Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Новая задача 18 Профильного ЕГЭ по математике, Параметры, 24 января 2019, запад

Новая задача 18 Профильного ЕГЭ по математике, Параметры, 24 января 2019, запад

При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно 3 корня

$\sqrt{x^{4}-4x^{2}+9a^{2}}=x^{2}+2x-3a$

Разложим выражение под корнем на множители:

$\sqrt{x^{2}(x-2)(x+2)+9a^{2}}=x(x+2)-3a$

Сделаем замену, чтобы упростить уравнение

Пусть $t=x(x+2)$

$z=x(x-2)=x^{2}-2x$

Уравнение примет вид

$\sqrt{tz+9a^{2}}=t-3a\Leftrightarrow$

$\left\{\begin{matrix} t-3a\geq 0\\ tz+9a^{2}=t^{2}-6ta+9a^{2} \end{matrix}\right. \: \: \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{matrix} t-3a\geq 0\\ tz=t^{2}-6ta \end{matrix}\right. \: \: \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t-3a\geq 0\\ t^{2}-tz-6ta=0 \end{matrix}\right.$

Сделаем замену 3a = b.

Нам нужно найти все b, при которых система имеет ровно 3 решения.

Решим ее графически в координатах x; b

При x = 0 прямая b = 2x является касательной к параболе $b=x^{2}+2x$ (выполняются условия касания).

$a=\frac{b}{3};$

Значит,

$\: \\ b\in \left ( -\infty ;-4 \right )\cup \left ( -4;0 \right ).\\ a\in \left ( -\infty ;-\frac{4}{3} \right )\cup \left ( -\frac{4}{3};0 \right).$