\displaystyle\frac{3}{2}\right )^{x}-\displaystyle\frac{4}{3}\right )}{3^{2x}-3}\leq 0.\)

Разложим числитель на множители.

Сделаем замену:

\(\left (\displaystyle\frac{3}{2}\right )^{x}=t;\) 

\(3t^{2}-t-4=0;\)

\(D=1+48=49, \; \sqrt{D}=7;\)

\(t=\displaystyle\frac{1\pm 7}{6}; \; t_{1}=-1, \; t_{2}=\displaystyle\frac{4}{3};\)

\(3t^{2}-t-4=3(t+1)\left (t-\displaystyle\frac{4}{3}\right ).\)

Вернемся к неравенству:

\(\displaystyle\frac{3\left (\left (\displaystyle\frac{3}{2}\right )^{x}+1\right )\left (\left (\displaystyle\frac{3}{2}\right )^{x}-\displaystyle\frac{4}{3}\right )}{3^{2x}-3}\leq 0.\)

Поскольку \(\left (\displaystyle\frac{3}{2}\right )^{x}> 0\), поделим обе части неравенства на \(\left (\displaystyle\frac{3}{2}\right )^{x}+1> 0.\)

\(\displaystyle\frac{\left (\displaystyle \frac{3}{2}\right )^{x}-\displaystyle \frac{4}{3}}{3^{2x}-3}\leq 0.\)

Применяя метод рационализации, множитель вида \(h^f-h^g\) заменяем на \(\displaystyle \left(h-1\right)\left(f-g\right).\)

Получим: \(\displaystyle \frac{\left ( \frac{3}{2} -1\right )\left ( x-log_{\frac{3}{2}}\frac{4}{3} \right )}{\left ( 3-1 \right )\left ( 2x-1 \right )} \leq 0;\)

\(\displaystyle \frac{x-log_{\frac{3}{2}}\frac{4}{3}}{x-\frac{1}{2}}\leq 0.\)

Остается решить неравенство методом интервалов. Но как сравнить \(\displaystyle \frac{1}{2}\) и \({{log}_{\frac{3}{2}} \frac{4}{3}\ }\) ?

Что больше? Давайте представим \(\displaystyle \frac{1}{2}\) как логарифм с основанием \(\displaystyle \frac{3}{2}:\)

\(\displaystyle \frac{1}{2}={{log}_{\frac{3}{2}} {\left(\frac{3}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\ }={{log}_{\frac{3}{2}} \sqrt{\frac{3}{2}}\ }; \)

\(\displaystyle \frac{4}{3}\ \vee \sqrt{\frac{3}{2}};\)

\(\displaystyle \ \frac{16}{9}\ \vee \frac{3}{2};\)

\(\displaystyle \ 32\ \vee \ 27;\)

\(\displaystyle 32 > 27,\ \)

Значит, \(\displaystyle {{log}_{\frac{3}{2}} \frac{4}{3}\ }> \frac{1}{2}.\)

Ответ: \(\displaystyle x\in \left(\frac{1}{2};\ {{log}_{\frac{3}{2}} \frac{4}{3}\ }\right].\)

7. Теперь логарифмическое неравенство. Обратите внимание, что здесь лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов. И само неравенство, которое мы упрощаем, и область его допустимых значений мы записываем в одну систему. И решаем ее.

Решите неравенство: \(\displaystyle {{log}_{3-x} \frac{x+4}{{\left(x-3\right)}^2}\ }\ge -2. \)

Решение:

\(\displaystyle {{log}_{3-x} \frac{x+4}{{\left(x-3\right)}^2}\ }\ge -2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
3-x > 0, \\
3-x\ne 1, \\
\displaystyle \frac{x+4}{{\left(x-3\right)}^2}> 0, \\
\displaystyle {{log}_{3-x} \frac{x+4}{{\left(x-3\right)}^2}\ }+2\ge 0. \end{array}
\right.\)

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что \({\left(a-b\right)}^2={\left(b-a\right)}^2\ .\)

Используем также условия \(\ 3-x > 0;\ \ x+4 > 0.\)

\(\left\{ \begin{array}{c}
x < 3, \\ x\ne 2, \\ x+4 > 0, \\
{log}_{3-x}\left(x+4\right)-{log}_{3-x}{\left(3-x\right)}^2+2\ge 0; \end{array}
\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
x < 3, \\ x\ne 2, \\ x > -4, \\
{log}_{3-x}\left(x+4\right)\ge 0. \end{array}
\right.\)

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря, \({{log}_a {\left(b\left(x\right)\right)}^2=2{{log}_a \left|b\left(x\right)\right|\ }\ }.\)

Поскольку \(3-x > 0,\ {\ log}_{3-x}{\left(3-x\right)}^2=2{{log}_{3-x} \left|3-x\right|=\ }2{{log}_{3-x} \left(3-x\right)=2.\ }\)

Согласно методу замены множителя, выражение \({log}_{3-x}\left(x+4\right)\) заменим на \(\left(3-x-1\right)\left(x+4-1\right). \)

Получим систему:

\(\left\{ \begin{array}{c}
x\ne 2, \\
-4 < x < 3, \\ \left(2-x\right)\left(x+3\right)\ge 0. \end{array} \right. \)

Решить ее легко.

Ответ: \(x\in \left[-3;2\right).\)

8. А теперь неравенство с ловушкой. Мы надеемся, что вы помните — нельзя извлекать корень из неравенства.

Решите неравенство: \(\displaystyle {{lg}^2 \frac{{\left(x+2\right)}^2\left(x+5\right)}{5}< {lg}^2\frac{x+5}{20}\ }. \)

Решение:

Извлекать корень из неравенства нельзя! Можно перенести все в левую часть неравенства и разложить на множители как разность квадратов: \(a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right).\)

\(\displaystyle \left ( lg\frac{\left ( x+2 \right )^2\left ( x+5 \right )}{5}-lg\frac{x+5}{20} \right )\left ( lg\frac{\left ( x+2 \right )^2\left ( x+5 \right )}{5}+lg\frac{x+5}{20} \right )< 0.\)

Применим формулы разности и суммы логарифмов, следя за областью допустимых значений. Все выражения под логарифмами в исходном неравенстве должны быть положительны.

\(\left\{ \begin{array}{c}
\displaystyle lg\frac{{\left(x+2\right)}^2\left(x+5\right)\cdot 20}{5\cdot \left(x+5\right)}\cdot {lg \left(\frac{{\left(x+2\right)}^2\cdot {\left(x+5\right)}^2}{100}\right)\ } < 0, \\ \displaystyle {\left(x+2\right)}^2\left(x+5\right)> 0, \\
x+5 > 0. \end{array}
\right. \)

Посмотрим на второе и третье неравенства системы. Поскольку \(x+5\) положительно, то и выражение \((x+2)^2\) должно быть положительно.

Заметим, что решения неравенства \((x+2)^2> 0 \) — это все числа, кроме \( x=-2.\)

Получим:

\(\left\{ \begin{array}{c}
\displaystyle lg\left ( 4\cdot\left ( x+2 \right )^2 \right ) \cdot lg \left ( \frac{\left ( x+2 \right )^2 \cdot \left ( x+5 \right )^2}{100} \right )<0,\\ x > -5, \\
x\ne -2. \end{array}
\right.\)

По методу рационализации, каждый из множителей вида \({{log}_h f\ }\) заменяем на \(\left(h-1\right)\left(f-1\right).\)

\(\left\{ \begin{array}{c}
\displaystyle \left(10-1\right)\cdot \left(4{\left(x+2\right)}^2-1\right)\cdot \left(10-1\right)\left(\frac{{\left(x+2\right)}^2\cdot {\left(x+5\right)}^2}{100}-1\right)< 0, \\x > -5, \\x\ne -2; \end{array}\right. \Leftrightarrow \)

\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{c}
\left(2x+4-1\right)\left(2x+4+1\right)\left(\left(x+2\right)\left(x+5\right)-10\right)\left(\left(x+2\right)\left(x+5\right)+10\right) < 0, \\x> -5, \\x\ne -2; \end{array}\right. \Leftrightarrow \)

\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{c}\left(2x+3\right)\left(2x+5\right)\cdot x\cdot \left(x+7\right)\cdot \left(x^2+7x+20\right)< 0, \\x>-5,
\\x\ne -2; \end{array}\right. \Leftrightarrow \)

\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{c}\left(2x+3\right)\left(2x+5\right)\cdot x\cdot \left(x+7\right)< 0, \\x>-5, \\x\ne -2. \end{array}\right.\)

Просто равносильные преобразования. Выражение \(x^2+7x+20\) положительно всегда — так как в уравнении \(x^2+7x+20=0\) дискриминант отрицателен. Осталось применить метод интервалов.

Ответ: \(\displaystyle x\in \left(-5;-\frac{5}{2}\right)\cup \left(-\frac{3}{2};0\right).\)

Больше неравенств: Задание 15 Профильного ЕГЭ по математике