Новая задача 16 Профильного ЕГЭ по математике, Геометрия, январь, запад

На сторонах АС и ВС треугольника АВС вне его построены квадраты АСDE и СВFG. Точка М – середина стороны АВ.
а) Докажите, что точка М равноудалена от центров квадратов.
б) Найдите площадь треугольника DMG, если АС = 6, ВС = 8, АВ = 10.

a) Покажем, что MN = MP.

Рассмотрим четырехугольник ABCD.

Точки M, P, N - середины его сторон

AB, BG и AD. Пусть Q - середина DG.

В выпуклом четырехугольнике середины сторон являются вершинами параллелограмма.

В самом деле, MN - средняя линия

- средняя линия

значит, MN || DB и QP || DB,

Докажем, что AG = DB.

т.к. AC = DC (стороны квадрата)

CG = BC, ∠BCD = ∠ACG = 90° + ∠ABC, ⇒ AG = BD, отсюда

MP = MN, доказано.

б) Найдем площадь треугольника DMG, если AC = 6, BC = 8, AB = 10.

Так как (теорема Пифагора)

- прямоугольный.

Построим новый чертеж.

Пусть

Точки M и N удалены от прямой BC на расстояние 3, Q - середина AC.

Точки M и P удалены от прямой AC на расстояние 4; T - середина BC.

<< Назад