На сторонах АС и ВС треугольника АВС вне его построены квадраты АСDE и СВFG. Точка М – середина стороны АВ.
а) Докажите, что точка М равноудалена от центров квадратов.
б) Найдите площадь треугольника DMG, если АС = 6, ВС = 8, АВ = 10.
a) Покажем, что MN = MP.
Рассмотрим четырехугольник ABCD.
Точки M, P, N - середины его сторон
AB, BG и AD. Пусть Q - середина DG.
В выпуклом четырехугольнике середины сторон являются вершинами параллелограмма.
В самом деле, MN - средняя линия
- средняя линия
значит, MN || DB и QP || DB,
Докажем, что AG = DB.
т.к. AC = DC (стороны квадрата)
CG = BC, ∠BCD = ∠ACG = 90° + ∠ABC, ⇒ AG = BD, отсюда
MP = MN, доказано.
б) Найдем площадь треугольника DMG, если AC = 6, BC = 8, AB = 10.
Так как (теорема Пифагора)
- прямоугольный.
Построим новый чертеж.
Пусть
Точки M и N удалены от прямой BC на расстояние 3, Q - середина AC.
Точки M и P удалены от прямой AC на расстояние 4; T - середина BC.