Парабола и квадратные неравенства

Все знают, как выглядит парабола y = x². В седьмом классе мы рисовали таблицу:

После этого по точкам строили график:

Параболу y = ax² + bx + c мы не станем строить каждый раз «по точкам» — для выпускника школы это просто несолидно. Ведь нам надо знать закономерности поведения данной функции. А эти закономерности таковы.

1. Знак коэффициента a отвечает за направление ветвей. При a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз.

На рисунке приведены две параболы y = ax² с равными по модулю, но противоположными по знаку значениями a.

2. Абсолютная величина коэффициента a отвечает за «раскрыв» параболы. Чем больше |a|, тем у́же парабола (больше прижата к оси Y ). Наоборот, чем меньше |a|, тем шире парабола (больше прижата к оси X).

На рисунке приведены две параболы y = a₁x² и y = a₂x², у которых a₂ > a₁ > 0

3. Абсцисса вершины параболы y = ax² + bx + c находится по формуле:

Для нахождения ординаты вершины y₀ удобнее всего подставить x₀ в уравнение параболы. Но вообще, полезно помнить, что

где D = b² − 4ac — дискриминант.

4. Точки пересечения параболы y = ax² + bx + c с осью X находятся с помощью решения квадратного уравнения ax² + bx + c = 0. Если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси X. Если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось X.

5. Точка пересечения с осью Y находится легко: мы просто подставляем x = 0 в уравнение параболы. Получается точка (0, c).

А теперь покажем, как с помощью графика функции y = ax² + bx + c решать квадратные неравенства.

1. Часто на тестировании мы предлагаем решить неравенство

x² < 400

Справляются далеко не все. Очень часто, не задумываясь, выдают «ответ»: x < ± 20.

Однако сама эта запись — абсурдна! Представьте, что вы слышите прогноз погоды: «Температура будет меньше плюс-минус двадцати градусов». Что, спрашивается, надеть — рубашку или шубу? :-)

Давайте решим это неравенство с помощью графика. Изобразим схематично график функции y = x² и отметим все значения x, для которых y < 400.

Теперь мы видим правильный ответ: x ∈ (−20; 20).

2. Решим неравенство: x² − 3x − 10 ≥ 0.

Графиком функции y = x² − 3x − 10 служит парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение x² − 3x − 10 = 0, находим x₁ = −2 и x₂ = 5 — в этих точках парабола пересекает ось X. Нарисуем схематично нашу параболу:

Мы видим, что при x ∈ (−2; 5) значения функции отрицательны (график проходит ниже оси X). В точках −2 и 5 функция обращается в нуль, а при x < −2 и x > 5 значения функции положительны. Следовательно, наше неравенство выполняется при .

Обратите внимание, что для решения неравенства нам достаточно было схематично изобразить параболу. Ось Y вообще не понадобилась!

3. Ещё одно неравенство: x² + 2x + 4 > 0.

Ветви параболы y = x² + 2x + 4 направлены вверх. Дискриминант отрицателен, т. е. уравнение x² + 2x + 4 = 0 не имеет корней. Стало быть, нет и точек пересечения параболы с осью X.

Раз ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось X — значит, парабола расположена над осью X.

Получается, что значения функции положительны при всех возможных x. Иными словами, решения нашего неравенства — это все действительные числа.

Ответ: .

Квадратные неравенства являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Разберём типичные примеры из банка заданий ЕГЭ.

4. Завиcимоcть объeма cпроcа q (тыc. руб.) на продукцию предприятия-монополиcта от цены p (тыc. руб.) задаeтcя формулой q = 100 − 10p. Выручка предприятия за меcяц r (в тыc. руб.) вычиcляетcя по формуле r(p) = q · p. Определите наибольшую цену p, при которой меcячная выручка r(p) cоcтавит не менее 240 тыc. руб. Ответ приведите в тыc. руб.

Подставим выражение для q в формулу выручки:

r(p) = qp = (100 − 10p)p = 100p − 10p²

Выручка должна быть не менее (то есть больше или равна) 240 тысяч рублей. Поскольку цена p уже выражена в тысячах рублей, мы можем записать это условие в виде неравенства:

100p − 10p² ≥ 240

Переносим всё вправо и делим на 10:

p² − 10p + 24 ≤ 0

Для схематичного построения параболы находим корни уравнения p² − 10p + 24 = 0. Они равны 4 и 6. Остаётся сделать рисунок.

Решением нашего неравенства служит отрезок [4; 6]. Нас просили найти наибольшее p. Оно равно 6.

Ответ: 6.

5. Выcота над землёй подброшенного вверх мяча меняетcя по закону h(t) = 1,6 + 8t − 5t², где h — выcота в метрах, t — время в cекундах, прошедшее c момента броcка. Cколько cекунд мяч будет находитьcя на выcоте не менее трёх метров?

Итак, требуется, чтобы выполнялось неравенство h(t) ≥ 3. Подставляем сюда выражение для h:

1,6 + 8t − 5t² ≥ 3

Собираем всё справа:

5t² − 8t + 1,4 ≤ 0

Корни соответствующего уравнения 5t² −8t+1,4 = 0 равны t₁ = 0,2 и t₂ = 1,4. Как дальше действовать — мы знаем.

Таким образом, через t₁ = 0,2 секунды после начала полёта мяч оказался на высоте 3 метра. Мяч продолжал лететь вверх, высота увеличивалась; затем началось снижение, высота уменьшалась, и в момент времени t = 1,4 секунды снова стала равна трём метрам над землей.

Получается, что мяч находился на высоте не менее трёх метров в течение t₂ − t₁ = 1,2 секунд. В бланк ответов вписываем десятичную дробь 1,2.

6. Завиcимоcть температуры (в градуcах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экcпериментально и на иccледуемом интервале температур определяетcя выражением T(t) = T₀ + bt + at², где t — время в минутах, T₀ = 1400 К, a = −10 К/мин, b = 200 К/мин. Извеcтно, что при температуре нагревателя cвыше 1760 К прибор может иcпортитьcя, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время поcле начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.

Согласно условию, зависимость температуры нагревательного элемента от времени определяется формулой:

T(t) = 1400 + 200t − 10t²

В нормальном режиме работы прибора должно выполняться неравенство T ≤ 1760, или

1400 + 200t − 10t² ≤ 1760

Переносим всё вправо и делим на 10:

t² − 20t + 36 ≥ 0

Находим t₁ = 2, t₂ = 18 и делаем рисунок:

Получаем решения нашего неравенства:

Остаётся понять: в какой же момент отключать прибор? Для этого надо представить физическую картину процесса.

Мы включаем прибор в момент времени t = 0. Температура нагревателя повышается и при t = 2 мин достигает 1760 К. Затем повышение температуры продолжается, в результате чего прибор может испортиться. Поэтому ясно, что отключать его надо при t = 2.

А что же решения t ≥ 18? Они не имеют физического смысла. Войдя в зону температур T > 1760, прибор испортится, и формула T(t) = 1400+200t−10t², справедливая для исправного прибора, перестанет адекватно отражать реальность.

Поэтому в бланк ответов вписываем число 2.