Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Новая задача 16 Профильного ЕГЭ по математике, Геометрия, январь, запад

Новая задача 16 Профильного ЕГЭ по математике, Геометрия, январь, запад

На сторонах АС и ВС треугольника АВС вне его построены квадраты АСDE и СВFG. Точка М – середина стороны АВ.

а) Докажите, что точка М равноудалена от центров квадратов.

б) Найдите площадь треугольника DMG, если АС = 6, ВС = 8, АВ = 10.

a) Покажем, что MN = MP.

Рассмотрим четырехугольник ABCD.

Точки M, P, N - середины его сторон AB, BG и AD.

Пусть Q - середина DG.

В выпуклом четырехугольнике середины сторон являются вершинами параллелограмма.

В самом деле, MN - средняя линия

$\small \bigtriangleup ADB;\: QP$ - средняя линия $\small \bigtriangleup DBG,$

значит, MN || DB и QP || DB, $\small MN=QP=\frac{1}{2}DB.$

Докажем, что AG = DB.

$\small \bigtriangleup BCD=\bigtriangleup GCA,$ т.к. AC = DC (стороны квадрата),

CG = BC, ∠BCD = ∠ACG = 90° + ∠ABC, ⇒ AG = BD, отсюда

$\small \frac{1}{2}AG=\frac{1}{2}DB.$

MP = MN, доказано.

б) Найдем площадь треугольника DMG, если AC = 6, BC = 8, AB = 10.

Так как $\small AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$ (теорема Пифагора), $\small \bigtriangleup ABC$ - прямоугольный.

Построим новый чертеж.

$\small S_{\bigtriangleup DMG},$

Пусть $\small \: \\ MN\cap AC=Q,\\ MP\cap BC=T.$

Точки M и N удалены от прямой BC на расстояние 3, Q - середина AC.

Точки M и P удалены от прямой AC на расстояние 4, T - середина BC.

$\small S_{\bigtriangleup DMG }=S_{\bigtriangleup CDG}+S_{\bigtriangleup CDM}+S_{\bigtriangleup CGM};$

$\small S_{\bigtriangleup CDG }=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6=24;$

$\small =\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3=9;$

$\small =\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 4=16;$

$\small S_{\bigtriangleup DMG}=24+9+16=24+25=49.$

<< Назад

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Новая задача 16 Профильного ЕГЭ по математике, Геометрия, январь, запад» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 10.03.2023

Новая задача 16 Профильного ЕГЭ по математике, Геометрия, январь, запад

Это полезно