Квадратичная функция (парабола)

Все знают, как выглядит парабола \(y = x^2\). В седьмом классе мы рисовали таблицу:

После этого по точкам строили график:

Параболу \(y = ax^2 + bx + c\) мы не станем строить каждый раз «по точкам» — для выпускника школы это просто несолидно. Ведь нам надо знать закономерности поведения данной функции. А эти закономерности таковы.

1. Знак коэффициента \(a\) отвечает за направление ветвей. При \(a > 0\) ветви направлены вверх, при \(a < 0\) — вниз.

На рисунке приведены две параболы \(y = ax^2\) с равными по модулю, но противоположными по знаку значениями \(a\).

2. Абсолютная величина коэффициента a отвечает за «раскрыв» параболы. Чем больше \(\left| a\right|\), тем у́же парабола (больше прижата к оси \(Y\)). Наоборот, чем меньше \(\left| a\right|\), тем шире парабола (больше прижата к оси \(X\)).

На рисунке приведены две параболы \(y=a_{1}x^{2}\) и \(y=a_{2}x^{2}\), у которых \(a_{2}> a_{1}> 0:\)

3. Абсцисса вершины параболы \(y = ax^2 + bx + c\) находится по формуле:

\(x_{0}=-\displaystyle\frac{b}{2a}.\)

Для нахождения ординаты вершины \(y_{0}\) удобнее всего подставить \(x_{0}\) в уравнение параболы. Но вообще, полезно помнить, что

\(y_{0}=-\displaystyle\frac{D}{4a},\)

где \(D=b^{2}-4ac\) — дискриминант.

4. Точки пересечения параболы \(y = ax^2 + bx + c\) с осью \(X\) находятся с помощью решения квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c=0\). Если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси \(X\). Если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось \(X\).

5. Точка пересечения с осью \(Y\) находится легко: мы просто подставляем \(x=0\) в уравнение параболы. Получается точка \((0, c)\).

А теперь покажем, как с помощью графика функции \(y = ax^2 + bx + c\) решать квадратные неравенства.

1. Часто на тестировании мы предлагаем решить неравенство:

\(x^2 < 400.\)

Справляются далеко не все. Очень часто, не задумываясь, выдают «ответ»: \(x <\pm 20.\)

Однако сама эта запись — абсурдна! Представьте, что вы слышите прогноз погоды: «Температура будет меньше плюс-минус двадцати градусов». Что, спрашивается, надеть — рубашку или шубу? :-)

Давайте решим это неравенство с помощью графика. Изобразим схематично график функции \(y =x^2\) и отметим все значения \(x\), для которых \(y < 400.\)

Теперь мы видим правильный ответ: \(x\in (−20; 20).\)

2. Решим неравенство: \(x^2 − 3x − 10\geq 0.\)

Графиком функции \(y = x^2 − 3x − 10\) служит парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение \(x^2 − 3x − 10 = 0\), находим \(x_{1}=-2\) и \(x_{2}=5\) — в этих точках парабола пересекает ось \(X\). Нарисуем схематично нашу параболу:

Мы видим, что при \(x\in (−2; 5)\) значения функции отрицательны (график проходит ниже оси \(X\)). В точках \(-2\) и \(5\) функция обращается в нуль, а при \(x < −2\) и \(x > 5\) значения функции положительны. Следовательно, наше неравенство выполняется при \(x\in (-\infty ; -2]\cup [5; +\infty ).\)

Обратите внимание, что для решения неравенства нам достаточно было схематично изобразить параболу. Ось \(Y\) вообще не понадобилась!

3. Ещё одно неравенство: \(x^2 + 2x + 4 > 0.\)

Ветви параболы \(y = x^2 + 2x + 4\) направлены вверх. Дискриминант отрицателен, т. е. уравнение \(x^2 + 2x + 4 = 0\) не имеет корней. Стало быть, нет и точек пересечения параболы с осью \(X\).

Раз ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось \(X\) — значит, парабола расположена над осью \(X\).

Получается, что значения функции положительны при всех возможных \(x\). Иными словами, решения нашего неравенства — это все действительные числа.

Ответ: \((-\infty ; +\infty ).\)

Квадратные неравенства являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Разберём типичные примеры из банка заданий ЕГЭ.

4. Завиcимоcть объeма cпроcа \(q\) (тыc. руб.) на продукцию предприятия-монополиcта от цены \(p\) (тыc. руб.) задаeтcя формулой \(q = 100 − 10p\). Выручка предприятия за меcяц \(r\) (в тыc. руб.) вычиcляетcя по формуле \(r(p) = q\cdot  p\). Определите наибольшую цену \(p\), при которой меcячная выручка \(r(p)\) cоcтавит не менее \(240\) тыc. руб. Ответ приведите в тыc. руб.

Подставим выражение для \(q\) в формулу выручки:

\(r(p) = qp = (100 − 10p)p = 100p − 10p^2.\)

Выручка должна быть не менее (то есть больше или равна) \(240\) тысяч рублей. Поскольку цена \(p\) уже выражена в тысячах рублей, мы можем записать это условие в виде неравенства:

\(100p − 10p^2 ≥ 240.\)

Переносим всё вправо и делим на \(10\):

\(p^2  − 10p + 24 ≤ 0.\)

Для схематичного построения параболы находим корни уравнения \(p^2  − 10p + 24 = 0.\) Они равны \(4\) и \(6\). Остаётся сделать рисунок.

Решением нашего неравенства служит отрезок \([4; 6]\). Нас просили найти наибольшее \(p\). Оно равно \(6\).

Ответ: 6.

5. Выcота над землёй подброшенного вверх мяча меняетcя по закону \(h(t) = 1,6 + 8t − 5t^2\), где \(h\) — выcота в метрах, \(t\) — время в cекундах, прошедшее c момента броcка. Cколько cекунд мяч будет находитьcя на выcоте не менее трёх метров?

Итак, требуется, чтобы выполнялось неравенство \(h(t) \geq 3\). Подставляем сюда выражение для \(h\):

\(1,6 + 8t − 5t^2\geq 3.\)

Собираем всё справа:

\(5t^2 − 8t + 1,4 \leq 0.\)

Корни соответствующего уравнения \(5t^2 −8t+1,4 = 0\) равны \(t_{1} = 0,2\) и \(t_{2} = 1,4\). Как дальше действовать — мы знаем.

Таким образом, через \(t_{1} = 0,2\) секунды после начала полёта мяч оказался на высоте \(3\) метра. Мяч продолжал лететь вверх, высота увеличивалась; затем началось снижение, высота уменьшалась, и в момент времени \(t = 1,4\) секунды снова стала равна трём метрам над землей.

Получается, что мяч находился на высоте не менее трёх метров в течение \(t_{2} − t_{1} = 1,2\) секунд. В бланк ответов вписываем десятичную дробь \(1,2\).

6. Завиcимоcть температуры (в градуcах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экcпериментально и на иccледуемом интервале температур определяетcя выражением \(T(t) = T_{0}  + bt + at^2\), где \(t\) — время в минутах, \(T_{0} = 1400\) К, \(a = −10\) К/мин, \(b = 200\) К/мин. Извеcтно, что при температуре нагревателя cвыше \(1760\) К прибор может иcпортитьcя, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время поcле начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.

Согласно условию, зависимость температуры нагревательного элемента от времени определяется формулой:

\(T(t) = 1400 + 200t − 10t^2.\)

В нормальном режиме работы прибора должно выполняться неравенство \(T \leq 1760\), или

\(1400 + 200t − 10t^2 \leq 1760.\)

Переносим всё вправо и делим на \(10\):

\(t^2 − 20t + 36\geq 0.\)

Находим \(t_{1}= 2, \; t_{2}= 18\) и делаем рисунок:

Получаем решения нашего неравенства:

\(\left [ \begin{array}{c}
t\leq 2,\\t\geq 18.\\
\end{array} \right.
\)

Остаётся понять: в какой же момент отключать прибор? Для этого надо представить физическую картину процесса.

Мы включаем прибор в момент времени \(t = 0\). Температура нагревателя повышается и при \(t = 2\) мин достигает \(1760\) К. Затем повышение температуры продолжается, в результате чего прибор может испортиться. Поэтому ясно, что отключать его надо при \(t = 2\).

А что же решения \(t \geq 18\)? Они не имеют физического смысла. Войдя в зону температур \(T > 1760\), прибор испортится, и формула \(T(t) = 1400+200t−10t^2\), справедливая для исправного прибора, перестанет адекватно отражать реальность.

Поэтому в бланк ответов вписываем число \(2\).