Новая задача 18 Профильного ЕГЭ по математике, Параметры, 24 января 2019, запад

При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\sqrt{x^{4}-4x^{2}+9a^{2}}=x^{2}+2x-3a\) имеет ровно 3 корня?

Решение:

Разложим выражение под корнем на множители:

\(\sqrt{x^{2}(x-2)(x+2)+9a^{2}}=x(x+2)-3a.\)

Сделаем замену, чтобы упростить уравнение.

Пусть \(t=x(x+2);\)

\(z=x(x-2)=x^{2}-2x.\)

Уравнение примет вид:

\(\sqrt{tz+9a^{2}}=t-3a\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
t-3a\geq 0, \\tz+9a^{2}=t^{2}-6ta+9a^{2};
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
t-3a\geq 0, \\tz=t^{2}=6ta;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
t-3a\geq 0, \\t^{2}-tz-6ta=0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
t-3a\geq 0, \\t(t-z-6a)=0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
t-3a\geq 0, \\\left[\begin{matrix}
t=0,\\t-z=6a;
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}
x^{2}+2x-3a\geq 0, \\\left[\begin{matrix}
x(x+2)=0, \\x^{2}+2x-x^{2}+2x=6a;
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^{2}+2x-3a\geq 0, \\\left[\begin{matrix}
x=0, \\x=-2,
\\2x=3a.
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.\)

Сделаем замену: \(3a= b.\)

\(\left\{\begin{matrix}
x^{2}+2x-b\geq 0, \\\left[\begin{matrix}
x=0, \\x=-2,
\\2x=b;
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
b\leq x^{2}+2x, \\\left[\begin{matrix}
x=0, \\x=-2,
\\b=2x.
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.\)

Нам нужно найти все \(b\), при которых система имеет ровно 3 решения.

Решим ее графически в координатах \(x; b\)

При \(x = 0\) прямая \(b = 2x\) является касательной к параболе \(b=x^{2}+2x\) (выполняются условия касания).

\(a=\displaystyle \frac{b}{3}.\)

Значит,

\(\: \\ b\in \left ( -\infty ;-4 \right )\cup \left ( -4;0 \right );\\ a\in \left ( -\infty ;\displaystyle -\frac{4}{3} \right )\cup \left ( \displaystyle -\frac{4}{3};0 \right).\)

<< Назад