Новая задача 16 Профильного ЕГЭ по математике, Геометрия, январь, запад

На сторонах \(AC\) и \(BC\) треугольника \(ABC\) вне его построены квадраты \(ACDE\) и \(CBFG\). Точка \(M\) – середина стороны \(AB\).

а) Докажите, что точка \(M\) равноудалена от центров квадратов.

б) Найдите площадь треугольника \(DMG\), если \(AC = 6, \; BC = 8, \; AB = 10. \)

Решение:

a) Покажем, что \(MN = MP.\)

Рассмотрим четырехугольник \(ABCD.\)

Точки \(M, \; P, \; N\) - середины его сторон \(AB, \; BG\) и \(AD.\)

Пусть \(Q\) - середина \(DG.\)

В выпуклом четырехугольнике середины сторон являются вершинами параллелограмма.

В самом деле, \(MN\) - средняя линия.

\(\triangle ADB; \: QP\) - средняя линия \(\triangle DBG,\)

значит, \(MN\parallel DB\) и \(QP\parallel DB, \;  MN=QP=\displaystyle \frac{1}{2}DB.\)

Докажем, что \(AG = DB.\)

\(\triangle BCD=\bigtriangleup GCA,\) т.к. \(AC = DC\) (стороны квадрата),

\(CG=BC, \; \angle BCD=\angle ACG=90^{\circ}+\angle ABC \Rightarrow AG=BD\) отсюда

\( \displaystyle \frac{1}{2}AG=\frac{1}{2}DB.\)

\(MP= MN\), доказано.

б) Найдем площадь треугольника \(DMG,\) если \(AC = 6, \; BC = 8, \; AB= 10.\)

Так как \(AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}\) (теорема Пифагора), \(\triangle ABC\) - прямоугольный.

Построим новый чертеж.

\(S_{\triangle DMG},\)

Пусть \(MN\cap AC=Q, \; MP\cap BC=T.\)

Точки \(M\) и \(N\) удалены от прямой \(BC\) на расстояние 3, \(Q\) - середина \(AC\).

Точки \(M\) и \(P\) удалены от прямой\(AC\) на расстояние 4, \(T\) - середина \(BC\).

\(S_{\triangle DMG }=S_{\triangle CDG}+S_{\triangle CDM}+S_{\triangle CGM};\)

\(S_{\triangle CDG }=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6=24;\)

\( \displaystyle\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3=9;\)

\(S_{\triangle CGM}=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot CG\cdot MQ=(MQ- высота)=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 4=16;\)

\( S_{\triangle D MG}=24+9+16=24+25=49.\)

<< Назад