Сдай ЕГЭ! Бесплатные материалы для подготовки каждую неделю!
null
Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных согласно 152-ФЗ. Подробнее
banner
Slider
previous arrow
next arrow
Slider

Новая задача 16 Профильного ЕГЭ по математике, Геометрия, январь, запад

На сторонах АС и ВС треугольника АВС вне его построены квадраты АСDE и СВFG. Точка М – середина стороны АВ.

а) Докажите, что точка М равноудалена от центров квадратов.

б) Найдите площадь треугольника DMG, если АС = 6, ВС = 8, АВ = 10.

   

 

 

 

 

 

 

a) Покажем, что MN = MP.

Рассмотрим четырехугольник ABCD.

Точки M, P, N - середины его сторон AB, BG и AD.

Пусть Q - середина DG.

В выпуклом четырехугольнике середины сторон являются вершинами параллелограмма.

В самом деле, MN - средняя линия

\small \bigtriangleup ADB;\: QP - средняя линия \small \bigtriangleup DBG,

значит, MN || DB и QP || DB, \small MN=QP=\frac{1}{2}DB.

Докажем, что AG = DB.

\small \bigtriangleup BCD=\bigtriangleup GCA, т.к. AC = DC (стороны квадрата),

CG = BC, ∠BCD = ∠ACG = 90° + ∠ABC, ⇒ AG = BD, отсюда

\small \frac{1}{2}AG=\frac{1}{2}DB.

MP = MN, доказано.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) Найдем площадь треугольника DMG, если AC = 6, BC = 8, AB = 10.

Так как \small AC^{2}+BC^{2}=AB^{2} (теорема Пифагора), \small \bigtriangleup ABC - прямоугольный.

Построим новый чертеж.

\small S_{\bigtriangleup DMG},

Пусть \small \: \\ MN\cap AC=Q,\\ MP\cap BC=T.

Точки M и N удалены от прямой BC на расстояние 3, Q - середина AC.

Точки M и P удалены от прямой AC на расстояние 4, T - середина BC.

\small S_{\bigtriangleup DMG }=S_{\bigtriangleup CDG}+S_{\bigtriangleup CDM}+S_{\bigtriangleup CGM};

\small S_{\bigtriangleup CDG }=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6=24;

\small =\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3=9;

\small S_{\bigtriangleup DMG}=24+9+16=24+25=49.

 

<< Назад

 

Поделиться страницей

Это полезно

Что делать, если сын завалил ЕГЭ? Или не поступил в вуз?
Читайте рекомендации от Анны Малковой.
Математика «100 баллов»
Разбор демоверсии ЕГЭ-2023,
математика Профиль